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一、求字母的值或取值范围
1. (2026 湘西期末)已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 -6x+(2m+1)=0 $.
(1)若方程总有两个实数根,求 $ m $ 的取值范围;
(2)若 $ x_1 $ 与 $ x_2 $ 是该方程的两个实数根,且满足 $ x_1^2 + x_2^2 =22 $,求 $ m $ 的值.
1. (2026 湘西期末)已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 -6x+(2m+1)=0 $.
(1)若方程总有两个实数根,求 $ m $ 的取值范围;
(2)若 $ x_1 $ 与 $ x_2 $ 是该方程的两个实数根,且满足 $ x_1^2 + x_2^2 =22 $,求 $ m $ 的值.
答案
1. 解:(1)
∵方程有两个实数根，
∴Δ=(-6)²-4×1×(2m+1)≥0，
即 36-8m-4≥0，
解得 m≤4。
(2)
∵x₁ 与 x₂ 是该方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=2m+1。
∵x₁²+x₂²=22，
∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=36-2(2m+1)=22，
解得 m=3。
∵方程有两个实数根，
∴Δ=(-6)²-4×1×(2m+1)≥0，
即 36-8m-4≥0，
解得 m≤4。
(2)
∵x₁ 与 x₂ 是该方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=2m+1。
∵x₁²+x₂²=22，
∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=36-2(2m+1)=22，
解得 m=3。
解析
【分析】
(1) 一元二次方程有两个实数根的前提是根的判别式Δ≥0，我们先写出该方程的判别式表达式，再解关于m的不等式，即可得到m的取值范围；(2) 涉及两根的平方和，可利用完全平方公式将其变形为两根和、两根积的组合形式，再结合根与系数的关系（韦达定理）代入已知条件列方程求解，最后验证所得m值是否满足方程有实根的条件即可。
【解析】
(1)
∵ 方程$x^2 -6x+(2m+1)=0$总有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+1) ≥ 0$，
整理得：$36 - 8m - 4 ≥ 0$，
即 $32 ≥ 8m$，
解得 $m ≤ 4$。
(2)
∵ $x_1$、$x_2$是该方程的两个实数根，
∴ 根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m+1$，
已知$x_1^2 + x_2^2 = 22$，由完全平方公式变形得$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入数值可得：$6^2 - 2(2m+1) = 22$，
即 $36 - 4m - 2 = 22$，
整理得$34 - 4m = 22$，
解得 $m=3$，
验证：$m=3 ≤ 4$，满足方程有两个实根的条件，结果成立。
【答案】
(1) $m ≤ 4$；(2) $m=3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，核心考查根的判别式的意义和韦达定理的应用，求解参数后注意验证参数是否符合方程有实根的前提，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
(1) 一元二次方程有两个实数根的前提是根的判别式Δ≥0，我们先写出该方程的判别式表达式，再解关于m的不等式，即可得到m的取值范围；(2) 涉及两根的平方和，可利用完全平方公式将其变形为两根和、两根积的组合形式，再结合根与系数的关系（韦达定理）代入已知条件列方程求解，最后验证所得m值是否满足方程有实根的条件即可。
【解析】
(1)
∵ 方程$x^2 -6x+(2m+1)=0$总有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+1) ≥ 0$，
整理得：$36 - 8m - 4 ≥ 0$，
即 $32 ≥ 8m$，
解得 $m ≤ 4$。
(2)
∵ $x_1$、$x_2$是该方程的两个实数根，
∴ 根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m+1$，
已知$x_1^2 + x_2^2 = 22$，由完全平方公式变形得$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入数值可得：$6^2 - 2(2m+1) = 22$，
即 $36 - 4m - 2 = 22$，
整理得$34 - 4m = 22$，
解得 $m=3$，
验证：$m=3 ≤ 4$，满足方程有两个实根的条件，结果成立。
【答案】
(1) $m ≤ 4$；(2) $m=3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，核心考查根的判别式的意义和韦达定理的应用，求解参数后注意验证参数是否符合方程有实根的前提，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
二、确定字母系数的存在性问题
2. (2025 衡阳模拟)关于 x 的一元二次方程 $x^2 - 3x - k = 0$ 有两个不相等的实数根.
