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15.当$y=3$时，分式$\frac{y - k}{y + m}$的值为0，则$k$，$m$必须满足的条件是$k=$
3
，$m$≠-3
.答案
15.3 ≠-3
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确分式值为0的成立条件：必须同时满足分子为0，且分母不为0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先将y=3代入分子，令分子等于0即可求出k的值；再将y=3代入分母，令分母不等于0，即可得到m的取值限制。
【解析】
根据分式值为0的条件：分子为0，且分母不为0。
① 当$y=3$时，分子的值为0，即：
$y - k = 0$
代入$y=3$得：$3 - k = 0$，解得$k=3$。
② 同时需保证分母不为0，即：
$y + m ≠ 0$
代入$y=3$得：$3 + m ≠ 0$，解得$m ≠ -3$。
【答案】
3；≠-3
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是容易忽略分母不能为0的前提，只计算分子为0的情况，解题时要牢记分式值为0的两个必要条件，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确分式值为0的成立条件：必须同时满足分子为0，且分母不为0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先将y=3代入分子，令分子等于0即可求出k的值；再将y=3代入分母，令分母不等于0，即可得到m的取值限制。
【解析】
根据分式值为0的条件：分子为0，且分母不为0。
① 当$y=3$时，分子的值为0，即：
$y - k = 0$
代入$y=3$得：$3 - k = 0$，解得$k=3$。
② 同时需保证分母不为0，即：
$y + m ≠ 0$
代入$y=3$得：$3 + m ≠ 0$，解得$m ≠ -3$。
【答案】
3；≠-3
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是容易忽略分母不能为0的前提，只计算分子为0的情况，解题时要牢记分式值为0的两个必要条件，避免漏解。
【难度系数】
0.7
16.某工厂的仓库里有煤$x$ t,每天需要用煤$y(y＞1)$ t,若从现在开始,每天节省1 t煤,则$x$ t煤可用
$\frac{x}{y-1}$
天.当$x=10,y=3$时,仓库里的煤可用5
天.答案
16.$\frac{x}{y-1}$ 5
解析
【分析】
解题时先明确核心等量关系：煤的可用天数=总煤量÷每天实际用煤量。首先计算节省后每天的实际用煤量：原来每天用煤y t，每天节省1 t后，实际每天用煤量为(y-1)t，结合总煤量x t即可列出表示可用天数的代数式；之后将给定的x、y的数值代入所列代数式，计算就能得到具体的可用天数。
【解析】
1. 列可用天数的代数式：
已知总煤量为x t，节省用煤后每天实际用煤量为$(y-1)$t，根据“使用天数=总煤量÷每天使用量”，可得x t煤可用的天数为$\frac{x}{y-1}$天。
2. 代入数值计算：
当$x=10$，$y=3$时，将数值代入$\frac{x}{y-1}$可得：
$\frac{10}{3-1}=\frac{10}{2}=5$（天）
【答案】
$\frac{x}{y-1}$；5
【知识点】
列代数式；代数式求值；分式的实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是准确梳理实际问题中的数量关系，先根据题意正确列出代数式，再代入数值计算即可，解题时需注意代数式中字母的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.9
解题时先明确核心等量关系：煤的可用天数=总煤量÷每天实际用煤量。首先计算节省后每天的实际用煤量：原来每天用煤y t，每天节省1 t后，实际每天用煤量为(y-1)t，结合总煤量x t即可列出表示可用天数的代数式；之后将给定的x、y的数值代入所列代数式，计算就能得到具体的可用天数。
【解析】
1. 列可用天数的代数式：
已知总煤量为x t，节省用煤后每天实际用煤量为$(y-1)$t，根据“使用天数=总煤量÷每天使用量”，可得x t煤可用的天数为$\frac{x}{y-1}$天。
2. 代入数值计算：
当$x=10$，$y=3$时，将数值代入$\frac{x}{y-1}$可得：
$\frac{10}{3-1}=\frac{10}{2}=5$（天）
【答案】
$\frac{x}{y-1}$；5
【知识点】
列代数式；代数式求值；分式的实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是准确梳理实际问题中的数量关系，先根据题意正确列出代数式，再代入数值计算即可，解题时需注意代数式中字母的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.9
17.已知$y=\dfrac{x-1}{2-3x}$，$x$取哪些值时，可分别满足下列条件？
(1)$y$的值是正数；
(2)$y$的值是负数；
(3)$y$的值是零；
(4)分式无意义.
