10.小军在化简分式$\frac{□}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{x + 1}$时，$□$部分不小心滴上了墨水，请你推测，$□$中的式子应该是________.

10.$x^2-2x+1$

【分析】要推算被墨水挡住的分子，可利用等式变形关系：被除式=商×除式，即□位置的式子等于等号右侧的分式乘左侧分式的分母。解题时先将左侧分母利用平方差公式因式分解，再结合分式的基本性质约分计算，最后化简得到结果即可。
【解析】首先对分母$x^2-1$因式分解，由平方差公式得：$x^2-1=(x+1)(x-1)$。
根据分式等式的关系，可得：
$□ = \frac{x-1}{x+1} × (x^2-1)$
将$x^2-1=(x+1)(x-1)$代入上式：
$□ = \frac{x-1}{x+1} × (x+1)(x-1)$
约掉公因式$(x+1)$后得：
$□ = (x-1)(x-1) = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
【答案】$x^2-2x+1$
【知识点】分式的基本性质；因式分解；整式乘法
【点评】本题属于基础运算题，通过逆用分式的基本性质结合因式分解即可求解，解题时要注意因式分解的正确性，避免约分出错。
【难度系数】0.8

11.约分：
(1)$\dfrac{x^2 y}{2xy^2}$；
(2)$\dfrac{a^2 b + ab^2}{ab}$；
(3)$\dfrac{2ab + b^2}{4a^2 + b^2 + 4ab}$；
(4)$\dfrac{m^2 - 6mn + 9n^2}{m^2 - 9n^2}$.

11.解:(1)$\frac{x^2 y}{2xy^2}=\frac{x}{2y}$.
(2)$\frac{a^2 b + ab^2}{ab}=\frac{ab(a + b)}{ab}=a + b$.
(3)$\frac{2ab + b^2}{4a^2 + b^2 + 4ab}=\frac{b(2a + b)}{(2a + b)^2}=\frac{b}{2a + b}$.
(4)$\frac{m^2 - 6mn + 9n^2}{m^2 - 9n^2}=\frac{(m - 3n)^2}{(m + 3n)(m - 3n)}=\frac{m - 3n}{m + 3n}$.

【分析】
约分的依据是分式的基本性质，即分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。解题思路如下：1. 若分子、分母为单项式，直接找公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂），约去公因式即可；2. 若分子、分母为多项式，先对分子、分母分别因式分解，再提取公因式约掉，最终结果化为最简分式或整式。本题中(1)是单项式分式，直接找公因式约分；(2)(3)(4)的分子或分母为多项式，先因式分解再约分即可。
【解析】
(1) 分子$x^2 y$和分母$2xy^2$的公因式为$xy$，约去公因式得：
$\dfrac{x^2 y}{2xy^2}=\dfrac{xy· x}{xy· 2y}=\dfrac{x}{2y}$
(2) 先对分子因式分解：$a^2 b + ab^2=ab(a+b)$，分子分母公因式为$ab$，约去得：
$\dfrac{a^2 b + ab^2}{ab}=\dfrac{ab(a + b)}{ab}=a + b$
(3) 分别因式分解分子分母：分子$2ab + b^2=b(2a+b)$，分母$4a^2 + 4ab + b^2=(2a+b)^2$，公因式为$2a+b$，约去得：
$\dfrac{2ab + b^2}{4a^2 + b^2 + 4ab}=\dfrac{b(2a + b)}{(2a + b)^2}=\dfrac{b}{2a + b}$
(4) 分别因式分解分子分母：分子$m^2 - 6mn + 9n^2=(m-3n)^2$，分母$m^2 - 9n^2=(m+3n)(m-3n)$，公因式为$m-3n$，约去得：
$\dfrac{m^2 - 6mn + 9n^2}{m^2 - 9n^2}=\dfrac{(m - 3n)^2}{(m + 3n)(m - 3n)}=\dfrac{m - 3n}{m + 3n}$
【答案】
(1)$\dfrac{x}{2y}$；(2)$a+b$；(3)$\dfrac{b}{2a + b}$；(4)$\dfrac{m - 3n}{m + 3n}$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确找到分子分母的公因式，约分后的结果必须是最简分式或整式，注意约分时要保证公因式不为0。
【难度系数】
0.85

12. (1)当$x$取什么值时，分式$\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$的值为零？
(2)先约分，再求值：$\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{y - x}$，其中$x=2,y=3$。

12.解:(1)由题意得$x^2 - 1=0$,且$x - 1≠0$,
∴$x=-1$,
即当$x=-1$时,分式$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$的值为零.
(2)$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{y - x}=\frac{-(x - y)^2}{x - y}=-(x - y)=y - x$.
∵$x=2,y=3$,
∴原式$=y - x=3 - 2=1$.

