1. 如图所示，在$△ ABC$中，$BE$是$∠ ABC$的平分线，$AD ⊥ BE$，垂足为$D$。试说明：$∠ 2 = ∠ 1 + ∠ C$。

1. 证明：如图所示，延长AD交BC于点F。
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠FBD。
∵AD⊥BE,
∴∠ADB=∠FDB=90°。
在△ABD和△FBD中,
$\begin{cases}∠ABD=∠FBD,\\BD=BD,\\∠ADB=∠FDB,\end{cases}$
∴△ABD≌△FBD(ASA),
∴∠AFB=∠2。
又
∵∠AFB=∠1+∠C,
∴∠2=∠1+∠C。

2.如图所示,已知 CE,CB 分别是$△ ABC,△ ADC$的中线,且$AB=AC$,$∠ ACB=∠ ABC$。试说明:$CD=2CE$。

2. 证明:如图所示,延长CE到点F,使EF=CE,连接FB,则CF=2CE。
∵CE是△ABC的中线,
∴AE=BE。
在△BEF和△AEC中,
$\begin{cases}BE=AE,\\∠BEF=∠AEC,\\EF=EC,\end{cases}$
∴△BEF ≌ △AEC(SAS),
∴∠EBF=∠A,BF=AC。
∵∠ABC+∠CBD=180°,∠ABC+∠A+∠ACB=180°,
∴∠CBD=∠A+∠ACB。
又
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠CBD = ∠A + ∠ACB = ∠EBF + ∠ABC=∠CBF。
∵CB是△ADC的中线,
∴AB=BD。
又
∵AB=AC,AC=BF,
∴BF=BD。
在△CBF和△CBD中,
$\begin{cases}CB=CB,\\∠CBF=∠CBD,\\BF=BD,\end{cases}$
∴△CBF≌△CBD(SAS)。
∴CF=CD,
∴CD=2CE。

3.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠ABC和∠BCD的平分线交AD于点E。试说明:AB+CD=BC。

3. 证明:如图所示,在BC上截取BF=AB。
∵∠ABC和∠BCD的平分线交AD于点E,
∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE。
在△ABE和△FBE中,
$\begin{cases}AB=BF,\\∠ABE=∠FBE,\\BE=BE。\end{cases}$
∴△ABE≌△FBE(SAS),
∴∠BAE=∠BFE。
∵AB//CD,
∴∠BAE+∠CDE=180°,
∴∠BFE+∠CDE=180°。
∵∠BFE+∠CFE=180°,
∴∠CFE=∠CDE。
在△FCE和△DCE中,
$\begin{cases}∠CFE=∠CDE,\\∠FCE=∠DCE,\\CE=CE,\end{cases}$
∴△FCE≌△DCE(AAS),
∴CF=CD,
∴BC=BF+CF=AB+CD,
即AB+CD=BC。

4.如图所示,在正方形ABCD中,∠EAF=45°。试说明:EF=BF+DE。

4. 证明:如图所示,将△ADE绕点A顺时针旋转90°,使AD与AB重合,故BG=DE,AG=AE,∠ABG=∠ADC=90°。
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABG=∠ABC=90°,
∴点G,B,F在同一条直线上。
∵∠GAE=90°,∠EAF=45°,
∴∠GAF=45°。
在△GAF和△EAF中,
$\begin{cases}AG=AE,\\∠GAF=∠EAF,\\AF=AF,\end{cases}$
∴△GAF≌△EAF(SAS),
∴EF=GF。
∵GF=BF+BG,
∴EF=BF+DE。