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1. (2024·广州)下列图案中,点O为正方形的中心,阴影部分的两个三角形全等,则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是 () 
答案
C
解析
【分析】
要判断两个阴影三角形是否关于点O中心对称，首先明确中心对称的核心判定规则：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于该点中心对称。本题已经给出阴影部分两个三角形全等，因此只需逐个验证选项中两个阴影三角形绕O点旋转180°后能否重合，结合正方形的对称性逐一排查即可得到答案。
【解析】
中心对称需满足两个条件：①两个图形全等；②其中一个图形绕对称中心旋转180°后可与另一个图形重合，本题已知阴影三角形全等，只需验证旋转180°是否重合：
选项A：两个阴影三角形关于正方形竖直中线轴对称，绕O旋转180°后无法重合，不符合要求；
选项B：两个阴影三角形位置、朝向不满足旋转180°重合的特点，不符合要求；
选项C：将左侧阴影三角形绕O点旋转180°后，恰好与右侧阴影三角形完全重合，符合关于点O中心对称的定义；
选项D：两个阴影三角形关于正方形竖直中线轴对称，绕O旋转180°后无法重合，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的识别、正方形的性质、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，将中心对称判定与正方形、全等三角形的性质结合考查，解题的核心是抓住中心对称“旋转180°后重合”的特征，即可快速完成判断。
【难度系数】
0.7
要判断两个阴影三角形是否关于点O中心对称，首先明确中心对称的核心判定规则：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于该点中心对称。本题已经给出阴影部分两个三角形全等，因此只需逐个验证选项中两个阴影三角形绕O点旋转180°后能否重合，结合正方形的对称性逐一排查即可得到答案。
【解析】
中心对称需满足两个条件：①两个图形全等；②其中一个图形绕对称中心旋转180°后可与另一个图形重合，本题已知阴影三角形全等，只需验证旋转180°是否重合：
选项A：两个阴影三角形关于正方形竖直中线轴对称，绕O旋转180°后无法重合，不符合要求；
选项B：两个阴影三角形位置、朝向不满足旋转180°重合的特点，不符合要求；
选项C：将左侧阴影三角形绕O点旋转180°后，恰好与右侧阴影三角形完全重合，符合关于点O中心对称的定义；
选项D：两个阴影三角形关于正方形竖直中线轴对称，绕O旋转180°后无法重合，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的识别、正方形的性质、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，将中心对称判定与正方形、全等三角形的性质结合考查，解题的核心是抓住中心对称“旋转180°后重合”的特征，即可快速完成判断。
【难度系数】
0.7
2. 图1中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）
A.甲和乙
B.乙和丙
C.甲和丙
D.只有丙
A.甲和乙
B.乙和丙
C.甲和丙
D.只有丙
答案
B
解析
【分析】
解题需先明确全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），先整理左侧△ABC的角度、边角对应关系，再逐一对比甲、乙、丙的已知条件，判断是否符合全等判定规则即可。
第一步：先明确△ABC的基本信息：∠B=50°，∠C=58°，∠A=72°；边BC=a，AB=c，边a和边c的夹角为∠B=50°，边a是72°角（∠A）的对边。
第二步：逐个判断：①甲仅已知顶角50°、底边为a，△ABC中50°角的对边不是a，不符合判定条件；②乙已知两边a、c，夹角为50°，和△ABC的边角对应关系匹配，符合SAS判定；③丙已知两角50°、72°，可算第三个角为58°，且72°角的对边为a，和△ABC条件匹配，符合AAS判定。因此乙、丙和△ABC全等。
【解析】
首先整理△ABC的信息：在△ABC中，∠B=50°，∠C=58°，∠A=72°，边BC=a，AB=c。
根据全等三角形判定定理逐一分析：
1. 分析甲三角形：仅已知顶角为50°，底边长为a。△ABC中50°角（∠B）的对边为AC=b≠a，不满足全等判定的条件，因此甲和△ABC不全等。
2. 分析乙三角形：已知两边长为a、c，且两边的夹角为50°，与△ABC中“BC=a，AB=c，夹角∠B=50°”的条件完全一致，符合SAS（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）判定定理，因此乙和△ABC全等。
3. 分析丙三角形：已知两个内角为50°、72°，根据三角形内角和为180°，可得第三个内角为$180°-50°-72°=58°$，且72°角的对边为a，与△ABC中“∠A=72°的对边为BC=a，其余两角为50°、58°”的条件一致，符合AAS（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）判定定理，因此丙和△ABC全等。
综上，乙和丙与左侧△ABC全等。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题考查全等三角形的判定应用，解题核心是准确匹配两个三角形的边角对应关系，牢记全等判定定理的适用条件，避免混淆夹角、对边的对应位置即可正确求解。
【难度系数】
0.7