(1)求 k 的取值范围；
(2)设 $x_1, x_2$ 是该方程的两个实数根，是否存在 k 值使 $2x_1 + x_1x_2 + 2x_2 = 10$？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由.
2. (2025 衡阳模拟)关于 x 的一元二次方程 $x^2 - 3x - k = 0$ 有两个不相等的实数根.
(1)求 k 的取值范围；
(2)设 $x_1, x_2$ 是该方程的两个实数根，是否存在 k 值使 $2x_1 + x_1x_2 + 2x_2 = 10$？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由.
答案
2. 解:(1)
∵关于 x 的一元二次方程 x²-3x-k=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=9+4k＞0，解得 k＞-9/4，
即 k 的取值范围为 k＞-9/4。
(2)x₁,x₂ 是方程 x²-3x-k=0 的两个实数根，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=-k。
∵2x₁+x₁x₂+2x₂=2(x₁+x₂)+x₁x₂=10，
∴6-k=10，
解得 k=-4。
∵k＞-9/4，
∴不存在 k 值使得 2x₁+x₁x₂+2x₂=10。
∵关于 x 的一元二次方程 x²-3x-k=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=9+4k＞0，解得 k＞-9/4，
即 k 的取值范围为 k＞-9/4。
(2)x₁,x₂ 是方程 x²-3x-k=0 的两个实数根，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=-k。
∵2x₁+x₁x₂+2x₂=2(x₁+x₂)+x₁x₂=10，
∴6-k=10，
解得 k=-4。
∵k＞-9/4，
∴不存在 k 值使得 2x₁+x₁x₂+2x₂=10。
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，代入方程的系数计算Δ，解不等式即可得到k的取值范围。
(2) 解决存在性问题时，先利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积的表达式，代入给定的等式求解k的数值，再将求出的k和第(1)问的取值范围对比，若在范围内则存在，否则不存在。
【解析】
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×(-k) = 9+4k ＞ 0$，
解得：$k ＞ -\frac{9}{4}$，
即k的取值范围为$k ＞ -\frac{9}{4}$。
(2) 不存在符合条件的k值，理由如下：
∵$x_1, x_2$是方程$x^2 - 3x - k = 0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2 = 3$，$x_1x_2 = -k$，
对$2x_1 + x_1x_2 + 2x_2$变形得$2(x_1+x_2)+x_1x_2$，
代入$2x_1 + x_1x_2 + 2x_2 = 10$得：$2×3 + (-k) = 10$，
即$6 - k = 10$，解得$k = -4$，
∵$k ＞ -\frac{9}{4}$，$-4 ＜ -\frac{9}{4}$，不符合取值要求，
∴不存在k值使$2x_1 + x_1x_2 + 2x_2 = 10$。
【答案】
(1) $k ＞ -\frac{9}{4}$；
(2) 不存在符合条件的k值。
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，存在性问题判定
【点评】
本题是一元二次方程根的相关知识的基础综合应用，解题时要注意使用根与系数关系的前提是方程有实数根，因此求解参数值后必须验证是否符合根的判别式的限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，代入方程的系数计算Δ，解不等式即可得到k的取值范围。
(2) 解决存在性问题时，先利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积的表达式，代入给定的等式求解k的数值，再将求出的k和第(1)问的取值范围对比，若在范围内则存在，否则不存在。
【解析】
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×(-k) = 9+4k ＞ 0$，
解得：$k ＞ -\frac{9}{4}$，
即k的取值范围为$k ＞ -\frac{9}{4}$。
(2) 不存在符合条件的k值，理由如下：
∵$x_1, x_2$是方程$x^2 - 3x - k = 0$的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2 = 3$，$x_1x_2 = -k$，
对$2x_1 + x_1x_2 + 2x_2$变形得$2(x_1+x_2)+x_1x_2$，
代入$2x_1 + x_1x_2 + 2x_2 = 10$得：$2×3 + (-k) = 10$，
即$6 - k = 10$，解得$k = -4$，
∵$k ＞ -\frac{9}{4}$，$-4 ＜ -\frac{9}{4}$，不符合取值要求，
∴不存在k值使$2x_1 + x_1x_2 + 2x_2 = 10$。
【答案】
(1) $k ＞ -\frac{9}{4}$；
(2) 不存在符合条件的k值。
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，存在性问题判定
【点评】
本题是一元二次方程根的相关知识的基础综合应用，解题时要注意使用根与系数关系的前提是方程有实数根，因此求解参数值后必须验证是否符合根的判别式的限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
三、与几何知识的综合运用
3. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5=0$的两个实数根.
