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3. 某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒,最初有3台服务器感染病毒,经过两轮传播后共有147台服务器被感染,设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器,则根据题意可列方程为(
A.$3+3x+(3+3x)x=147$
B.$3+3x+3x^2=147$
C.$3x+(3+3x)x=147$
D.$3x(3+3x)=147$
A
)A.$3+3x+(3+3x)x=147$
B.$3+3x+3x^2=147$
C.$3x+(3+3x)x=147$
D.$3x(3+3x)=147$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道列方程的问题，需分步骤理清每轮传播的感染数量：首先明确初始感染的服务器数量，再分别计算第一轮、第二轮新感染的服务器数量，最后根据“两轮传播后总感染数=初始感染数+第一轮新增感染数+第二轮新增感染数”的等量关系列方程即可。思考时要注意，第二轮传播的传染源是第一轮传播结束后所有已经被感染的服务器，不是只有最初的3台。
【解析】
步骤1：确定初始感染数量：最初有3台服务器被感染。
步骤2：计算第一轮传播后的感染情况：每轮传播中平均1台感染x台，因此第一轮新感染的服务器数量为$3x$台，第一轮传播结束后总共有$3+3x$台被感染的服务器。
步骤3：计算第二轮传播后的感染情况：第二轮传播时，传染源是第一轮结束后所有被感染的$3+3x$台服务器，因此第二轮新感染的服务器数量为$(3+3x)x$台。
步骤4：列总感染数的方程：两轮传播后总感染数为147台，因此可得方程$3 + 3x + (3+3x)x = 147$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用，传播问题模型
【点评】
本题是传播类应用题的基础题型，解题的核心是准确区分每一轮传播的传染源数量，避免误将第二轮的传染源当成初始的3台，只要理清每一轮的数量变化逻辑就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道列方程的问题，需分步骤理清每轮传播的感染数量：首先明确初始感染的服务器数量，再分别计算第一轮、第二轮新感染的服务器数量，最后根据“两轮传播后总感染数=初始感染数+第一轮新增感染数+第二轮新增感染数”的等量关系列方程即可。思考时要注意，第二轮传播的传染源是第一轮传播结束后所有已经被感染的服务器，不是只有最初的3台。
【解析】
步骤1：确定初始感染数量：最初有3台服务器被感染。
步骤2：计算第一轮传播后的感染情况：每轮传播中平均1台感染x台，因此第一轮新感染的服务器数量为$3x$台，第一轮传播结束后总共有$3+3x$台被感染的服务器。
步骤3：计算第二轮传播后的感染情况：第二轮传播时，传染源是第一轮结束后所有被感染的$3+3x$台服务器，因此第二轮新感染的服务器数量为$(3+3x)x$台。
步骤4：列总感染数的方程：两轮传播后总感染数为147台，因此可得方程$3 + 3x + (3+3x)x = 147$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用，传播问题模型
【点评】
本题是传播类应用题的基础题型，解题的核心是准确区分每一轮传播的传染源数量，避免误将第二轮的传染源当成初始的3台，只要理清每一轮的数量变化逻辑就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
4. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请$a$个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请$a$个互不相同的好友转发倡议书.以此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则$a$的值是（
A.8
B.9
C.10
D.11
C
）A.8
B.9
C.10
D.11
答案
4. C
解析
【分析】
本题属于传播类的一元二次方程实际应用题，解题时需先理清每轮传播的参与人数：①初始参与人数为小明1人；②第一轮传播：小明邀请a个好友转发，新增a名参与者；③第二轮传播：第一轮参与转发的a个好友每人邀请a个互不相同的好友，新增a×a=a²名参与者。两轮传播后总参与人数为111，据此列方程求解即可，注意a代表好友人数，为正整数，需舍去不符合实际的根。
【解析】
根据题意，两轮传播后的总参与人数为初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，可列方程：
$1 + a + a^2 = 111$
整理得：$a^2 + a - 110 = 0$
因式分解得：$(a - 10)(a + 11) = 0$
解得：$a_1=10$，$a_2=-11$
∵a表示邀请的好友人数，应为正整数
∴$a=-11$不符合题意，舍去