解题需先明确全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），先整理左侧△ABC的角度、边角对应关系，再逐一对比甲、乙、丙的已知条件，判断是否符合全等判定规则即可。
第一步：先明确△ABC的基本信息：∠B=50°，∠C=58°，∠A=72°；边BC=a，AB=c，边a和边c的夹角为∠B=50°，边a是72°角（∠A）的对边。
第二步：逐个判断：①甲仅已知顶角50°、底边为a，△ABC中50°角的对边不是a，不符合判定条件；②乙已知两边a、c，夹角为50°，和△ABC的边角对应关系匹配，符合SAS判定；③丙已知两角50°、72°，可算第三个角为58°，且72°角的对边为a，和△ABC条件匹配，符合AAS判定。因此乙、丙和△ABC全等。
【解析】
首先整理△ABC的信息：在△ABC中，∠B=50°，∠C=58°，∠A=72°，边BC=a，AB=c。
根据全等三角形判定定理逐一分析：
1. 分析甲三角形：仅已知顶角为50°，底边长为a。△ABC中50°角（∠B）的对边为AC=b≠a，不满足全等判定的条件，因此甲和△ABC不全等。
2. 分析乙三角形：已知两边长为a、c，且两边的夹角为50°，与△ABC中“BC=a，AB=c，夹角∠B=50°”的条件完全一致，符合SAS（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）判定定理，因此乙和△ABC全等。
3. 分析丙三角形：已知两个内角为50°、72°，根据三角形内角和为180°，可得第三个内角为$180°-50°-72°=58°$，且72°角的对边为a，与△ABC中“∠A=72°的对边为BC=a，其余两角为50°、58°”的条件一致，符合AAS（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）判定定理，因此丙和△ABC全等。
综上，乙和丙与左侧△ABC全等。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题考查全等三角形的判定应用，解题核心是准确匹配两个三角形的边角对应关系，牢记全等判定定理的适用条件，避免混淆夹角、对边的对应位置即可正确求解。
【难度系数】
0.7
3. (2024·济南)如图2,已知$△ ABC ≌ △ DEC$, $∠ A = 60°$, $∠ B = 40°$,则$∠ DCE$的度数为 ()
A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$
A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件$△ ABC ≌ △ DEC$入手，根据全等三角形的性质，对应角相等，可知待求的$∠ DCE$与$△ ABC$中的$∠ ACB$是对应角，因此只需先求出$∠ ACB$的度数即可。在$△ ABC$中已知两个内角的度数，利用三角形内角和为$180°$就能计算出$∠ ACB$的度数，进而得到$∠ DCE$的度数。
【解析】
1. 计算$△ ABC$中$∠ ACB$的度数：
根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ A=60°$，$∠ B=40°$，
可得$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 40° = 80°$。
2. 利用全等三角形的性质求$∠ DCE$：
$\because △ ABC ≌ △ DEC$，全等三角形对应角相等，
$\therefore ∠ DCE = ∠ ACB = 80°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心是利用全等三角形对应角相等的性质，将未知角转化为已知三角形中的内角，再结合三角形内角和定理求解，解题时要注意准确识别全等三角形的对应角，避免因对应关系找错失分。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$△ ABC ≌ △ DEC$入手，根据全等三角形的性质，对应角相等，可知待求的$∠ DCE$与$△ ABC$中的$∠ ACB$是对应角，因此只需先求出$∠ ACB$的度数即可。在$△ ABC$中已知两个内角的度数，利用三角形内角和为$180°$就能计算出$∠ ACB$的度数，进而得到$∠ DCE$的度数。
【解析】
1. 计算$△ ABC$中$∠ ACB$的度数：
根据三角形内角和为$180°$，已知$∠ A=60°$，$∠ B=40°$，
可得$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 40° = 80°$。
2. 利用全等三角形的性质求$∠ DCE$：
$\because △ ABC ≌ △ DEC$，全等三角形对应角相等，
$\therefore ∠ DCE = ∠ ACB = 80°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心是利用全等三角形对应角相等的性质，将未知角转化为已知三角形中的内角，再结合三角形内角和定理求解，解题时要注意准确识别全等三角形的对应角，避免因对应关系找错失分。
【难度系数】
0.8
4. (2024·成都)如图3，$△ ABC ≌ △ CDE$，若$∠ D = 35°$，$∠ ACB = 45°$，则$∠ DCE$的度数为。
答案
$\boldsymbol{100°}$
解析
【分析】
题目已知两个三角形全等，首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等。我们要求的∠DCE是△CDE的内角，已知∠D=35°，只需要找到△CDE中另一个内角的度数即可。根据全等对应关系，∠ACB和△CDE中的∠CED是对应角，可得到∠CED的度数，再结合三角形内角和为180°，就能计算出∠DCE的度数。