(1)若$(x_1 -1)(x_2 -1)=28$,求$m$的值;
(2)已知等腰$△ ABC$的一边长为7,若$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长,求这个三角形的周长.
3. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5=0$的两个实数根.
(1)若$(x_1 -1)(x_2 -1)=28$,求$m$的值;
(2)已知等腰$△ ABC$的一边长为7,若$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长,求这个三角形的周长.
答案
3. 解:(1)由题意，得 Δ=[-2(m+1)]²-4(m²+5)=8m-16≥0，
解得 m≥2。
∵x₁+x₂=2(m+1)，x₁x₂=m²+5，
∴(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1=m²+5-2(m+1)+1=28，
解得 m₁=6，m₂=-4(不合题意，舍去)。
∴m 的值为 6。
(2)①当 7 为底边时，此时方程 x²-2(m+1)x+m²+5=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=8m-16=0，
解得 m=2，
∴原方程可化为 x²-6x+9=0，
解得 x₁=x₂=3。
∵3+3＜7，
∴不能构成三角形。
②当 7 为腰时，设 x₁=7，
代入方程，得 49-14(m+1)+m²+5=0，
解得 m₁=10，m₂=4。
当 m=10 时，原方程可化为 x²-22x+105=0，
解得 x=7 或 x=15。
∵7+7＜15，
∴不能构成三角形。
当 m=4 时，原方程可化为 x²-10x+21=0，
解得 x=3 或 x=7。
∵3+7＞7，
∴能构成三角形。
此时三角形的周长为 7+7+3=17。
综上所述，这个三角形的周长为 17。
解得 m≥2。
∵x₁+x₂=2(m+1)，x₁x₂=m²+5，
∴(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1=m²+5-2(m+1)+1=28，
解得 m₁=6，m₂=-4(不合题意，舍去)。
∴m 的值为 6。
(2)①当 7 为底边时，此时方程 x²-2(m+1)x+m²+5=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=8m-16=0，
解得 m=2，
∴原方程可化为 x²-6x+9=0，
解得 x₁=x₂=3。
∵3+3＜7，
∴不能构成三角形。
②当 7 为腰时，设 x₁=7，
代入方程，得 49-14(m+1)+m²+5=0，
解得 m₁=10，m₂=4。
当 m=10 时，原方程可化为 x²-22x+105=0，
解得 x=7 或 x=15。
∵7+7＜15，
∴不能构成三角形。
当 m=4 时，原方程可化为 x²-10x+21=0，
解得 x=3 或 x=7。
∵3+7＞7，
∴能构成三角形。
此时三角形的周长为 7+7+3=17。
综上所述，这个三角形的周长为 17。
解析
【分析】
(1)解决该问首先要先根据一元二次方程有两个实数根的条件，用判别式Δ≥0求出m的取值范围；再利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，将待求式$(x_1 -1)(x_2 -1)$展开后代入，即可得到关于m的一元二次方程，求解后结合m的取值范围舍去不符合的解即可。
(2)等腰三角形已知一边长为7，另外两边为方程的根，需分两类讨论：①当7为底边长时，方程两根相等即Δ=0，求出m后解方程得到两根，再用三角形三边关系判断是否能构成三角形；②当7为腰长时，将x=7代入方程求出m的值，再解出方程的另一个根，同样用三边关系验证，符合条件的即可计算三角形周长。
【解析】
(1)由题意，得 $\Delta=[-2(m+1)]^2-4(m^2+5)=8m-16≥0$，
解得 $m≥2$。
$\because x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2+5$，
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=m^2+5-2(m+1)+1=28$，
解得 $m_1=6$，$m_2=-4$（不合题意，舍去）。
$\therefore m$ 的值为6。