(1)$y$的值是正数；
(2)$y$的值是负数；
(3)$y$的值是零；
(4)分式无意义.
答案
17.解:(1)由题意得$\begin{cases} x-1＞0, \\ 2-3x＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} x-1＜0, \\ 2-3x＜0 \end{cases}$, 解得$\frac{2}{3}＜x＜1$,即$\frac{2}{3}＜x＜1$时,$y$的值是正数.
(2)由题意得$\begin{cases} x-1＞0, \\ 2-3x＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} x-1＜0, \\ 2-3x＞0 \end{cases}$, 解得$x＞1$或$x＜\frac{2}{3}$,即$x＞1$或$x＜\frac{2}{3}$时,$y$的值是负数.
(3)由题意得$\begin{cases} x-1=0, \\ 2-3x≠0 \end{cases}$, 解得$x=1$且$x≠\frac{2}{3}$,即$x=1$时,$y$的值是零.
(4)由题意得$2-3x=0$,解得$x=\frac{2}{3}$,即$x=\frac{2}{3}$时,分式无意义.
(2)由题意得$\begin{cases} x-1＞0, \\ 2-3x＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} x-1＜0, \\ 2-3x＞0 \end{cases}$, 解得$x＞1$或$x＜\frac{2}{3}$,即$x＞1$或$x＜\frac{2}{3}$时,$y$的值是负数.
(3)由题意得$\begin{cases} x-1=0, \\ 2-3x≠0 \end{cases}$, 解得$x=1$且$x≠\frac{2}{3}$,即$x=1$时,$y$的值是零.
(4)由题意得$2-3x=0$,解得$x=\frac{2}{3}$,即$x=\frac{2}{3}$时,分式无意义.
解析
【分析】
解决本题需结合分式的基本性质和不等式（组）的解法分步分析：
1. 分式值为正数：分子和分母同号（同正或同负），分两种情况列不等式组求解即可；
2. 分式值为负数：分子和分母异号（一正一负），同样分两类列不等式组求解；
3. 分式值为0：需同时满足分子为0、分母不为0两个条件，缺一不可；
4. 分式无意义：仅需分母等于0，据此列方程求解即可。
求解过程中注意正确解一元一次不等式/组，准确取解集。
【解析】
(1) 若y为正数，分子分母同号，列不等式组：
$\begin{cases} x-1＞0, \\ 2-3x＞0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x-1＜0, \\ 2-3x＜0 \end{cases}$
第一个不等式组无解，第二个不等式组解得$\frac{2}{3}＜x＜1$，即$\frac{2}{3}＜x＜1$时y为正数。
(2) 若y为负数，分子分母异号，列不等式组：
$\begin{cases} x-1＞0, \\ 2-3x＜0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x-1＜0, \\ 2-3x＞0 \end{cases}$
第一个不等式组解得$x＞1$，第二个不等式组解得$x＜\frac{2}{3}$，即$x＞1$或$x＜\frac{2}{3}$时y为负数。
(3) 若y为0，需满足分子为0且分母不为0，列条件：
$\begin{cases} x-1=0, \\ 2-3x≠0 \end{cases}$
解得$x=1$且$x≠\frac{2}{3}$，即$x=1$时y的值为0。
(4) 若分式无意义，则分母为0，列方程：
$2-3x=0$，解得$x=\frac{2}{3}$，即$x=\frac{2}{3}$时分式无意义。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}＜x＜1$；
(2) $x＞1$或$x＜\frac{2}{3}$；
(3) $x=1$；
(4) $x=\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 分式的性质
2. 分式值为0的条件
3. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题时需用到分类讨论思想，要特别注意分式值为0的前提是分母不为0，避免遗漏该条件导致解题错误。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合分式的基本性质和不等式（组）的解法分步分析：
1. 分式值为正数：分子和分母同号（同正或同负），分两种情况列不等式组求解即可；
2. 分式值为负数：分子和分母异号（一正一负），同样分两类列不等式组求解；
3. 分式值为0：需同时满足分子为0、分母不为0两个条件，缺一不可；
