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二、填空题
1. 圆的切线垂直于
1. 圆的切线垂直于
过切点的半径
；经过半径的外端并且垂直于
这条半径的直线是圆的切线。答案
1. 过切点的半径，垂直于
解析
【分析】
本题考查圆的切线的性质定理与判定定理的识记。解题时首先回忆两个定理的内容：第一个空对应切线的性质，已知直线是圆的切线时，可推出切线与过切点的半径垂直；第二个空对应切线的判定，要判定一条直线是圆的切线，需要同时满足两个条件：一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径，结合定理内容直接填写即可。
【解析】
根据圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，因此第一个空填“过切点的半径”；
根据圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此第二个空填“垂直于”。
【答案】
过切点的半径，垂直于
【知识点】
圆的切线性质；圆的切线判定
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对圆的切线核心定理的掌握情况，熟练记忆这两个定理是解决后续切线相关的证明、计算类问题的前提，学习时要注意区分性质定理和判定定理的条件与结论，避免混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查圆的切线的性质定理与判定定理的识记。解题时首先回忆两个定理的内容：第一个空对应切线的性质，已知直线是圆的切线时，可推出切线与过切点的半径垂直；第二个空对应切线的判定，要判定一条直线是圆的切线，需要同时满足两个条件：一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径，结合定理内容直接填写即可。
【解析】
根据圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，因此第一个空填“过切点的半径”；
根据圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此第二个空填“垂直于”。
【答案】
过切点的半径，垂直于
【知识点】
圆的切线性质；圆的切线判定
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对圆的切线核心定理的掌握情况，熟练记忆这两个定理是解决后续切线相关的证明、计算类问题的前提，学习时要注意区分性质定理和判定定理的条件与结论，避免混淆。
【难度系数】
0.9
2. 如图3,射线AB与$\odot O$相切于点B,经过圆心O的射线AC与$\odot O$相交于点D,C,连接BC,若$∠ A=50°$,则$∠ ACB=$
20°
.答案
2. 20°
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先考虑连接过切点的半径，利用切线垂直于半径的性质构造直角三角形。本题中先连接OB，可得OB⊥AB，结合已知∠A的度数先求出∠AOB的度数；再根据同圆半径相等得到△OBC是等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵ 射线AB与$\odot O$相切于点B，
∴ $OB⊥ AB$，即$∠ ABO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$∠ A=50°$，
∴ $∠ AOB=180° - ∠ A - ∠ ABO=180° - 50° - 90°=40°$，
∵ $OB=OC$（同圆的半径相等），
∴ $∠ OBC=∠ ACB$，
又
∵ $∠ AOB$是$△ OBC$的外角，
∴ $∠ AOB=∠ OBC + ∠ ACB=2∠ ACB$，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆相关角度计算的基础题，解题的核心是掌握切线的性质，通过作辅助线连接过切点的半径构造直角三角形，再结合三角形的相关性质求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
遇到圆的切线问题，首先考虑连接过切点的半径，利用切线垂直于半径的性质构造直角三角形。本题中先连接OB，可得OB⊥AB，结合已知∠A的度数先求出∠AOB的度数；再根据同圆半径相等得到△OBC是等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵ 射线AB与$\odot O$相切于点B，
∴ $OB⊥ AB$，即$∠ ABO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$∠ A=50°$，
∴ $∠ AOB=180° - ∠ A - ∠ ABO=180° - 50° - 90°=40°$，
∵ $OB=OC$（同圆的半径相等），
∴ $∠ OBC=∠ ACB$，
又
∵ $∠ AOB$是$△ OBC$的外角，
∴ $∠ AOB=∠ OBC + ∠ ACB=2∠ ACB$，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆相关角度计算的基础题，解题的核心是掌握切线的性质，通过作辅助线连接过切点的半径构造直角三角形，再结合三角形的相关性质求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图4，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的切线，点A是切点，连接BC交$\odot O$于点D，连接OD，若$∠ C=40°$，则$∠ AOD=$
