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9. 观察下列数：$\sqrt{3},2\sqrt{2},\sqrt{15},2\sqrt{6},···$，则第9个数是 （
A.$3\sqrt{5}$
B.$\sqrt{47}$
C.$2\sqrt{30}$
D.$3\sqrt{11}$
D
）A.$3\sqrt{5}$
B.$\sqrt{47}$
C.$2\sqrt{30}$
D.$3\sqrt{11}$
答案
D
解析
【分析】
要找这组二次根式的排列规律，首先可以把所有给出的数都统一转化为“根号下一个正整数”的形式，方便观察根号内数字的变化规律，推导出第n个数的通用表达式，最后将n=9代入表达式计算，再化简为最简二次根式匹配选项即可。
【解析】
首先将已知的4个数统一化为根号下的形式：
第1个数：$\sqrt{3}=\sqrt{1^2+2×1}$
第2个数：$2\sqrt{2}=\sqrt{2^2×2}=\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2×2}$
第3个数：$\sqrt{15}=\sqrt{3^2+2×3}$
第4个数：$2\sqrt{6}=\sqrt{4×6}=\sqrt{24}=\sqrt{4^2+2×4}$
由此可推导，第n个数的表达式为$\sqrt{n^2+2n}$
当n=9时，代入得：
$\sqrt{9^2+2×9}=\sqrt{81+18}=\sqrt{99}$
化简$\sqrt{99}=\sqrt{9×11}=3\sqrt{11}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是将不同形式的二次根式统一形式后分析内在规律，既考察了二次根式的基本运算能力，也考察了学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
要找这组二次根式的排列规律，首先可以把所有给出的数都统一转化为“根号下一个正整数”的形式，方便观察根号内数字的变化规律，推导出第n个数的通用表达式，最后将n=9代入表达式计算，再化简为最简二次根式匹配选项即可。
【解析】
首先将已知的4个数统一化为根号下的形式：
第1个数：$\sqrt{3}=\sqrt{1^2+2×1}$
第2个数：$2\sqrt{2}=\sqrt{2^2×2}=\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2×2}$
第3个数：$\sqrt{15}=\sqrt{3^2+2×3}$
第4个数：$2\sqrt{6}=\sqrt{4×6}=\sqrt{24}=\sqrt{4^2+2×4}$
由此可推导，第n个数的表达式为$\sqrt{n^2+2n}$
当n=9时，代入得：
$\sqrt{9^2+2×9}=\sqrt{81+18}=\sqrt{99}$
化简$\sqrt{99}=\sqrt{9×11}=3\sqrt{11}$
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是将不同形式的二次根式统一形式后分析内在规律，既考察了二次根式的基本运算能力，也考察了学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为 $S_1,S_2,S_3$.若 $S_3+S_2-S_1=18$,则图中阴影部分的面积为 （
A.$6$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$5$
D.$\dfrac{7}{2}$
B
）A.$6$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$5$
D.$\dfrac{7}{2}$
答案
B
解析
【分析】
解题思路分四步：第一步，明确正方形面积等于边长平方，因此三个正方形面积分别对应直角三角形三边的平方，即$S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$；第二步，结合直角三角形勾股定理，得到三个正方形面积的关系$S_2+S_1=S_3$；第三步，将该关系代入题干给出的等式，化简求出$S_2$的值；第四步，观察阴影三角形的底和高均等于正方形$S_2$的边长，因此阴影面积是$S_2$的一半，代入数值计算即可。
【解析】
∵正方形面积等于边长的平方
∴$S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$，即$S_2+S_1=S_3$
将$S_3=S_1+S_2$代入$S_3+S_2-S_1=18$，得：
$(S_1+S_2)+S_2-S_1=18$
化简得$2S_2=18$，解得$S_2=9$
阴影部分三角形的底为$AB$，高等于正方形$S_2$的边长$AB$，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}× AB× AB=\frac{1}{2}S_2=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与图形面积结合的基础题，核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合已知条件求出对应正方形面积即可得到阴影部分面积，侧重考查基础公式的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题思路分四步：第一步，明确正方形面积等于边长平方，因此三个正方形面积分别对应直角三角形三边的平方，即$S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$；第二步，结合直角三角形勾股定理，得到三个正方形面积的关系$S_2+S_1=S_3$；第三步，将该关系代入题干给出的等式，化简求出$S_2$的值；第四步，观察阴影三角形的底和高均等于正方形$S_2$的边长，因此阴影面积是$S_2$的一半，代入数值计算即可。
【解析】
∵正方形面积等于边长的平方
∴$S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$，即$S_2+S_1=S_3$
将$S_3=S_1+S_2$代入$S_3+S_2-S_1=18$，得：
$(S_1+S_2)+S_2-S_1=18$
化简得$2S_2=18$，解得$S_2=9$
阴影部分三角形的底为$AB$，高等于正方形$S_2$的边长$AB$，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}× AB× AB=\frac{1}{2}S_2=\frac{1}{2}×9=\frac{9}{2}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与图形面积结合的基础题，核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合已知条件求出对应正方形面积即可得到阴影部分面积，侧重考查基础公式的灵活运用。
【难度系数】
0.7
11. 如图是张老师根据全班 40 名学生 1 min 跳绳次数的情况绘制的箱线图.
