1. 下列命题的逆命题是真命题的是()

A.有理数与数轴上的点一一对应
B.若 $ a^2 = b^2 $，则 $ a = b $
C.对顶角相等
D.全等三角形的对应角相等

B

根据逆命题的定义，将各原命题的条件和结论互换得到对应逆命题，逐一判断真假：
1. 选项A的逆命题为“数轴上的点都对应有理数”，是假命题；
2. 选项B的逆命题为“若a=b，则$a^2 = b^2$”，是真命题；
3. 选项C的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题；
4. 选项D的逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题。
因此逆命题是真命题的是选项B。

2.一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示。重力$ G $的方向竖直向下($ OM ⊥ AD $)，支持力$ F_{\mathrm{N}} $的方向与斜面垂直($ ON ⊥ AB $)，摩擦力$ F_{\mathrm{f}} $的方向与斜面平行($ OC // AB $)。若摩擦力$ F_{\mathrm{f}} $与重力$ G $方向的夹角$ ∠ 1 = 120° $，则斜面的坡角$ ∠ 2 $的度数是________。

$30°$

1. 根据题意，已知$OC // AB$，$OM ⊥ AD$，因此竖直向下的重力方向$OM$与水平面$AD$的夹角为$90°$。
2. 摩擦力$F_f$沿$OC$方向且与斜面平行，因此$OC$与水平面$AD$的夹角等于坡角$∠ 2$。
3. 已知$∠ 1 = 120°$，即$OC$与$OM$的夹角为$120°$，由角度关系可得：$∠ 2 + 90° = ∠ 1$。
4. 代入$∠ 1=120°$计算，得$∠ 2 = 120° - 90° = 30°$。

3.如图,已知一块三角形空地ABC,测得$AC=14\ \mathrm{m},AB=BC=8\ \mathrm{m}$。若从点B向AC铺设一条输水管道,则管道的最短长度是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$。

$\sqrt{15}$

根据垂线段最短的性质，从点B向AC铺设的最短输水管道长度，就是点B到AC的垂线段的长度。
过点B作BD⊥AC，垂足为D。
已知AB=BC=8 m，因此△ABC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可得：$AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 14 = 7\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABD中，根据勾股定理：$BD^2 + AD^2 = AB^2$，代入数值计算得：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{8^2 - 7^2} = \sqrt{64-49} = \sqrt{15}\ \mathrm{m}$。

4. 如图1，将一个等腰三角形纸板ABC沿垂线段AD，DE剪开，得到三角形a，b，c，再按图2所示进行摆放，其中BD与CE共线。若$BC=16$，则AC的长为________。

$8\sqrt{2}$

∵ △ABC是等腰三角形，AD⊥BC，由等腰三角形三线合一性质可得：$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8$。
根据图2的摆放方式，可知$△ CDE ≌ △ ADE ≌ △ ADB$，因此$AD=CD$，结合$∠ ADC=90°$，可得$△ ADC$是等腰直角三角形。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$。

5. 在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上(不与点$B,C$重合),$E$是$△ ABC$内部一点。给出如下定义:若$∠ AEB=∠ AEC,∠ DEB=∠ DEC$,则称点$E$是点$D$的“等角点”。
(1)如图1,若点$E$是点$D$的“等角点”,则$∠ AEB+∠ DEC=\underline{\hspace{3em}}°$。
(2)如图2,若$AB=AC$,$D$是边$BC$的中点,$E$是中线$AD$上任意一点(不与点$A,D$重合),求证:点$E$是点$D$的“等角点”。
(3)如图3,$∠ ACB=90°$,且$∠ BAD＞∠ CAD$,在$△ ABC$内部是否存在一点$E$,使得点$E$是点$D$的“等角点”?若存在,请作出点$E$(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);若不存在,请说明理由。

(1) $\boldsymbol{180}$
(2) 证明过程如上
(3) 存在，按要求作出AD上满足条件的点E即可。

(1) 由周角的性质可知，∠AEB + ∠AEC + ∠DEB + ∠DEC = 360°，根据“等角点”定义∠AEB=∠AEC，∠DEB=∠DEC，代入得2∠AEB + 2∠DEC = 360°，两边同除以2，可得∠AEB + ∠DEC = 180°。
(2) 证明：∵ AB=AC，D是BC的中点，
∴ AD平分∠BAC，BD=CD，即∠BAE=∠CAE。
在△ABE和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAE=∠CAE \\AE=AE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ACE (SAS)，
∴ ∠AEB = ∠AEC。
又∵ AB=AC，D是BC中点，
∴ AD垂直平分BC，
∵ 点E在AD上，
∴ EB=EC。
在△DBE和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}EB=EC \\BD=CD \\ED=ED\end{array} $
∴ △DBE ≌ △DCE (SSS)，
∴ ∠DEB = ∠DEC。
根据“等角点”的定义，可证得点E是点D的“等角点”。
(3) 存在。尺规作图方法：① 连接AD；② 作点B关于直线AD的对称点B'；③ 连接B'C，交AD于点E，点E即为所求的点D的“等角点”，保留作图痕迹即可。