即$a=10$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的传播类应用题，解题核心是准确梳理每轮传播的新增人数，正确建立等量关系列方程，求解后要结合实际意义检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
本题属于传播类的一元二次方程实际应用题，解题时需先理清每轮传播的参与人数：①初始参与人数为小明1人；②第一轮传播：小明邀请a个好友转发，新增a名参与者；③第二轮传播：第一轮参与转发的a个好友每人邀请a个互不相同的好友，新增a×a=a²名参与者。两轮传播后总参与人数为111，据此列方程求解即可，注意a代表好友人数，为正整数，需舍去不符合实际的根。
【解析】
根据题意，两轮传播后的总参与人数为初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，可列方程：
$1 + a + a^2 = 111$
整理得：$a^2 + a - 110 = 0$
因式分解得：$(a - 10)(a + 11) = 0$
解得：$a_1=10$，$a_2=-11$
∵a表示邀请的好友人数，应为正整数
∴$a=-11$不符合题意，舍去
即$a=10$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的传播类应用题，解题核心是准确梳理每轮传播的新增人数，正确建立等量关系列方程，求解后要结合实际意义检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 某校学术报告厅共有616个座位，若每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少6，则每行座位数为
1. 某校学术报告厅共有616个座位，若每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少6，则每行座位数为
22
.答案
1. 22
解析
【分析】
遇到这类排列类实际问题，首先明确核心等量关系：总座位数=每行座位数×总行数。我们可以先设每行座位数为未知数，根据“每行的座位数比总行数少6”表示出总行数，代入等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到正确结果。
【解析】
设每行座位数为$ x $，则总行数为$ x+6 $。
根据总座位数为616，列方程得：
$ x(x+6)=616 $
整理为标准一元二次方程形式：
$ x^2+6x-616=0 $
因式分解得：
$ (x+28)(x-22)=0 $
解得：$ x_1=22 $，$ x_2=-28 $
由于座位数不能为负数，因此舍去$ x=-28 $，即每行座位数为22。
【答案】
22
【知识点】
一元二次方程应用，解一元二次方程
【点评】
本题属于基础实际应用题，解题关键是准确梳理数量间的等量关系列出方程，同时要注意结合实际情境对求得的根进行合理性检验。
【难度系数】
0.7
遇到这类排列类实际问题，首先明确核心等量关系：总座位数=每行座位数×总行数。我们可以先设每行座位数为未知数，根据“每行的座位数比总行数少6”表示出总行数，代入等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到正确结果。
【解析】
设每行座位数为$ x $，则总行数为$ x+6 $。
根据总座位数为616，列方程得：
$ x(x+6)=616 $
整理为标准一元二次方程形式：
$ x^2+6x-616=0 $
因式分解得：
$ (x+28)(x-22)=0 $
解得：$ x_1=22 $，$ x_2=-28 $
由于座位数不能为负数，因此舍去$ x=-28 $，即每行座位数为22。
【答案】
22
【知识点】
一元二次方程应用，解一元二次方程
【点评】
本题属于基础实际应用题，解题关键是准确梳理数量间的等量关系列出方程，同时要注意结合实际情境对求得的根进行合理性检验。
【难度系数】
0.7
2. 某生物实验室培育一群有益菌.现有60个活体样本，经过两轮培育后，总和达24 000个.则每轮培育平均每个有益菌可分裂成
20
个有益菌.答案
2. 20
解析
【分析】
这是一道分裂类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确“每轮培育平均每个有益菌可分裂成x个”的含义：即每轮培育后，1个有益菌会变为x个。其次推导两轮培育后的总数量：初始共有60个样本，第一轮培育后总数量为60x；第二轮培育时，第一轮得到的所有有益菌每个都分裂为x个，因此第二轮培育后总数量为60x·x=60x²。最后根据“两轮培育后总和达24000个”的等量关系列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
解：设每轮培育平均每个有益菌可分裂成$x$个有益菌。
根据题意，列方程得：
$60x^2 = 24000$
方程两边同时除以60，得：
$x^2 = 400$
直接开平方，得：
$x = \pm 20$
因为分裂的个数不能为负数，故舍去$x=-20$，因此$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程的实际应用；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题的核心是理清分裂过程中总数量的变化规律，找到对应的等量关系列方程，同时要注意所求的结果要符合实际意义，不合理的解需要舍去。