4. 分式无意义：仅需分母等于0，据此列方程求解即可。
求解过程中注意正确解一元一次不等式/组，准确取解集。
【解析】
(1) 若y为正数，分子分母同号，列不等式组：
$\begin{cases} x-1＞0, \\ 2-3x＞0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x-1＜0, \\ 2-3x＜0 \end{cases}$
第一个不等式组无解，第二个不等式组解得$\frac{2}{3}＜x＜1$，即$\frac{2}{3}＜x＜1$时y为正数。
(2) 若y为负数，分子分母异号，列不等式组：
$\begin{cases} x-1＞0, \\ 2-3x＜0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x-1＜0, \\ 2-3x＞0 \end{cases}$
第一个不等式组解得$x＞1$，第二个不等式组解得$x＜\frac{2}{3}$，即$x＞1$或$x＜\frac{2}{3}$时y为负数。
(3) 若y为0，需满足分子为0且分母不为0，列条件：
$\begin{cases} x-1=0, \\ 2-3x≠0 \end{cases}$
解得$x=1$且$x≠\frac{2}{3}$，即$x=1$时y的值为0。
(4) 若分式无意义，则分母为0，列方程：
$2-3x=0$，解得$x=\frac{2}{3}$，即$x=\frac{2}{3}$时分式无意义。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}＜x＜1$；
(2) $x＞1$或$x＜\frac{2}{3}$；
(3) $x=1$；
(4) $x=\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 分式的性质
2. 分式值为0的条件
3. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题时需用到分类讨论思想，要特别注意分式值为0的前提是分母不为0，避免遗漏该条件导致解题错误。
【难度系数】
0.7
18.阅读:分式$\frac{3x-2}{x+1}$可进行如下变形:$\frac{3x-2}{x+1}=\frac{3(x+1)-5}{x+1}=3-\frac{5}{x+1}$.
探索:(1)如果$\frac{3x+4}{x+1}=3+\frac{m}{x+1}$,那么$m=$
(2)如果$\frac{5x-3}{x+2}=5+\frac{m}{x+2}$,那么$m=$
总结:(3)如果$\frac{ax+b}{x+c}=a+\frac{m}{x+c}$(其中$a,b,c$为常数),那么$m=$
应用:(4)利用上述结论解决:若代数式$\frac{4x-3}{x-1}$的值为整数,求满足条件的整数$x$的值.
探索:(1)如果$\frac{3x+4}{x+1}=3+\frac{m}{x+1}$,那么$m=$
1
;(2)如果$\frac{5x-3}{x+2}=5+\frac{m}{x+2}$,那么$m=$
-13
.总结:(3)如果$\frac{ax+b}{x+c}=a+\frac{m}{x+c}$(其中$a,b,c$为常数),那么$m=$
b-ac
.应用:(4)利用上述结论解决:若代数式$\frac{4x-3}{x-1}$的值为整数,求满足条件的整数$x$的值.
答案
18.解:(1)整理,得$\frac{3x+4}{x+1}=\frac{3x+3+m}{x+1}$,即$3x+4=3x+3+m$,
解得$m=1$.
(2)整理,得$\frac{5x-3}{x+2}=\frac{5x+10+m}{x+2}$,即$5x-3=5x+10+m$,
解得$m=-13$.
(3)$\frac{ax+b}{x+c}=\frac{a(x+c)+b-ac}{x+c}=a+\frac{b-ac}{x+c}=a+\frac{m}{x+c}$,
∴$m=b-ac$.
(4)
∵$\frac{4x-3}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$,
又$x$为整数且$\frac{4x-3}{x-1}$为整数,
∴$x-1=±1$,
∴$x=2$或$0$.
解得$m=1$.
(2)整理,得$\frac{5x-3}{x+2}=\frac{5x+10+m}{x+2}$,即$5x-3=5x+10+m$,
解得$m=-13$.
(3)$\frac{ax+b}{x+c}=\frac{a(x+c)+b-ac}{x+c}=a+\frac{b-ac}{x+c}=a+\frac{m}{x+c}$,
∴$m=b-ac$.
(4)
∵$\frac{4x-3}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$,
又$x$为整数且$\frac{4x-3}{x-1}$为整数,
∴$x-1=±1$,
∴$x=2$或$0$.