100°
。答案
3. 100°
解析
【分析】
解题时先根据切线的性质得到直角三角形BAC，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOD的度数，也可通过等腰三角形性质结合邻补角关系求解。
【解析】
∵AC是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，
∴$AB⊥ AC$，即$∠ BAC=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=40°$，
∴$∠ ABC=90°-∠ C=50°$。
∵$∠ ABC$是弧$AD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理得$∠ AOD=2∠ ABC=2×50°=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，综合考查切线性质、直角三角形角度计算和圆周角定理的应用，解题核心是先通过切线性质得到直角，再结合角度对应关系逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
解题时先根据切线的性质得到直角三角形BAC，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOD的度数，也可通过等腰三角形性质结合邻补角关系求解。
【解析】
∵AC是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，
∴$AB⊥ AC$，即$∠ BAC=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=40°$，
∴$∠ ABC=90°-∠ C=50°$。
∵$∠ ABC$是弧$AD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理得$∠ AOD=2∠ ABC=2×50°=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，综合考查切线性质、直角三角形角度计算和圆周角定理的应用，解题核心是先通过切线性质得到直角，再结合角度对应关系逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
4. 如图5，$∠ ABC=90°$，$O$为射线$BC$上一点，以点$O$为圆心、$\frac{1}{2}BO$长为半径作$\odot O$，当射线$BA$绕点$B$按顺时针方向旋转
60°或120°
时与$\odot O$相切。答案
4. 60°或120°
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，且圆心到切线的距离等于半径。我们先设旋转后的射线与$\odot O$相切，连接圆心和切点得到直角三角形，结合已知半径是$\frac{1}{2}BO$，可利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出旋转后射线与BC的夹角，再分射线在BC上方、下方两种情况计算旋转角度，避免漏解。
【解析】
设射线BA顺时针旋转后得到射线BD，BD与$\odot O$相切于点P，连接OP，则$OP⊥ BD$。
∵OP是$\odot O$的半径，
∴$OP=\frac{1}{2}BO$。
在$Rt△ BOP$中，$∠ BPO=90°$，$OP=\frac{1}{2}BO$，
∴$∠ OBP=30°$。
分两种情况讨论：
① 当BD在BC上方时，已知$∠ ABC=90°$，
∴旋转角$∠ ABD=∠ ABC - ∠ OBP=90° - 30°=60°$；
② 当BD在BC下方时，
∴旋转角$∠ ABD=∠ ABC + ∠ OBP=90° + 30°=120°$。
综上，射线BA旋转的角度为$60°$或$120°$。
【答案】
$60°$或$120°$
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；旋转的性质
【点评】
本题重点考查切线性质的实际应用，解题的关键是构造直角三角形求出夹角，同时要注意分类讨论切线的两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，且圆心到切线的距离等于半径。我们先设旋转后的射线与$\odot O$相切，连接圆心和切点得到直角三角形，结合已知半径是$\frac{1}{2}BO$，可利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出旋转后射线与BC的夹角，再分射线在BC上方、下方两种情况计算旋转角度，避免漏解。
【解析】
设射线BA顺时针旋转后得到射线BD，BD与$\odot O$相切于点P，连接OP，则$OP⊥ BD$。
∵OP是$\odot O$的半径，
∴$OP=\frac{1}{2}BO$。
在$Rt△ BOP$中，$∠ BPO=90°$，$OP=\frac{1}{2}BO$，
∴$∠ OBP=30°$。
分两种情况讨论：
① 当BD在BC上方时，已知$∠ ABC=90°$，
∴旋转角$∠ ABD=∠ ABC - ∠ OBP=90° - 30°=60°$；
② 当BD在BC下方时，
