2. 在平面直角坐标上有两点$A(2,1),B(2,3)$,以点A为圆心,AB长为半径作圆,试确定$\odot A$和x轴,y轴的位置关系.

与x轴相交,与y轴相切

【分析】
判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小：$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。解题时首先求出$\odot A$的半径$AB$的长度，再分别计算圆心$A$到$x$轴、$y$轴的距离，最后将两个距离分别和半径比较大小，即可得出位置关系。
【解析】
1. 计算$\odot A$的半径$r$：
已知$A(2,1)$、$B(2,3)$，两点横坐标相同，因此$AB$为竖直线段，长度为纵坐标之差的绝对值，即$r=AB=|3-1|=2$。
2. 计算圆心$A$到坐标轴的距离：
点到$x$轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此$A$到$x$轴的距离$d_1=|1|=1$；
点到$y$轴的距离等于该点横坐标的绝对值，因此$A$到$y$轴的距离$d_2=|2|=2$。
3. 比较距离和半径的大小判断位置关系：
对$x$轴：$d_1=1＜r=2$，因此$\odot A$与$x$轴相交；
对$y$轴：$d_2=2=r$，因此$\odot A$与$y$轴相切。
【答案】
与x轴相交,与y轴相切
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题关键是牢记位置关系的判定规则，准确计算半径和圆心到直线的距离即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

3. 如图3，$∠ MAN=30°$，$O$为边$AN$上一点，以点$O$为圆心，2为半径作$\odot O$，交$AN$边于$D,E$两点，则当$\odot O$与$AM$相切时，$AD$的长等于多少？

3. 2

【分析】
解决本题首先要利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。当$\odot O$与$AM$相切时，我们连接圆心$O$和切点，即可得到直角三角形；再结合$∠ MAN=30°$，利用含30°角的直角三角形的性质求出$AO$的长度，最后用$AO$的长度减去半径$OD$的长度，就能得到$AD$的长。
【解析】
设$\odot O$与$AM$相切于点$P$，连接$OP$。
由切线的性质可知：$OP ⊥ AM$，且$OP=OD=2$（$\odot O$的半径为2）。
在$\mathrm{Rt}△ AOP$中，$∠ PAO=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AO=2OP=2×2=4$
则$AD=AO - OD=4 - 2=2$
【答案】
2
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查直线与圆相切的性质应用，解题核心是通过连接切点与圆心构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质计算线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

一、选择题
1. 下列四个命题正确的是()
①与圆有公共点的直线是圆的切线；②圆的切线垂直于半径；③与圆心的距离等于半径的直线是切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线.

A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

1. C

【分析】
要判断四个命题的正误，需结合圆的切线的定义、判定定理和性质逐个分析：首先明确切线的核心判定条件：一是和圆只有唯一公共点；二是圆心到直线的距离等于半径；三是经过半径外端且垂直于这条半径。同时注意切线性质的限定条件是“垂直于过切点的半径”，再依次核对四个命题即可得出正确选项。
【解析】
我们对四个命题逐一判断：
①：与圆有公共点的直线可能与圆相交（有2个公共点），只有与圆有且仅有1个公共点的直线才是圆的切线，故①错误；
②：圆的切线垂直的是过切点的半径，并非圆的任意半径，故②错误；
③：根据直线与圆的位置关系判定规则，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，因此该直线是圆的切线，故③正确；
④：直径的端点是对应半径的外端，垂直于直径即垂直于这条过端点的半径，完全符合切线的判定定理，故④正确。
综上，③④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的切线判定；切线的性质；直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于对切线相关概念的细节记忆模糊，比如忽略切线性质中“过切点”的限定、误将“有公共点”等同于“只有一个公共点”，学习时要注意牢记概念的限定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7

2. 如图1，AB与$\odot O$相切于点C，OA=OB，若$\odot O$的直径为8，AB=10，则OA的长是()

A.$\sqrt{60}$
B.$\sqrt{41}$
C.$\sqrt{40}$
D.$\sqrt{14}$

2. B

【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接圆心O和切点C，可得OC与AB垂直，这是切线类题目常用的辅助线作法；再结合OA=OB的条件可知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质可推出C是AB的中点，从而求出AC的长度；已知圆的直径可求出半径OC的长度，最后在构造出的直角三角形OAC中运用勾股定理即可计算出OA的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵AB与$\odot O$相切于点C，
∴OC⊥AB（圆的切线垂直于过切点的半径），
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴C为AB的中点（等腰三角形三线合一），
∴$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
∵$\odot O$的直径为8，
∴$OC=\frac{1}{2}×8=4$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2=4^2+5^2=16+25=41$，
∴$OA=\sqrt{41}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的切线相关的基础计算题，核心是掌握“遇切线，连半径，得垂直”的常用辅助线思路，结合等腰三角形性质和勾股定理即可求解，侧重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8

3. 如图2,在$△ ABC$中,$AB=2,AC=1$,以AB为直径的圆与AC相切,与边BC交于点D,则AD的长为()


A.$\frac{2}{5}\sqrt{5}$
B.$\frac{4}{5}\sqrt{5}$
C.$\frac{2}{5}\sqrt{3}$
D.$\frac{4}{5}\sqrt{3}$

3. A

【分析】
解题时先从题目给出的切线和直径条件切入：①已知AC是圆的切线，根据切线的性质可推出AC与AB垂直，得到△ABC是直角三角形；②AB是直径，根据直径所对的圆周角为直角，可推出AD是BC边上的高；③先利用勾股定理求出BC的长度，再通过直角三角形的两种面积计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵以AB为直径的圆与AC相切，切点为A
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°
在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
∵AB是圆的直径，点D在圆上
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC
△ABC的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$
代入数值：$\frac{1}{2}×2×1=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× AD$
解得：$AD=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题型，解题的核心是利用圆的性质快速得到直角，再通过面积法简化计算，能很好地考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=10$，$AC=6$，若以$C$为圆心作$\odot C$和$AB$相切，则$\odot C$的半径长为()

A.8
B.4
C.9.6
D.4.8

4. D

【分析】
要解决本题，首先结合切线的性质明确：圆与AB相切时，⊙C的半径等于点C到AB的距离（即AB边上的高）。第一步先利用勾股定理求出直角边BC的长度，第二步通过直角三角形的两种面积计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出高也就是半径的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
设$\odot C$的半径为$r$，
∵$\odot C$与$AB$相切，
∴$r$等于点$C$到$AB$的距离，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· r$
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× r$
化简得：$24=5r$，解得$r=4.8$
【答案】
D
【知识点】
1.切线的性质 2.勾股定理 3.三角形面积计算
【点评】
本题是圆的切线相关的基础常考题，解题核心是利用切线的性质将求半径的问题转化为求点到直线的距离的问题，结合等面积法即可快速求解，解题时注意计算不要出错。
【难度系数】
0.8