(2)①当7为底边时，此时方程 $x^2-2(m+1)x+m^2+5=0$ 有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=8m-16=0$，
解得 $m=2$，
$\therefore$ 原方程可化为 $x^2-6x+9=0$，
解得 $x_1=x_2=3$。
$\because 3+3＜7$，
$\therefore$ 不能构成三角形。
②当7为腰时，设 $x_1=7$，
代入方程，得 $49-14(m+1)+m^2+5=0$，
解得 $m_1=10$，$m_2=4$。
当 $m=10$ 时，原方程可化为 $x^2-22x+105=0$，
解得 $x=7$ 或 $x=15$。
$\because 7+7＜15$，
$\therefore$ 不能构成三角形。
当 $m=4$ 时，原方程可化为 $x^2-10x+21=0$，
解得 $x=3$ 或 $x=7$。
$\because 3+7＞7$，
$\therefore$ 能构成三角形。
此时三角形的周长为 $7+7+3=17$。
综上所述，这个三角形的周长为17。
【答案】
(1)$m=6$；(2)$17$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，三角形三边关系
【点评】
本题为一元二次方程与几何的综合题，解题过程中需运用分类讨论思想，注意求出参数或边长后要验证是否满足方程有实根的条件和三角形三边关系，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
(1)解决该问首先要先根据一元二次方程有两个实数根的条件，用判别式Δ≥0求出m的取值范围；再利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，将待求式$(x_1 -1)(x_2 -1)$展开后代入，即可得到关于m的一元二次方程，求解后结合m的取值范围舍去不符合的解即可。
(2)等腰三角形已知一边长为7，另外两边为方程的根，需分两类讨论：①当7为底边长时，方程两根相等即Δ=0，求出m后解方程得到两根，再用三角形三边关系判断是否能构成三角形；②当7为腰长时，将x=7代入方程求出m的值，再解出方程的另一个根，同样用三边关系验证，符合条件的即可计算三角形周长。
【解析】
(1)由题意，得 $\Delta=[-2(m+1)]^2-4(m^2+5)=8m-16≥0$，
解得 $m≥2$。
$\because x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2+5$，
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=m^2+5-2(m+1)+1=28$，
解得 $m_1=6$，$m_2=-4$（不合题意，舍去）。
$\therefore m$ 的值为6。
(2)①当7为底边时，此时方程 $x^2-2(m+1)x+m^2+5=0$ 有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=8m-16=0$，
解得 $m=2$，
$\therefore$ 原方程可化为 $x^2-6x+9=0$，
解得 $x_1=x_2=3$。
$\because 3+3＜7$，
$\therefore$ 不能构成三角形。
②当7为腰时，设 $x_1=7$，
代入方程，得 $49-14(m+1)+m^2+5=0$，
解得 $m_1=10$，$m_2=4$。
当 $m=10$ 时，原方程可化为 $x^2-22x+105=0$，
解得 $x=7$ 或 $x=15$。
$\because 7+7＜15$，
$\therefore$ 不能构成三角形。
当 $m=4$ 时，原方程可化为 $x^2-10x+21=0$，
解得 $x=3$ 或 $x=7$。
$\because 3+7＞7$，
$\therefore$ 能构成三角形。
此时三角形的周长为 $7+7+3=17$。
综上所述，这个三角形的周长为17。
【答案】
(1)$m=6$；(2)$17$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，三角形三边关系
【点评】
本题为一元二次方程与几何的综合题，解题过程中需运用分类讨论思想，注意求出参数或边长后要验证是否满足方程有实根的条件和三角形三边关系，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