∴旋转角$∠ ABD=∠ ABC + ∠ OBP=90° + 30°=120°$。
综上，射线BA旋转的角度为$60°$或$120°$。
【答案】
$60°$或$120°$
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；旋转的性质
【点评】
本题重点考查切线性质的实际应用，解题的关键是构造直角三角形求出夹角，同时要注意分类讨论切线的两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5. 如图6，在平面直角坐标系中，圆M与x轴相切于点A(8,0)，与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16)，则圆心M到坐标原点O的距离是
2√41
。答案
5. 2√41
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据圆的切线性质，圆与x轴相切于点A(8,0)，则过切点的半径垂直于x轴，可直接确定圆心M的横坐标为8；第二步，圆与y轴交于B、C两点，结合垂径定理，过M作y轴的垂线，垂足就是BC的中点，通过B、C的坐标计算出中点的纵坐标，即可得到圆心M的纵坐标；第三步，得到M的坐标后，用勾股定理计算原点到M的距离即可。
【解析】
1. 作辅助线：过点M作$MD ⊥ y$轴于点D，连接$MA$、$MB$。
2. 求M的横坐标：
∵$\odot M$与x轴相切于$A(8,0)$，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴$MA ⊥ x$轴，$MA$是$\odot M$的半径，可得点M的横坐标为8，即$MD=8$。
3. 求M的纵坐标：
∵$B(0,4)$，$C(0,16)$，
∴$BC=16-4=12$，
根据垂径定理，$MD ⊥ BC$时D是BC的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=6$，点D的纵坐标为$\frac{4+16}{2}=10$，即点M的纵坐标为10，
∴圆心M的坐标为$(8,10)$。
4. 计算OM的长度：
根据两点间距离公式（勾股定理），原点$O(0,0)$到$M(8,10)$的距离：
$OM=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{64+100}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$。
【答案】
$2\sqrt{41}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题将圆的性质和平面直角坐标系结合考查，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用切线性质和垂径定理快速确定圆心坐标，再结合勾股定理求解，是圆的基础综合应用题。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，根据圆的切线性质，圆与x轴相切于点A(8,0)，则过切点的半径垂直于x轴，可直接确定圆心M的横坐标为8；第二步，圆与y轴交于B、C两点，结合垂径定理，过M作y轴的垂线，垂足就是BC的中点，通过B、C的坐标计算出中点的纵坐标，即可得到圆心M的纵坐标；第三步，得到M的坐标后，用勾股定理计算原点到M的距离即可。
【解析】
1. 作辅助线：过点M作$MD ⊥ y$轴于点D，连接$MA$、$MB$。
2. 求M的横坐标：
∵$\odot M$与x轴相切于$A(8,0)$，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴$MA ⊥ x$轴，$MA$是$\odot M$的半径，可得点M的横坐标为8，即$MD=8$。
3. 求M的纵坐标：
∵$B(0,4)$，$C(0,16)$，
∴$BC=16-4=12$，
根据垂径定理，$MD ⊥ BC$时D是BC的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=6$，点D的纵坐标为$\frac{4+16}{2}=10$，即点M的纵坐标为10，
∴圆心M的坐标为$(8,10)$。
4. 计算OM的长度：
根据两点间距离公式（勾股定理），原点$O(0,0)$到$M(8,10)$的距离：
$OM=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{64+100}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$。
【答案】
$2\sqrt{41}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题将圆的性质和平面直角坐标系结合考查，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用切线性质和垂径定理快速确定圆心坐标，再结合勾股定理求解，是圆的基础综合应用题。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图7，O为∠PAQ的平分线上的一点，OB⊥AP于点B，以O为圆心，OB为半径作$\odot O$. 求证：AQ与$\odot O$相切.
1. 如图7，O为∠PAQ的平分线上的一点，OB⊥AP于点B，以O为圆心，OB为半径作$\odot O$. 求证：AQ与$\odot O$相切.
答案
1. 提示:作$OC⊥AQ$于点C.