【难度系数】
0.8
这是一道分裂类的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确“每轮培育平均每个有益菌可分裂成x个”的含义：即每轮培育后，1个有益菌会变为x个。其次推导两轮培育后的总数量：初始共有60个样本，第一轮培育后总数量为60x；第二轮培育时，第一轮得到的所有有益菌每个都分裂为x个，因此第二轮培育后总数量为60x·x=60x²。最后根据“两轮培育后总和达24000个”的等量关系列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
解：设每轮培育平均每个有益菌可分裂成$x$个有益菌。
根据题意，列方程得：
$60x^2 = 24000$
方程两边同时除以60，得：
$x^2 = 400$
直接开平方，得：
$x = \pm 20$
因为分裂的个数不能为负数，故舍去$x=-20$，因此$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程的实际应用；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题的核心是理清分裂过程中总数量的变化规律，找到对应的等量关系列方程，同时要注意所求的结果要符合实际意义，不合理的解需要舍去。
【难度系数】
0.8
3. 一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为x，则根据题意可列方程为
$x(9-x)=20(或x^2-9x+20=0)$
。答案
3. $x(9-x)=20(或x^2-9x+20=0)$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先题目已设个位数字为x，根据“个位数字与十位数字之和是9”，可先用含x的式子表示出十位数字为9-x；再找到核心等量关系：个位数字×十位数字=20，将表示出的两个数字代入等量关系即可列出方程，也可整理为一元二次方程的一般形式。
【解析】
解：设这个两位数的个位数字为x，
∵个位数字与十位数字之和是9，
∴十位数字为$9 - x$，
又
∵个位数字与十位数字的积是20，
∴可列方程：$x(9 - x)=20$，
整理为一般形式为：$x^2 - 9x + 20 = 0$。
【答案】
$x(9-x)=20(或x^2-9x+20=0)$
【知识点】
列一元二次方程；数字问题；等量关系应用
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查根据实际问题列方程的能力，解题的关键是正确用含未知数的式子表示出十位数字，再对应乘积的等量关系列式即可，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先题目已设个位数字为x，根据“个位数字与十位数字之和是9”，可先用含x的式子表示出十位数字为9-x；再找到核心等量关系：个位数字×十位数字=20，将表示出的两个数字代入等量关系即可列出方程，也可整理为一元二次方程的一般形式。
【解析】
解：设这个两位数的个位数字为x，
∵个位数字与十位数字之和是9，
∴十位数字为$9 - x$，
又
∵个位数字与十位数字的积是20，
∴可列方程：$x(9 - x)=20$，
整理为一般形式为：$x^2 - 9x + 20 = 0$。
【答案】
$x(9-x)=20(或x^2-9x+20=0)$
【知识点】
列一元二次方程；数字问题；等量关系应用
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查根据实际问题列方程的能力，解题的关键是正确用含未知数的式子表示出十位数字，再对应乘积的等量关系列式即可，不易出错。
【难度系数】
0.8
4. 如图所示的是某月的月历表,在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如:8,14,15,16,17,24). 若圈出的6个数中,最大数与最小数的积为225,则这6个数的和为
100
.答案
4. 100
解析
【分析】
首先明确月历表的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7。观察圈出的6个相邻数的位置，可发现最大数比最小数大16。据此设最小数为x，最大数即为x+16，根据“最大数与最小数的积为225”列一元二次方程求解，得到最小数后再写出6个数求和即可。
【解析】
设圈出的6个数中最小的数为x，观察月历圈数的位置规律可知，最大的数为$ x + 16 $。
根据题意列方程：
$ x(x + 16) = 225 $
整理得：$ x^2 + 16x - 225 = 0 $
解方程得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -25 $（日期为正整数，不符合实际意义，舍去）
则这6个数分别为：9，$ 9+6=15 $，$ 9+7=16 $，$ 9+8=17 $，$ 9+9=18 $，$ 9+16=25 $
6个数的和为：$ 9 + 15 + 16 + 17 + 18 + 25 = 100 $