【解析】
解：
∵$△ ABC ≌ △ CDE$，
∴$∠ CED = ∠ ACB = 45°$（全等三角形对应角相等）。
在$△ CDE$中，根据三角形内角和定理：
$∠ DCE = 180° - ∠ D - ∠ CED$，
将$∠ D=35°$，$∠ CED=45°$代入得：
$∠ DCE = 180° - 35° - 45° = 100°$。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形对应角的识别与性质应用，以及三角形内角和定理的计算，解题的关键是准确匹配全等三角形的对应角，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
题目已知两个三角形全等，首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等。我们要求的∠DCE是△CDE的内角，已知∠D=35°，只需要找到△CDE中另一个内角的度数即可。根据全等对应关系，∠ACB和△CDE中的∠CED是对应角，可得到∠CED的度数，再结合三角形内角和为180°，就能计算出∠DCE的度数。
【解析】
解：
∵$△ ABC ≌ △ CDE$，
∴$∠ CED = ∠ ACB = 45°$（全等三角形对应角相等）。
在$△ CDE$中，根据三角形内角和定理：
$∠ DCE = 180° - ∠ D - ∠ CED$，
将$∠ D=35°$，$∠ CED=45°$代入得：
$∠ DCE = 180° - 35° - 45° = 100°$。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形对应角的识别与性质应用，以及三角形内角和定理的计算，解题的关键是准确匹配全等三角形的对应角，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图4, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, D 为 BC 上一点, 连接 AD, 过 D 点作 $DE ⊥ AB$, 且 $DE = DC$. 若 $AB=5$, $AC=3$, 则 $EB=$. 
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：已知∠C=90°，DE⊥AB，可得△ACD和△AED均为直角三角形；又已知DE=DC，且AD是两个直角三角形的公共斜边，可先通过HL定理证明Rt△ACD≌Rt△AED，再利用全等三角形对应边相等推出AE=AC，最后用AB的长度减去AE的长度就能得到EB的长度。
【解析】
解：
∵ ∠C=90°，DE⊥AB
∴ ∠C=∠AED=90°，即△ACD和△AED都是直角三角形
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\\ DC=DE\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）
∴ AE = AC（全等三角形对应边相等）
∵ AC=3，
∴ AE=3
又
∵ AB=5
∴ EB = AB - AE = 5 - 3 = 2
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用公共边和已知等边证明直角三角形全等，得到对应边相等后结合线段和差即可求解，解题时要注意挖掘题目中的隐含公共边条件。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：已知∠C=90°，DE⊥AB，可得△ACD和△AED均为直角三角形；又已知DE=DC，且AD是两个直角三角形的公共斜边，可先通过HL定理证明Rt△ACD≌Rt△AED，再利用全等三角形对应边相等推出AE=AC，最后用AB的长度减去AE的长度就能得到EB的长度。
【解析】
解：
∵ ∠C=90°，DE⊥AB
∴ ∠C=∠AED=90°，即△ACD和△AED都是直角三角形
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\\ DC=DE\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）
∴ AE = AC（全等三角形对应边相等）
∵ AC=3，
∴ AE=3
又
∵ AB=5
∴ EB = AB - AE = 5 - 3 = 2
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用公共边和已知等边证明直角三角形全等，得到对应边相等后结合线段和差即可求解，解题时要注意挖掘题目中的隐含公共边条件。
【难度系数】
0.7
6. 数学课上,老师提出了一个问题:如图5,
已知$∠ C=∠ F=90°,BC=EF$,请补充一个条件,
使得$△ ABC≌△ DEF$.三位同学展示了自己补充的条件:
甲补充条件$AC = DF$,全等的判定依据是;
乙补充条件$∠ B=∠ E$,全等的判定依据是;
丙补充条件,全等的判定依据是
(1)请补全甲、乙、丙同学展示的答案;
(2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况,写出完整的全等证明过程.
已知$∠ C=∠ F=90°,BC=EF$,请补充一个条件,
使得$△ ABC≌△ DEF$.三位同学展示了自己补充的条件:
甲补充条件$AC = DF$,全等的判定依据是;
乙补充条件$∠ B=∠ E$,全等的判定依据是;
丙补充条件,全等的判定依据是
(1)请补全甲、乙、丙同学展示的答案;
(2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况,写出完整的全等证明过程.
