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6.如图,已知∠α=40°,在标有东南西北的图中,用尺规作图,并注明:
(1)北偏东40°;
(2)北偏西50°;
(3)南偏东80°。
(1)北偏东40°;
(2)北偏西50°;
(3)南偏东80°。
答案
解：
取东西南北方向线的交点为点O：
(1) 以O为顶点，正北方向的射线为一边，在北与东之间作∠NOA=∠α=40°，射线OA即为北偏东40°的方向，在射线OA旁标注“北偏东40°”。
(2) 以O为顶点，正西方向的射线为一边，在北与西之间作∠WOB=∠α=40°，由南北方向线与东西方向线垂直，得∠NOB=90°-40°=50°，射线OB即为北偏西50°的方向，在射线OB旁标注“北偏西50°”。
(3) 以O为顶点，正南方向的射线为一边，在南与东之间顺次作两个角都等于∠α，得到总角度为80°的终边射线OC，射线OC即为南偏东80°的方向，在射线OC旁标注“南偏东80°”。
按上述尺规作相等角的步骤完成作图即可。
取东西南北方向线的交点为点O：
(1) 以O为顶点，正北方向的射线为一边，在北与东之间作∠NOA=∠α=40°，射线OA即为北偏东40°的方向，在射线OA旁标注“北偏东40°”。
(2) 以O为顶点，正西方向的射线为一边，在北与西之间作∠WOB=∠α=40°，由南北方向线与东西方向线垂直，得∠NOB=90°-40°=50°，射线OB即为北偏西50°的方向，在射线OB旁标注“北偏西50°”。
(3) 以O为顶点，正南方向的射线为一边，在南与东之间顺次作两个角都等于∠α，得到总角度为80°的终边射线OC，射线OC即为南偏东80°的方向，在射线OC旁标注“南偏东80°”。
按上述尺规作相等角的步骤完成作图即可。
解析
【分析】
解题前需先明确两个核心要点：①尺规作一个角等于已知角的操作方法；②方向角是以正北、正南为基准，结合偏东/偏西的角度表示方位的规则。解题步骤可按以下思路展开：首先确定公共顶点为东西、南北方向线的交点O；再分别对应三个要求作图：
(1) 北偏东40°的角度与已知∠α相等，只需以正北射线为始边，向东作等于∠α的角即可；
(2) 北偏西50°，因为正北与正西的夹角为90°，90°-50°=40°，即该方向与正西方向的夹角等于∠α，因此以正西射线为始边，向北作等于∠α的角，就能得到北偏西50°的方向；
(3) 南偏东80°是已知∠α的2倍，所以以正南射线为始边，向东连续作2个等于∠α的角，总角度即为80°；最后在每条作出的射线上标注对应的方向名称即可。
【解析】
取东西、南北方向线的交点为点O：
(1) 以O为顶点，正北方向的射线为一边，在正北与正东的区域内用尺规作∠NOA=∠α=40°，射线OA就是北偏东40°的方向，在OA旁标注“北偏东40°”；
(2) 以O为顶点，正西方向的射线为一边，在正北与正西的区域内用尺规作∠WOB=∠α=40°，由于南北方向线与东西方向线互相垂直，可得∠NOB=90°-40°=50°，射线OB就是北偏西50°的方向，在OB旁标注“北偏西50°”；
(3) 以O为顶点，正南方向的射线为一边，在正南与正东的区域内顺次用尺规作两个大小都等于∠α的角，得到总角度为80°的终边射线OC，射线OC就是南偏东80°的方向，在OC旁标注“南偏东80°”。
按上述尺规作相等角的步骤完成作图即可。
【答案】
按上述步骤完成作图，作出标注有“北偏东40°”“北偏西50°”“南偏东80°”的三条方向射线即可。
【知识点】
作一个角等于已知角；方向角；垂直的性质
【点评】
本题融合了尺规基本作图和方向角的知识，既考查了基础作图技能，也考查了方位角的实际应用能力，解题时要注意角度与方位的对应转换，作图要规范，标注要清晰。
【难度系数】
0.7
解题前需先明确两个核心要点：①尺规作一个角等于已知角的操作方法；②方向角是以正北、正南为基准，结合偏东/偏西的角度表示方位的规则。解题步骤可按以下思路展开：首先确定公共顶点为东西、南北方向线的交点O；再分别对应三个要求作图：
(1) 北偏东40°的角度与已知∠α相等，只需以正北射线为始边，向东作等于∠α的角即可；
(2) 北偏西50°，因为正北与正西的夹角为90°，90°-50°=40°，即该方向与正西方向的夹角等于∠α，因此以正西射线为始边，向北作等于∠α的角，就能得到北偏西50°的方向；
(3) 南偏东80°是已知∠α的2倍，所以以正南射线为始边，向东连续作2个等于∠α的角，总角度即为80°；最后在每条作出的射线上标注对应的方向名称即可。