【答案】
100
【知识点】
一元二次方程的应用，月历数字规律
【点评】
本题结合生活常见的月历考查一元二次方程的实际应用，解题的核心是找准圈出数字的数量关系，列方程求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
首先明确月历表的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7。观察圈出的6个相邻数的位置，可发现最大数比最小数大16。据此设最小数为x，最大数即为x+16，根据“最大数与最小数的积为225”列一元二次方程求解，得到最小数后再写出6个数求和即可。
【解析】
设圈出的6个数中最小的数为x，观察月历圈数的位置规律可知，最大的数为$ x + 16 $。
根据题意列方程：
$ x(x + 16) = 225 $
整理得：$ x^2 + 16x - 225 = 0 $
解方程得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -25 $（日期为正整数，不符合实际意义，舍去）
则这6个数分别为：9，$ 9+6=15 $，$ 9+7=16 $，$ 9+8=17 $，$ 9+9=18 $，$ 9+16=25 $
6个数的和为：$ 9 + 15 + 16 + 17 + 18 + 25 = 100 $
【答案】
100
【知识点】
一元二次方程的应用，月历数字规律
【点评】
本题结合生活常见的月历考查一元二次方程的实际应用，解题的核心是找准圈出数字的数量关系，列方程求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 化学是一门以实验为基础的学科，九(1)班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了$x$名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了$x$名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了，求$x$的值。
1. 化学是一门以实验为基础的学科，九(1)班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了$x$名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了$x$名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了，求$x$的值。
答案
1. 6
解析
【分析】
解题时先分层梳理会做实验的人数变化：①初始阶段：只有小聪1人会做实验；②第一节课：小聪教会x名同学，此时新增x名会做实验的同学，累计会做的人数为1+x人；③第二节课：小聪请假，仅第一节课学会的x名同学参与教学，每人教会x人，因此第二节课新增x·x=x²名会做实验的同学。最终全班43人都会做，可根据“初始会做人数+第一节课新增人数+第二节课新增人数=总人数”列一元二次方程求解，注意人数为正整数，舍去不符合实际意义的根即可。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$1 + x + x^2 = 43$
整理得：$x^2 + x - 42 = 0$
因式分解得：$(x + 7)(x - 6) = 0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-7$
∵人数不能为负数，
∴$x=-7$不符合题意，舍去。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程
【点评】
本题是方程与实际问题结合的典型题型，解题核心是准确梳理不同阶段的参与教学的人数，尤其要注意题干的限制条件，求出方程的根后需验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解题时先分层梳理会做实验的人数变化：①初始阶段：只有小聪1人会做实验；②第一节课：小聪教会x名同学，此时新增x名会做实验的同学，累计会做的人数为1+x人；③第二节课：小聪请假，仅第一节课学会的x名同学参与教学，每人教会x人，因此第二节课新增x·x=x²名会做实验的同学。最终全班43人都会做，可根据“初始会做人数+第一节课新增人数+第二节课新增人数=总人数”列一元二次方程求解，注意人数为正整数，舍去不符合实际意义的根即可。
【解析】
解：根据题意列方程得：
$1 + x + x^2 = 43$
整理得：$x^2 + x - 42 = 0$
因式分解得：$(x + 7)(x - 6) = 0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-7$
∵人数不能为负数，
∴$x=-7$不符合题意，舍去。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程
【点评】
本题是方程与实际问题结合的典型题型，解题核心是准确梳理不同阶段的参与教学的人数，尤其要注意题干的限制条件，求出方程的根后需验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
