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18. 三角“
”表示$3xyz$，方框“$\begin{array}{cc} a & d \\ b & c \end{array}$”表示$-4a^b d^c$，求“
× $\begin{array}{cc} 2 & 5 \end{array}$”表示的代数式。
”表示$3xyz$，方框“$\begin{array}{cc} a & d \\ b & c \end{array}$”表示$-4a^b d^c$，求“ × $\begin{array}{cc} 2 & 5 \end{array}$”表示的代数式。答案
$-36m^6 n^3$
解析
【分析】
本题为新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解题目给出的三角、方框两种图形对应的运算规则，其次将题中需要计算的两个图形分别按规则转化为对应的单项式，最后运用单项式乘单项式的运算法则计算最终结果即可，计算时需注意系数的符号、同底数幂的运算规则。
【解析】
解：根据题意明确运算规则：
1. 三角图形表示其内部三个元素乘积的3倍，即对应$3xyz$（x、y、z为三角内部的三个元素）；
2. 方框图形$\begin{array}{cc} a & d \\ b & c \end{array}$表示$-4a^b d^c$。
首先分别写出两个图形对应的代数式：
三角[插图2]对应的代数式为$9m^3n$，待乘的方框对应的代数式为$-4m^3n^2$。
再根据单项式乘单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}&9m^3n × (-4m^3n^2)\\=&[9×(-4)] × (m^3 · m^3) × (n · n^2)\\=&-36 × m^{3+3} × n^{1+2}\\=&-36m^6n^3\end{aligned}$
【答案】
$-36m^6 n^3$
【知识点】
新定义运算，单项式乘单项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和整式乘法运算的掌握，解题的核心是准确转化新定义为熟悉的代数式，再按照单项式乘法的运算步骤计算，注意避免出现符号错误、幂的次数计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
本题为新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解题目给出的三角、方框两种图形对应的运算规则，其次将题中需要计算的两个图形分别按规则转化为对应的单项式，最后运用单项式乘单项式的运算法则计算最终结果即可，计算时需注意系数的符号、同底数幂的运算规则。
【解析】
解：根据题意明确运算规则：
1. 三角图形表示其内部三个元素乘积的3倍，即对应$3xyz$（x、y、z为三角内部的三个元素）；
2. 方框图形$\begin{array}{cc} a & d \\ b & c \end{array}$表示$-4a^b d^c$。
首先分别写出两个图形对应的代数式：
三角[插图2]对应的代数式为$9m^3n$，待乘的方框对应的代数式为$-4m^3n^2$。
再根据单项式乘单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}&9m^3n × (-4m^3n^2)\\=&[9×(-4)] × (m^3 · m^3) × (n · n^2)\\=&-36 × m^{3+3} × n^{1+2}\\=&-36m^6n^3\end{aligned}$
【答案】
$-36m^6 n^3$
【知识点】
新定义运算，单项式乘单项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和整式乘法运算的掌握，解题的核心是准确转化新定义为熟悉的代数式，再按照单项式乘法的运算步骤计算，注意避免出现符号错误、幂的次数计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
1. 计算$(-3x) · (2x^2 -5x -1)$的结果是 【 】
A.$-6x^2 -15x^2 -3x$
B.$-6x^3 +15x^2 +3x$
C.$-6x^3 +15x^2$
D.$-6x^3 +15x^2 -1$
A.$-6x^2 -15x^2 -3x$
B.$-6x^3 +15x^2 +3x$
C.$-6x^3 +15x^2$
D.$-6x^3 +15x^2 -1$
答案
B
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。运算时需注意两个要点：一是不要漏乘多项式的常数项，二是要准确判断每一项相乘后的符号（负负得正，负正得负），计算出结果后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(-3x)·(2x^2 -5x -1)&=(-3x)·2x^2 + (-3x)·(-5x) + (-3x)·(-1)\\&=-6x^{3} + 15x^{2} + 3x\end{aligned}$