解析
【分析】
要证明AQ与$\odot O$相切，需结合切线的判定方法分析：若未明确直线与圆的公共点，可过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于圆的半径。本题未给出AQ与$\odot O$的公共点，因此先过点O作$OC⊥ AQ$于点C，再结合角平分线的性质，证明OC等于$\odot O$的半径OB即可完成证明。
【解析】
证明：过点$O$作$OC⊥ AQ$，垂足为$C$。
∵ 点$O$在$∠ PAQ$的平分线上，且$OB⊥ AP$，$OC⊥ AQ$，
∴ 根据角平分线的性质，可得$OC=OB$。
∵ $OB$是$\odot O$的半径，
∴ $OC$也是$\odot O$的半径，又$OC⊥ AQ$，
根据切线的判定定理，可得$AQ$与$\odot O$相切。
【答案】
$AQ$与$\odot O$相切
【知识点】
角平分线的性质；切线的判定定理
【点评】
本题是切线判定的基础常考题，解题核心是根据已知条件选择合适的切线判定策略，当未知直线与圆的公共点时，采用“作垂直、证半径”的思路，结合角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明AQ与$\odot O$相切，需结合切线的判定方法分析：若未明确直线与圆的公共点，可过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于圆的半径。本题未给出AQ与$\odot O$的公共点，因此先过点O作$OC⊥ AQ$于点C，再结合角平分线的性质，证明OC等于$\odot O$的半径OB即可完成证明。
【解析】
证明：过点$O$作$OC⊥ AQ$，垂足为$C$。
∵ 点$O$在$∠ PAQ$的平分线上，且$OB⊥ AP$，$OC⊥ AQ$，
∴ 根据角平分线的性质，可得$OC=OB$。
∵ $OB$是$\odot O$的半径，
∴ $OC$也是$\odot O$的半径，又$OC⊥ AQ$，
根据切线的判定定理，可得$AQ$与$\odot O$相切。
【答案】
$AQ$与$\odot O$相切
【知识点】
角平分线的性质；切线的判定定理
【点评】
本题是切线判定的基础常考题，解题核心是根据已知条件选择合适的切线判定策略，当未知直线与圆的公共点时，采用“作垂直、证半径”的思路，结合角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图8，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B分别为切点，$∠ OAB=30°$.
(1)求$∠ APB$的度数；
(2)当$OA=3$时，求$AP$的长.
(1)求$∠ APB$的度数；
(2)当$OA=3$时，求$AP$的长.
答案
2. (1) 60° (2) 3√3
解析
【分析】
(1) 首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，且从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。结合OA、OB都是圆的半径，可得△OAB是等腰三角形，先求出∠AOB的度数，再利用四边形内角和为360°，即可算出∠APB的度数。
(2) 要求AP的长，先连接OP，根据切线长定理的推论可知OP平分∠APB，得到Rt△OAP中∠APO的度数，再利用含30°角的直角三角形的性质或勾股定理即可求出AP的长度。
【解析】
(1)
∵PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$，且$PA=PB$
∵OA、OB是$\odot O$的半径，$∠ OAB=30°$
∴$∠ OBA=∠ OAB=30°$
在$△ OAB$中，$∠ AOB=180°-30°-30°=120°$
∵四边形OAPB内角和为$360°$
∴$∠ APB=360°-90°-90°-120°=60°$
(2) 连接OP，
∵PA、PB是$\odot O$的切线
∴OP平分$∠ APB$，即$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$
在$Rt△ OAP$中，$∠ OAP=90°$，$OA=3$，$∠ APO=30°$
∴$OP=2OA=6$
由勾股定理得：$AP=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$
【答案】
(1) $60°$；(2) $3\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础题型，解题的核心是熟练掌握切线的性质和切线长定理，结合三角形、四边形的内角和以及直角三角形的相关性质即可求解，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，且从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。结合OA、OB都是圆的半径，可得△OAB是等腰三角形，先求出∠AOB的度数，再利用四边形内角和为360°，即可算出∠APB的度数。
(2) 要求AP的长，先连接OP，根据切线长定理的推论可知OP平分∠APB，得到Rt△OAP中∠APO的度数，再利用含30°角的直角三角形的性质或勾股定理即可求出AP的长度。
【解析】
(1)
∵PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$，且$PA=PB$
∵OA、OB是$\odot O$的半径，$∠ OAB=30°$
∴$∠ OBA=∠ OAB=30°$
在$△ OAB$中，$∠ AOB=180°-30°-30°=120°$
∵四边形OAPB内角和为$360°$
∴$∠ APB=360°-90°-90°-120°=60°$
(2) 连接OP，
∵PA、PB是$\odot O$的切线
∴OP平分$∠ APB$，即$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=30°$
在$Rt△ OAP$中，$∠ OAP=90°$，$OA=3$，$∠ APO=30°$
∴$OP=2OA=6$
由勾股定理得：$AP=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$
【答案】
(1) $60°$；(2) $3\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础题型，解题的核心是熟练掌握切线的性质和切线长定理，结合三角形、四边形的内角和以及直角三角形的相关性质即可求解，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