【解析】
取东西、南北方向线的交点为点O：
(1) 以O为顶点，正北方向的射线为一边，在正北与正东的区域内用尺规作∠NOA=∠α=40°，射线OA就是北偏东40°的方向，在OA旁标注“北偏东40°”；
(2) 以O为顶点，正西方向的射线为一边，在正北与正西的区域内用尺规作∠WOB=∠α=40°，由于南北方向线与东西方向线互相垂直，可得∠NOB=90°-40°=50°，射线OB就是北偏西50°的方向，在OB旁标注“北偏西50°”；
(3) 以O为顶点，正南方向的射线为一边，在正南与正东的区域内顺次用尺规作两个大小都等于∠α的角，得到总角度为80°的终边射线OC，射线OC就是南偏东80°的方向，在OC旁标注“南偏东80°”。
按上述尺规作相等角的步骤完成作图即可。
【答案】
按上述步骤完成作图，作出标注有“北偏东40°”“北偏西50°”“南偏东80°”的三条方向射线即可。
【知识点】
作一个角等于已知角；方向角；垂直的性质
【点评】
本题融合了尺规基本作图和方向角的知识，既考查了基础作图技能，也考查了方位角的实际应用能力，解题时要注意角度与方位的对应转换，作图要规范，标注要清晰。
【难度系数】
0.7
7.已知：$∠α$，$∠β$（$∠α ＞ ∠β$），如图所示。
求作：$∠\gamma$，使$∠\gamma = 2∠α + ∠β$。
求作：$∠\gamma$，使$∠\gamma = 2∠α + ∠β$。
答案
7. 解:如图,∠AOB 为所求作的角。
解析
【分析】
要作出满足$∠\gamma = 2∠α + ∠β$的角，本质是将2个$∠α$和1个$∠β$拼接成一个大角，可利用尺规作一个角等于已知角的方法逐步作图：首先确定角的顶点和一条起始边，先依次作出两个相等的$∠α$，拼接得到$2∠α$，再在$2∠α$的外侧拼接$∠β$，最终得到的大角就是所求的$∠\gamma$。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作射线$OB$，确定所求角的顶点$O$和一条边$OB$；
2. 以点$O$为顶点，$OB$为一边，用尺规作$∠BOC=∠α$；
3. 以点$O$为顶点，$OC$为一边，在$∠BOC$的外侧作$∠COD=∠α$，此时$∠BOD=∠BOC+∠COD=2∠α$；
4. 以点$O$为顶点，$OD$为一边，在$∠BOD$的外侧作$∠DOA=∠β$，此时$∠AOB=∠BOD+∠DOA=2∠α+∠β$。
【答案】
如图，∠AOB为所求作的角。
【知识点】
1. 尺规作一个角等于已知角；2. 角的和差运算
【点评】
本题属于角的尺规作图基础题型，核心考查作等角的操作方法和角的和倍拼接逻辑，作图时需注意每次新作的角都要放在已作角的外侧，避免角重叠导致结果错误，熟练掌握作一个角等于已知角的步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要作出满足$∠\gamma = 2∠α + ∠β$的角，本质是将2个$∠α$和1个$∠β$拼接成一个大角，可利用尺规作一个角等于已知角的方法逐步作图：首先确定角的顶点和一条起始边，先依次作出两个相等的$∠α$，拼接得到$2∠α$，再在$2∠α$的外侧拼接$∠β$，最终得到的大角就是所求的$∠\gamma$。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作射线$OB$，确定所求角的顶点$O$和一条边$OB$；
2. 以点$O$为顶点，$OB$为一边，用尺规作$∠BOC=∠α$；
3. 以点$O$为顶点，$OC$为一边，在$∠BOC$的外侧作$∠COD=∠α$，此时$∠BOD=∠BOC+∠COD=2∠α$；
4. 以点$O$为顶点，$OD$为一边，在$∠BOD$的外侧作$∠DOA=∠β$，此时$∠AOB=∠BOD+∠DOA=2∠α+∠β$。
【答案】
如图，∠AOB为所求作的角。
【知识点】
1. 尺规作一个角等于已知角；2. 角的和差运算
【点评】
本题属于角的尺规作图基础题型，核心考查作等角的操作方法和角的和倍拼接逻辑，作图时需注意每次新作的角都要放在已作角的外侧，避免角重叠导致结果错误，熟练掌握作一个角等于已知角的步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8.【综合与实践】(1)按要求画图：
①任意画一个小于平角的∠AOB；
②以O为圆心，以任意长为半径画弧分别与OA，OB交于点C，D；