对比选项可知B选项符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式法则的应用，易错点为运算时漏乘多项式的常数项，或是符号判断错误，熟练掌握运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。运算时需注意两个要点：一是不要漏乘多项式的常数项，二是要准确判断每一项相乘后的符号（负负得正，负正得负），计算出结果后和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(-3x)·(2x^2 -5x -1)&=(-3x)·2x^2 + (-3x)·(-5x) + (-3x)·(-1)\\&=-6x^{3} + 15x^{2} + 3x\end{aligned}$
对比选项可知B选项符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式法则的应用，易错点为运算时漏乘多项式的常数项，或是符号判断错误，熟练掌握运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
2.（兰州中考）计算：$2a(a - 1) - 2a^2 =$ 【 】
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$
答案
D
解析
【分析】
本题属于整式混合运算题，解题遵循“先乘除后加减”的运算顺序：第一步先利用单项式乘多项式的法则计算$2a(a-1)$，即将$2a$分别与括号内的$a$、$-1$相乘，再把所得的积相加；第二步去掉括号后，合并式子中的同类项，最后将化简结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：先计算单项式乘多项式：
$2a(a-1) = 2a· a + 2a×(-1) = 2a^2 - 2a$
将展开结果代入原式：
$2a(a - 1) - 2a^2 = (2a^2 - 2a) - 2a^2$
$= 2a^2 - 2a - 2a^2$
合并同类项，$2a^2$与$-2a^2$互为相反数，和为0，因此：
原式$= -2a$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题考查整式基础运算，解题核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，合并同类项时注意准确判断同类项、正确计算系数，运算时细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题属于整式混合运算题，解题遵循“先乘除后加减”的运算顺序：第一步先利用单项式乘多项式的法则计算$2a(a-1)$，即将$2a$分别与括号内的$a$、$-1$相乘，再把所得的积相加；第二步去掉括号后，合并式子中的同类项，最后将化简结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：先计算单项式乘多项式：
$2a(a-1) = 2a· a + 2a×(-1) = 2a^2 - 2a$
将展开结果代入原式：
$2a(a - 1) - 2a^2 = (2a^2 - 2a) - 2a^2$
$= 2a^2 - 2a - 2a^2$
合并同类项，$2a^2$与$-2a^2$互为相反数，和为0，因此：
原式$= -2a$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题考查整式基础运算，解题核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，合并同类项时注意准确判断同类项、正确计算系数，运算时细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
3. 下列各式中，计算错误的是 【 】
A.$2x^2(\frac{1}{3}x - y)=\frac{2}{3}x^3 - 2x^2y$
B.$2x(3x^2 - xy + y)=6x^3 - 2x^2y + 2xy$
C.$3x^2y(1 - 2y^3)=3x^2y + 6x^2y^3$
D.$-2x(x^2 - \frac{1}{2}x + 1)=-2x^3 + x^2 - 2x$
A.$2x^2(\frac{1}{3}x - y)=\frac{2}{3}x^3 - 2x^2y$
B.$2x(3x^2 - xy + y)=6x^3 - 2x^2y + 2xy$
C.$3x^2y(1 - 2y^3)=3x^2y + 6x^2y^3$
D.$-2x(x^2 - \frac{1}{2}x + 1)=-2x^3 + x^2 - 2x$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查单项式与多项式相乘的运算，解题思路是依据单项式乘多项式的运算法则，逐个验证每个选项的计算结果，找出错误的选项。计算时需注意三点：1.单项式要乘遍多项式的每一项，不能漏乘；2.注意乘积的符号判断；3.同底数幂相乘时指数相加。
【解析】
单项式与多项式相乘的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，我们逐项验证：
A选项：$2x^2(\frac{1}{3}x - y)=2x^2·\frac{1}{3}x + 2x^2·(-y)=\frac{2}{3}x^3 - 2x^2y$，计算正确，不符合题意。
B选项：$2x(3x^2 - xy + y)=2x·3x^2 + 2x·(-xy) + 2x· y=6x^3 - 2x^2y + 2xy$，计算正确，不符合题意。