(1)全班 40 名学生 1 min 跳绳次数的最大值是
(2)请你估计一下,全班 40 名学生 1 min 跳绳次数的平均数
(1)全班 40 名学生 1 min 跳绳次数的最大值是
162
,最小值是115
,中位数是136
,第 25 百分位数是132
,第 75 百分位数是144
;(2)请你估计一下,全班 40 名学生 1 min 跳绳次数的平均数
＞
中位数.(填“＞”“=”或“＜”)答案
(1)162;115;136;132;144
(2)＞
(2)＞
解析
【分析】
解决这道题首先要明确箱线图各部分对应的统计量含义：箱线图最上方的水平线段端点值是数据的最大值，最下方的水平线段端点值是数据的最小值，箱体的下边缘对应第25百分位数，箱体中间的横线对应中位数，箱体的上边缘对应第75百分位数，结合图中标注的数值即可直接得出第一问结果。第二问比较平均数和中位数时，观察数据分布特点：最大值与中位数的差值大于最小值与中位数的差值，说明偏大的数值对平均数的拉高作用更明显，即可判断二者的大小关系。
【解析】
(1) 根据箱线图的含义读取对应数值：
最顶端标注的162是1 min跳绳次数的最大值；
最底端标注的115是1 min跳绳次数的最小值；
箱体中间横线标注的136是这组数据的中位数；
箱体下边缘标注的132是第25百分位数；
箱体上边缘标注的144是第75百分位数。
(2) 计算可知最大值与中位数的差为$162-136=26$，中位数与最小值的差为$136-115=21$，偏大的数据对平均数的拉动作用更强，因此平均数大于中位数。
【答案】
(1)162;115;136;132;144
(2)＞
【知识点】
箱线图识别，百分位数，统计量比较
【点评】
本题属于统计类基础题型，重点考查箱线图的相关知识，熟练掌握箱线图各部分代表的统计量含义即可快速解题，能帮助大家理解不同统计量反映的数据特征。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确箱线图各部分对应的统计量含义：箱线图最上方的水平线段端点值是数据的最大值，最下方的水平线段端点值是数据的最小值，箱体的下边缘对应第25百分位数，箱体中间的横线对应中位数，箱体的上边缘对应第75百分位数，结合图中标注的数值即可直接得出第一问结果。第二问比较平均数和中位数时，观察数据分布特点：最大值与中位数的差值大于最小值与中位数的差值，说明偏大的数值对平均数的拉高作用更明显，即可判断二者的大小关系。
【解析】
(1) 根据箱线图的含义读取对应数值：
最顶端标注的162是1 min跳绳次数的最大值；
最底端标注的115是1 min跳绳次数的最小值；
箱体中间横线标注的136是这组数据的中位数；
箱体下边缘标注的132是第25百分位数；
箱体上边缘标注的144是第75百分位数。
(2) 计算可知最大值与中位数的差为$162-136=26$，中位数与最小值的差为$136-115=21$，偏大的数据对平均数的拉动作用更强，因此平均数大于中位数。
【答案】
(1)162;115;136;132;144
(2)＞
【知识点】
箱线图识别，百分位数，统计量比较
【点评】
本题属于统计类基础题型，重点考查箱线图的相关知识，熟练掌握箱线图各部分代表的统计量含义即可快速解题，能帮助大家理解不同统计量反映的数据特征。
【难度系数】
0.8
12. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0 $。
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 $,且 $ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9 $,求 $ m $ 的值.
