典例3 分解因式：
(1)$25(x-2y)^2 -4(y-2x)^2$；
(2)$2(x^2 - \frac{1}{2}) - x^4$。
典例解析

解：
(1) 原式$=[5(x-2y)]^2 - [2(y-2x)]^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$
(2) 原式$=2x^2 - 1 - x^4$
$=-(x^4 - 2x^2 + 1)$
$=-(x^2 - 1)^2$
$=-[(x+1)(x-1)]^2$
$=-(x+1)^2(x-1)^2$

【分析】
第(1)题：观察式子发现是两个平方项相减的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征。首先将两个项分别改写为平方形式确定对应的$a$和$b$，套用平方差公式展开后合并同类项，最后检查剩余因式是否有公因式，提取公因式保证分解彻底。
第(2)题：先去括号整理式子，将式子按降幂排列后可发现符合完全平方公式的结构，先提取负号将最高次项系数化为正，套用完全平方公式分解后，得到的因式$x^2-1$仍满足平方差公式结构，继续分解直到所有因式无法再分解为止。
【解析】
(1) 原式$=[5(x-2y)]^2 - [2(y-2x)]^2$
$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]$
$=(5x-10y+2y-4x)(5x-10y-2y+4x)$
$=(x-8y)(9x-12y)$
$=3(x-8y)(3x-4y)$
(2) 原式$=2x^2 - 1 - x^4$
$=-(x^4 - 2x^2 + 1)$
$=-(x^2 - 1)^2$
$=-[(x+1)(x-1)]^2$
$=-(x+1)^2(x-1)^2$
【答案】
(1) $3(x-8y)(3x-4y)$
(2) $-(x+1)^2(x-1)^2$
【知识点】
提公因式法、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题时需先观察式子结构匹配对应的分解方法，分解完成后要注意检查是否所有因式都已分解到不能再分解的程度，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7