C选项：$3x^2y(1 - 2y^3)=3x^2y·1 + 3x^2y·(-2y^3)=3x^2y - 6x^2y^4$，与选项给出的$3x^2y + 6x^2y^3$不符，符号和y的指数均计算错误，符合题意。
D选项：$-2x(x^2 - \frac{1}{2}x + 1)=-2x· x^2 + (-2x)·(-\frac{1}{2}x) + (-2x)·1=-2x^3 + x^2 - 2x$，计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂乘法；整式运算符号规则
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式与多项式相乘的运算法则，解题时需注意不要漏乘多项式的项，尤其要重视符号判断和同底数幂的指数计算，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查单项式与多项式相乘的运算，解题思路是依据单项式乘多项式的运算法则，逐个验证每个选项的计算结果，找出错误的选项。计算时需注意三点：1.单项式要乘遍多项式的每一项，不能漏乘；2.注意乘积的符号判断；3.同底数幂相乘时指数相加。
【解析】
单项式与多项式相乘的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，我们逐项验证：
A选项：$2x^2(\frac{1}{3}x - y)=2x^2·\frac{1}{3}x + 2x^2·(-y)=\frac{2}{3}x^3 - 2x^2y$，计算正确，不符合题意。
B选项：$2x(3x^2 - xy + y)=2x·3x^2 + 2x·(-xy) + 2x· y=6x^3 - 2x^2y + 2xy$，计算正确，不符合题意。
C选项：$3x^2y(1 - 2y^3)=3x^2y·1 + 3x^2y·(-2y^3)=3x^2y - 6x^2y^4$，与选项给出的$3x^2y + 6x^2y^3$不符，符号和y的指数均计算错误，符合题意。
D选项：$-2x(x^2 - \frac{1}{2}x + 1)=-2x· x^2 + (-2x)·(-\frac{1}{2}x) + (-2x)·1=-2x^3 + x^2 - 2x$，计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂乘法；整式运算符号规则
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式与多项式相乘的运算法则，解题时需注意不要漏乘多项式的项，尤其要重视符号判断和同底数幂的指数计算，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.8
4. 为做好乡村振兴工作，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所.已知长方形空坪的长为$3a$，宽为$(4ab - 2a)$，则其面积为 【 】
A.$12a^2b - 6a^2$
B.$6a^2 - 12a^2b$
C.$6a^2b - 12a^2$
D.$12a^2 - 6a^2b$
A.$12a^2b - 6a^2$
B.$6a^2 - 12a^2b$
C.$6a^2b - 12a^2$
D.$12a^2 - 6a^2b$
答案
A
解析
【分析】
要计算长方形空坪的面积，首先回忆长方形面积公式：面积=长×宽。已知长为单项式$3a$，宽为多项式$(4ab - 2a)$，因此本题本质是考查单项式乘多项式的运算。解题时先代入面积公式得到算式，再按照单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，逐步计算即可。
【解析】
根据长方形面积公式，可得该空坪的面积为：
$\begin{aligned}S&=3a·(4ab - 2a)\\&=3a×4ab + 3a×(-2a)\\&=12a^2b - 6a^2\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算与几何面积结合的基础题，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时要注意系数相乘、同底数幂的指数相加，同时不要漏乘项、弄错符号。
【难度系数】
0.8
要计算长方形空坪的面积，首先回忆长方形面积公式：面积=长×宽。已知长为单项式$3a$，宽为多项式$(4ab - 2a)$，因此本题本质是考查单项式乘多项式的运算。解题时先代入面积公式得到算式，再按照单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，逐步计算即可。
【解析】
根据长方形面积公式，可得该空坪的面积为：
$\begin{aligned}S&=3a·(4ab - 2a)\\&=3a×4ab + 3a×(-2a)\\&=12a^2b - 6a^2\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式运算与几何面积结合的基础题，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时要注意系数相乘、同底数幂的指数相加，同时不要漏乘项、弄错符号。
【难度系数】
0.8