解析
【分析】
本题是分式变形的规律探究与应用类题目，解题思路可分为三步：① 对于前3个求m的问题，可类比题干给出的分式拆分方法，将左边分式的分子拆成“a倍分母+常数”的形式，或对右边通分后利用同分母分式相等时分子相等的性质列等式求解m；② 第(3)问用含a、b、c的代数式进行整式拆分，推导得到m的一般表达式；③ 第(4)问先利用前面得到的规律拆分代数式，根据“整数+整数=整数”，可知拆分后得到的分式部分必须是整数，再结合整除的性质求出x的整数解。
【解析】
(1) 对等式右边通分可得：$3+\frac{m}{x+1}=\frac{3(x+1)+m}{x+1}=\frac{3x+3+m}{x+1}$，
已知$\frac{3x+4}{x+1}=\frac{3x+3+m}{x+1}$，且分母相同，因此分子相等：$3x+4=3x+3+m$，
解得$m=1$。
(2) 对等式右边通分可得：$5+\frac{m}{x+2}=\frac{5(x+2)+m}{x+2}=\frac{5x+10+m}{x+2}$，
已知$\frac{5x-3}{x+2}=\frac{5x+10+m}{x+2}$，分母相同则分子相等：$5x-3=5x+10+m$，
解得$m=-13$。
(3) 将左边分式的分子拆分：$ax+b=a(x+c) + b - ac$，
因此$\frac{ax+b}{x+c}=\frac{a(x+c)+(b-ac)}{x+c}=a+\frac{b-ac}{x+c}$，
对比$a+\frac{m}{x+c}$可得：$m=b-ac$。
(4) 先按照上述规律拆分代数式：
$\frac{4x-3}{x-1}=\frac{4(x-1)+4-3}{x-1}=\frac{4(x-1)+1}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$，
∵x为整数，且$\frac{4x-3}{x-1}$的值为整数，
∴$\frac{1}{x-1}$必须为整数，即x-1是1的整数因数，
∴$x-1=1$或$x-1=-1$，
解得$x=2$或$x=0$。
【答案】
(1)1；(2)-13；(3)$b-ac$；(4)满足条件的整数x的值为2或0
【知识点】
分式恒等变形，整式拆分，整除的性质
【点评】
本题遵循“探索-总结-应用”的逻辑命题，通过具体分式拆分的练习推导通用规律，再将规律用于解决整数求值问题，考查学生的类比推理能力和知识迁移应用能力，是分式变形的典型练习题。
【难度系数】
0.7
本题是分式变形的规律探究与应用类题目，解题思路可分为三步：① 对于前3个求m的问题，可类比题干给出的分式拆分方法，将左边分式的分子拆成“a倍分母+常数”的形式，或对右边通分后利用同分母分式相等时分子相等的性质列等式求解m；② 第(3)问用含a、b、c的代数式进行整式拆分，推导得到m的一般表达式；③ 第(4)问先利用前面得到的规律拆分代数式，根据“整数+整数=整数”，可知拆分后得到的分式部分必须是整数，再结合整除的性质求出x的整数解。
【解析】
(1) 对等式右边通分可得：$3+\frac{m}{x+1}=\frac{3(x+1)+m}{x+1}=\frac{3x+3+m}{x+1}$，
已知$\frac{3x+4}{x+1}=\frac{3x+3+m}{x+1}$，且分母相同，因此分子相等：$3x+4=3x+3+m$，
解得$m=1$。
(2) 对等式右边通分可得：$5+\frac{m}{x+2}=\frac{5(x+2)+m}{x+2}=\frac{5x+10+m}{x+2}$，
已知$\frac{5x-3}{x+2}=\frac{5x+10+m}{x+2}$，分母相同则分子相等：$5x-3=5x+10+m$，
解得$m=-13$。
(3) 将左边分式的分子拆分：$ax+b=a(x+c) + b - ac$，
因此$\frac{ax+b}{x+c}=\frac{a(x+c)+(b-ac)}{x+c}=a+\frac{b-ac}{x+c}$，
对比$a+\frac{m}{x+c}$可得：$m=b-ac$。
(4) 先按照上述规律拆分代数式：
$\frac{4x-3}{x-1}=\frac{4(x-1)+4-3}{x-1}=\frac{4(x-1)+1}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$，
∵x为整数，且$\frac{4x-3}{x-1}$的值为整数，
∴$\frac{1}{x-1}$必须为整数，即x-1是1的整数因数，
∴$x-1=1$或$x-1=-1$，
解得$x=2$或$x=0$。
【答案】
(1)1；(2)-13；(3)$b-ac$；(4)满足条件的整数x的值为2或0
【知识点】
分式恒等变形，整式拆分，整除的性质
【点评】
本题遵循“探索-总结-应用”的逻辑命题，通过具体分式拆分的练习推导通用规律，再将规律用于解决整数求值问题，考查学生的类比推理能力和知识迁移应用能力，是分式变形的典型练习题。
【难度系数】
0.7