③分别以C，D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧交于点E；
④作射线OE。（不写作法，保留作图痕迹）
(2)问题：
①测量OE是不是∠AOB的平分线；
②根据以上信息你能用尺规画出一个直角吗？
①任意画一个小于平角的∠AOB；
②以O为圆心，以任意长为半径画弧分别与OA，OB交于点C，D；
③分别以C，D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧交于点E；
④作射线OE。（不写作法，保留作图痕迹）
(2)问题：
①测量OE是不是∠AOB的平分线；
②根据以上信息你能用尺规画出一个直角吗？
答案
8. 解:(1)如图①。
(2)①OE 是∠AOB 的平分线。
②可以,如图②,∠POB 就是直角。
解析
【分析】
(1) 本部分为尺规作图题，严格按照题目给出的4个步骤依次操作即可，该作图流程是标准的角平分线尺规作图步骤，作图时注意保留圆弧痕迹。
(2) ① 判断OE是否为角平分线，按照题目要求用量角器分别测量∠AOE和∠BOE的度数，对比两个角度是否相等即可得出结论。
② 要画直角，已知直角为90°，平角为180°，90°是180°的一半，因此可先绘制一个平角，再用(1)中学习的角平分线尺规作法平分这个平角，得到的角就是90°，即直角。
【解析】
(1) 按步骤作图：先画出小于平角的∠AOB，再以O为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA、OB于C、D两点；接着分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于点E；最后作射线OE，作图痕迹如图①所示。
(2) ① 用量角器测量∠AOE和∠BOE的度数，可得到∠AOE=∠BOE，因此OE是∠AOB的平分线。
② 可以画出直角：首先画直线AB，在AB上选取点O，此时∠AOB是度数为180°的平角；再沿用(1)中作角平分线的方法，作出∠AOB的平分线OP，可得$∠ POB=∠ POA=\frac{1}{2}×180°=90°$，即∠POB就是所求的直角，作图痕迹如图②所示。
【答案】
(1) 如图①。
(2) ①OE 是∠AOB 的平分线。
②可以,如图②,∠POB 就是直角。
【知识点】
尺规作角平分线，角平分线定义，平角的性质
【点评】
本题侧重考查尺规作图的动手操作能力和知识迁移能力，要求掌握角平分线的尺规作图方法，能灵活利用角平分线的性质解决新的作图问题，是几何作图的基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 本部分为尺规作图题，严格按照题目给出的4个步骤依次操作即可，该作图流程是标准的角平分线尺规作图步骤，作图时注意保留圆弧痕迹。
(2) ① 判断OE是否为角平分线，按照题目要求用量角器分别测量∠AOE和∠BOE的度数，对比两个角度是否相等即可得出结论。
② 要画直角，已知直角为90°，平角为180°，90°是180°的一半，因此可先绘制一个平角，再用(1)中学习的角平分线尺规作法平分这个平角，得到的角就是90°，即直角。
【解析】
(1) 按步骤作图：先画出小于平角的∠AOB，再以O为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA、OB于C、D两点；接着分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于点E；最后作射线OE，作图痕迹如图①所示。
(2) ① 用量角器测量∠AOE和∠BOE的度数，可得到∠AOE=∠BOE，因此OE是∠AOB的平分线。
② 可以画出直角：首先画直线AB，在AB上选取点O，此时∠AOB是度数为180°的平角；再沿用(1)中作角平分线的方法，作出∠AOB的平分线OP，可得$∠ POB=∠ POA=\frac{1}{2}×180°=90°$，即∠POB就是所求的直角，作图痕迹如图②所示。
【答案】
(1) 如图①。
(2) ①OE 是∠AOB 的平分线。
②可以,如图②,∠POB 就是直角。
【知识点】
尺规作角平分线，角平分线定义，平角的性质
【点评】
本题侧重考查尺规作图的动手操作能力和知识迁移能力，要求掌握角平分线的尺规作图方法，能灵活利用角平分线的性质解决新的作图问题，是几何作图的基础题型。
【难度系数】
0.8