答案
解：
(1) 边角边（或SAS）；
角边角（或ASA）；
$AB=DE$（答案不唯一）；
斜边直角边（或HL，与所填条件对应即可）
(2) 选甲同学的情况证明如下：
证明：在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\{\begin{array}{l}AC = DF, \\∠C = ∠F, \\BC = EF,\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$
(1) 边角边（或SAS）；
角边角（或ASA）；
$AB=DE$（答案不唯一）；
斜边直角边（或HL，与所填条件对应即可）
(2) 选甲同学的情况证明如下：
证明：在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\{\begin{array}{l}AC = DF, \\∠C = ∠F, \\BC = EF,\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，且BC=EF，即两个直角三角形已有一组直角相等、一组直角边对应相等。①甲补充AC=DF，此时两边及其夹角对应相等，对应SAS判定；②乙补充∠B=∠E，此时两角及其夹边对应相等，对应ASA判定；③丙可补充斜边AB=DE，利用直角三角形专属的HL判定，也可补充∠A=∠D利用AAS判定，只要符合判定定理即可。第二问证明时，按照全等证明的规范，先列出两个三角形的对应相等条件，再写出判定依据即可。
【解析】
(1) 甲补充AC=DF时，已知两组对应边AC=DF、BC=EF，且两边的夹角∠C=∠F=90°，所以判定依据是边角边（SAS）；
乙补充∠B=∠E时，已知两组对应角∠B=∠E、∠C=∠F，且两角的夹边BC=EF，所以判定依据是角边角（ASA）；
丙可补充条件$AB=DE$（答案不唯一，也可填∠A=∠D等），此时两个直角三角形的斜边和一组直角边对应相等，判定依据是斜边直角边（HL，若填∠A=∠D则对应AAS，与补充条件匹配即可）。
(2) 选甲同学的情况证明：
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\{\begin{array}{l}AC = DF\\∠ C = ∠ F = 90°\\BC = EF\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$
【答案】
(1) 边角边（或SAS）；角边角（或ASA）；$AB=DE$（答案不唯一）；斜边直角边（或HL，与所填条件对应即可）
(2) 示例：选甲同学的情况，证明如下：
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\{\begin{array}{l}AC = DF, \\∠ C = ∠ F, \\BC = EF,\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$
【知识点】
全等三角形的判定；直角三角形全等的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，需要熟练掌握各类全等判定定理的使用条件，注意直角三角形既可以使用普通三角形的全等判定定理，也可以使用专属的HL判定定理，补充条件类题目要结合已知条件合理选择，避免出现SSA这类错误的判定依据。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：已知△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，且BC=EF，即两个直角三角形已有一组直角相等、一组直角边对应相等。①甲补充AC=DF，此时两边及其夹角对应相等，对应SAS判定；②乙补充∠B=∠E，此时两角及其夹边对应相等，对应ASA判定；③丙可补充斜边AB=DE，利用直角三角形专属的HL判定，也可补充∠A=∠D利用AAS判定，只要符合判定定理即可。第二问证明时，按照全等证明的规范，先列出两个三角形的对应相等条件，再写出判定依据即可。
【解析】
(1) 甲补充AC=DF时，已知两组对应边AC=DF、BC=EF，且两边的夹角∠C=∠F=90°，所以判定依据是边角边（SAS）；
乙补充∠B=∠E时，已知两组对应角∠B=∠E、∠C=∠F，且两角的夹边BC=EF，所以判定依据是角边角（ASA）；
丙可补充条件$AB=DE$（答案不唯一，也可填∠A=∠D等），此时两个直角三角形的斜边和一组直角边对应相等，判定依据是斜边直角边（HL，若填∠A=∠D则对应AAS，与补充条件匹配即可）。
(2) 选甲同学的情况证明：
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\{\begin{array}{l}AC = DF\\∠ C = ∠ F = 90°\\BC = EF\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$
【答案】
(1) 边角边（或SAS）；角边角（或ASA）；$AB=DE$（答案不唯一）；斜边直角边（或HL，与所填条件对应即可）
(2) 示例：选甲同学的情况，证明如下：
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\{\begin{array}{l}AC = DF, \\∠ C = ∠ F, \\BC = EF,\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$
【知识点】
全等三角形的判定；直角三角形全等的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，需要熟练掌握各类全等判定定理的使用条件，注意直角三角形既可以使用普通三角形的全等判定定理，也可以使用专属的HL判定定理，补充条件类题目要结合已知条件合理选择，避免出现SSA这类错误的判定依据。
【难度系数】
0.8
