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4.如图，已知点C是线段AB延长线上一点，M为线段AC的中点，N为线段BC的中点，若AB=8，求MN的长。
答案
4. 解:4.
解析
【分析】
解题时首先回忆线段中点的性质：线段中点将线段分为长度相等的两段，每段长度是原线段的一半。观察图形可知MN的长度等于MC减去NC，因此我们可以先利用中点性质分别表示出MC和NC的长度，再对二者作差，最后结合AC与BC的差等于AB的长度，整体代入AB的已知值即可求出MN的长，不需要单独计算AC、BC的具体长度，用整体思想可简化计算。
【解析】
解：
∵ M是线段AC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，
∵ N是线段BC的中点，
∴ $NC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$，
又
∵ $AC-BC=AB$，且$AB=8$，
∴ $MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的核心是合理转化所求线段，结合线段中点的性质，运用整体思想代入已知条件求解，避免不必要的分段计算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段中点的性质：线段中点将线段分为长度相等的两段，每段长度是原线段的一半。观察图形可知MN的长度等于MC减去NC，因此我们可以先利用中点性质分别表示出MC和NC的长度，再对二者作差，最后结合AC与BC的差等于AB的长度，整体代入AB的已知值即可求出MN的长，不需要单独计算AC、BC的具体长度，用整体思想可简化计算。
【解析】
解：
∵ M是线段AC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，
∵ N是线段BC的中点，
∴ $NC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$，
又
∵ $AC-BC=AB$，且$AB=8$，
∴ $MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的核心是合理转化所求线段，结合线段中点的性质，运用整体思想代入已知条件求解，避免不必要的分段计算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5.如图,已知A,B两村分别在公路$l$两侧,现要在公路旁建一汽车站,使两村到汽车站距离之和最短,那么汽车站应建在什么位置?请在图中表示出汽车站的位置.
答案
5. 解:如图所示,根据两点之间,线段最短,连接AB与直线l交于点P,点P即为所建汽车站的位置.
解析
【分析】
要找到公路l上的点使它到A、B两村的距离之和最短，可结合线段的性质思考：两点之间线段最短。因为A、B在直线l两侧，若在l上任取一个不是AB与l交点的点，该点与A、B连接的两条线段长度之和一定大于线段AB的长度，只有当这个点为AB与l的交点时，到A、B的距离之和刚好等于AB的长度，为最小值，因此只需连接AB，找到它和直线l的交点即可。
【解析】
依据“两点之间，线段最短”的性质，连接A、B两点，线段AB与直线l的交点记为P，点P就是所求的汽车站的位置。
【答案】
解:如图所示,根据两点之间,线段最短,连接AB与直线l交于点P,点P即为所建汽车站的位置.
【知识点】
两点之间线段最短；线段作图
【点评】
本题是最短路径的基础应用题型，将实际问题转化为几何线段最短问题，熟练掌握两点之间线段最短的性质，即可快速求解这类两点到直线上一点距离和最短的基础问题。
【难度系数】
0.9
要找到公路l上的点使它到A、B两村的距离之和最短，可结合线段的性质思考：两点之间线段最短。因为A、B在直线l两侧，若在l上任取一个不是AB与l交点的点，该点与A、B连接的两条线段长度之和一定大于线段AB的长度，只有当这个点为AB与l的交点时，到A、B的距离之和刚好等于AB的长度，为最小值，因此只需连接AB，找到它和直线l的交点即可。
【解析】
依据“两点之间，线段最短”的性质，连接A、B两点，线段AB与直线l的交点记为P，点P就是所求的汽车站的位置。
【答案】
解:如图所示,根据两点之间,线段最短,连接AB与直线l交于点P,点P即为所建汽车站的位置.
【知识点】
两点之间线段最短；线段作图
【点评】
本题是最短路径的基础应用题型，将实际问题转化为几何线段最短问题，熟练掌握两点之间线段最短的性质，即可快速求解这类两点到直线上一点距离和最短的基础问题。
【难度系数】
0.9
6.如图,设A,B,C,D分别为草原上的四口油井,现在要建立一个维修站H,试问维修站建在何处,才能使它到四口油井的距离之和最小.
答案
6. 解:如图所示,连接AC,BD,其交点即为维修站H的位置.根据两点之间,线段最短,可知点H到四口油井的距离之和最小.
解析
【分析】
要找到使维修站H到四口油井的距离之和最小的位置，可先将总距离和拆分为两组两点距离之和：HA+HC和HB+HD。根据“两点之间，线段最短”的性质，要使HA+HC最小，H必须在线段AC上；要使HB+HD最小，H必须在线段BD上，同时满足两个条件的点就是两条线段的交点，此时总距离和最小。
【解析】
我们需要求HA+HB+HC+HD的最小值，将式子变形为$(HA+HC)+(HB+HD)$：
1. 根据两点之间线段最短的性质，对任意不在线段AC上的点$H'$，都有$H'A+H'C＞AC$，只有当H在线段AC上时，$HA+HC=AC$，取得最小值；
2. 同理，只有当H在线段BD上时，$HB+HD=BD$，取得最小值；
3. 因此线段AC和BD的交点同时满足两个最小条件，此时总距离和$HA+HB+HC+HD=AC+BD$，为最小值。
【答案】
解:如图所示,连接AC,BD,其交点即为维修站H的位置.根据两点之间,线段最短,可知点H到四口油井的距离之和最小.
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 线段最值应用
【点评】
本题是线段基本性质的实际应用类题目，解题核心是将四个点的距离和问题合理拆分为两组两点间距离和的问题，把复杂问题转化为熟悉的线段最值模型求解，侧重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
要找到使维修站H到四口油井的距离之和最小的位置，可先将总距离和拆分为两组两点距离之和：HA+HC和HB+HD。根据“两点之间，线段最短”的性质，要使HA+HC最小，H必须在线段AC上；要使HB+HD最小，H必须在线段BD上，同时满足两个条件的点就是两条线段的交点，此时总距离和最小。
【解析】
我们需要求HA+HB+HC+HD的最小值，将式子变形为$(HA+HC)+(HB+HD)$：
1. 根据两点之间线段最短的性质，对任意不在线段AC上的点$H'$，都有$H'A+H'C＞AC$，只有当H在线段AC上时，$HA+HC=AC$，取得最小值；
2. 同理，只有当H在线段BD上时，$HB+HD=BD$，取得最小值；
3. 因此线段AC和BD的交点同时满足两个最小条件，此时总距离和$HA+HB+HC+HD=AC+BD$，为最小值。
【答案】
解:如图所示,连接AC,BD,其交点即为维修站H的位置.根据两点之间,线段最短,可知点H到四口油井的距离之和最小.
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 线段最值应用
【点评】
本题是线段基本性质的实际应用类题目，解题核心是将四个点的距离和问题合理拆分为两组两点间距离和的问题，把复杂问题转化为熟悉的线段最值模型求解，侧重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