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 $,且 $ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9 $,求 $ m $ 的值.
答案
(1)证明:由题意得 $\Delta=[-(m+2)]^2-4×1×(m-1)=m^2+8,\because m^2≥0,\therefore \Delta＞0,\therefore$ 无论 $m$ 取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)由题意,得 $x_1+x_2=m+2,x_1x_2=m-1.\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$,即$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9,\therefore (m+2)^2-3(m-1)=9$,整理,得 $m^2+m-2=0$,解得 $m_1=-2,m_2=1,\therefore m$ 的值为$-2$ 或 $1$.
(2)由题意,得 $x_1+x_2=m+2,x_1x_2=m-1.\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2=9$,即$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9,\therefore (m+2)^2-3(m-1)=9$,整理,得 $m^2+m-2=0$,解得 $m_1=-2,m_2=1,\therefore m$ 的值为$-2$ 或 $1$.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心思路是证明根的判别式$\Delta$恒大于0。先写出判别式的表达式，代入方程的对应系数化简，再利用平方的非负性判断$\Delta$的符号即可完成证明。
(2) 已知两根满足的代数式关系，可先通过根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，再利用完全平方公式将所求代数式变形为仅含两根和、两根积的形式，整体代入后得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，结合第一问$\Delta$恒正的结论，无需额外检验根的存在性。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4 × 1 × (m-1)$
展开计算得：$\Delta = m^2 + 4m + 4 - 4m + 4 = m^2 + 8$
$\because$ 无论$m$取何值，$m^2 ≥ 0$，
$\therefore m^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
$\therefore$ 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 根据根与系数的关系，方程两根$x_1, x_2$满足：
$x_1 + x_2 = m + 2$，$x_1x_2 = m - 1$
已知$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9$，
由完全平方公式变形得$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入上式可得：
$(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 9$
将$x_1+x_2 = m+2$，$x_1x_2 = m-1$代入得：
$(m+2)^2 - 3(m-1) = 9$
展开整理得：$m^2 + m - 2 = 0$
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m_1=-2$，$m_2=1$，两个解均符合题意。
【答案】
(1) 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2) $m$的值为$-2$或$1$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，第一问侧重基础概念的直接应用，第二问考查代数式变形和整体代入思想的运用，对基础运算能力有一定要求，是该部分知识的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心思路是证明根的判别式$\Delta$恒大于0。先写出判别式的表达式，代入方程的对应系数化简，再利用平方的非负性判断$\Delta$的符号即可完成证明。
(2) 已知两根满足的代数式关系，可先通过根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，再利用完全平方公式将所求代数式变形为仅含两根和、两根积的形式，整体代入后得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，结合第一问$\Delta$恒正的结论，无需额外检验根的存在性。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$，
根的判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4 × 1 × (m-1)$
展开计算得：$\Delta = m^2 + 4m + 4 - 4m + 4 = m^2 + 8$
$\because$ 无论$m$取何值，$m^2 ≥ 0$，
$\therefore m^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
$\therefore$ 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 根据根与系数的关系，方程两根$x_1, x_2$满足：
$x_1 + x_2 = m + 2$，$x_1x_2 = m - 1$
已知$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9$，
由完全平方公式变形得$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入上式可得：
$(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 9$
将$x_1+x_2 = m+2$，$x_1x_2 = m-1$代入得：
$(m+2)^2 - 3(m-1) = 9$
展开整理得：$m^2 + m - 2 = 0$
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m_1=-2$，$m_2=1$，两个解均符合题意。
【答案】
(1) 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2) $m$的值为$-2$或$1$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，第一问侧重基础概念的直接应用，第二问考查代数式变形和整体代入思想的运用，对基础运算能力有一定要求，是该部分知识的常考题型。
【难度系数】
0.7