【分析】
(1) 解决分式值为0的问题，需牢记两个必备条件：①分子的值为0；②分母的值不为0，二者需同时满足。首先令分子等于0求解x的可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x，即可得到正确结果。
(2) 先约分再求值类问题，首先对分子因式分解，观察到分子是完全平方形式，可分解为$(x-y)^2$，再将分母变形为和分子公因式相关的形式，约去公因式得到最简代数式，最后代入x、y的数值计算即可，能有效简化计算过程。
【解析】
(1) 若分式的值为0，需满足分子为0且分母不为0，据此列条件：
$\begin{cases}x^2 - 1 = 0 \\x - 1 ≠ 0\end{cases}$
解$x^2 -1=0$得$x=\pm1$，结合$x-1≠0$即$x≠1$，可得$x=-1$。
(2) 先对分式因式分解再约分：
$\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{y - x}=\dfrac{(x-y)^2}{-(x-y)}$
由$x=2,y=3$可知$x-y≠0$，可约去公因式$x-y$，得：
$\dfrac{(x-y)^2}{-(x-y)}=-(x-y)=y-x$
将$x=2,y=3$代入最简式，得：原式$=3-2=1$。
【答案】
(1) $x=-1$；(2) 约分结果为$y-x$，值为1
【知识点】
分式值为零的条件、分式的约分、完全平方公式
【点评】
本题是分式相关的基础题型，第一问的易错点是容易忽略分母不为0的前提，误将$x=1$也作为解；第二问要注意因式分解后约分时的符号处理，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7

13.若分式$\frac{3x}{|x|+1}$有意义，则 （）

A.$x≠-1$
B.$x≠±1$
C.$x$可为任何实数
D.$x≠0$

13.C

【分析】
要解决分式有意义的问题，首先回忆分式有意义的核心条件：分母不能为0，因此我们只需要判断本题中分式的分母$\vert x\vert+1$是否可能等于0即可。根据绝对值的性质，任意实数的绝对值都是非负数，在此基础上推导分母的取值范围，就能确定x的取值要求。
【解析】
解：分式有意义的条件是分母不为0。
本题中分式的分母为$\vert x\vert+1$，
∵ 对任意实数$x$，都有$\vert x\vert≥0$，
∴ $\vert x\vert+1≥0+1=1＞0$，即分母$\vert x\vert+1$的值恒大于0，不可能为0，
∴ 无论$x$取任何实数，该分式都有意义。
故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；绝对值的非负性
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记分式有意义的判断规则，结合绝对值的非负性分析分母的取值范围，不需要额外解不等式即可直接得出结论。
【难度系数】
0.9

14.已知当$x=2$时，分式$\frac{x+a}{2x-b}$的值为0，当$x=1$时，分式$\frac{x+a}{2x-b}$无意义，则$a-b$的值为（）

A.4
B.$-4$
C.0
D.$\frac{1}{4}$

14.B

【分析】
解题思路如下：首先回忆分式的相关性质：①分式的值为0需要满足两个条件：分子等于0，且分母不等于0；②分式无意义的条件是分母等于0。我们先利用x=2时分式值为0的条件求出a的值，再利用x=1时分式无意义的条件求出b的值，最后代入计算a-b的结果即可对应选项。
【解析】
解：1. 求a的值：
当x=2时，分式$\frac{x+a}{2x-b}$的值为0，根据分式值为0的条件，分子为0且分母不为0：
分子：$2+a=0$，解得$a=-2$；
此时分母：$2×2 - b = 4 - b ≠ 0$，即$b≠4$。
2. 求b的值：
当x=1时，分式无意义，根据分式无意义的条件，分母为0：
分母：$2×1 - b = 0$，解得$b=2$。
3. 计算$a-b$：
把$a=-2$，$b=2$代入得：$a-b = -2 - 2 = -4$。
【答案】
B
【知识点】
分式值为0的条件；分式无意义的条件；代数式求值
【点评】
本题考查分式基本性质的应用，解题的核心是牢记分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，分式无意义时仅需分母为0，避免混淆两个条件导致出错。
【难度系数】
0.7