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1. 已知$(x+y)^2=25$，$(x-y)^2=9$，求$xy$与$x^2+y^2$的值.
答案
1. 解 因为 $(x+y)^2=25$，$(x-y)^2=9$，
所以 $xy=\frac{1}{4}[(x+y)^2-(x-y)^2]=\frac{1}{4}×(25-9)=4$，$x^2+y^2=\frac{1}{2}[(x+y)^2+(x-y)^2]=\frac{1}{2}×(25+9)=17$.
所以 $xy=\frac{1}{4}[(x+y)^2-(x-y)^2]=\frac{1}{4}×(25-9)=4$，$x^2+y^2=\frac{1}{2}[(x+y)^2+(x-y)^2]=\frac{1}{2}×(25+9)=17$.
解析
【分析】
我们已经学习过完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$。观察两个公式的结构可以发现，将两个已知的平方式相减时，$x^2$和$y^2$项会相互抵消，只剩含$xy$的项，即可求出$xy$的值；将两个已知的平方式相加时，$xy$项会相互抵消，只剩含$x^2+y^2$的项，即可求出$x^2+y^2$的值，不需要单独求解$x$、$y$的具体数值，用整体代入的思路计算更简便。
【解析】
解：已知$(x+y)^2=25$，$(x-y)^2=9$，
根据完全平方公式的变形可得：
$xy=\frac{1}{4}[(x+y)^2-(x-y)^2]=\frac{1}{4}×(25-9)=\frac{1}{4}×16=4$；
$x^2+y^2=\frac{1}{2}[(x+y)^2+(x-y)^2]=\frac{1}{2}×(25+9)=\frac{1}{2}×34=17$。
【答案】
$xy=4$，$x^2+y^2=17$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题时利用两个完全平方公式的和差特征消去无关项，采用整体代入的方法即可快速计算，熟练掌握公式的常见变形是解题的核心。
【难度系数】
0.8
我们已经学习过完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$。观察两个公式的结构可以发现，将两个已知的平方式相减时，$x^2$和$y^2$项会相互抵消，只剩含$xy$的项，即可求出$xy$的值；将两个已知的平方式相加时，$xy$项会相互抵消，只剩含$x^2+y^2$的项，即可求出$x^2+y^2$的值，不需要单独求解$x$、$y$的具体数值，用整体代入的思路计算更简便。
【解析】
解：已知$(x+y)^2=25$，$(x-y)^2=9$，
根据完全平方公式的变形可得：
$xy=\frac{1}{4}[(x+y)^2-(x-y)^2]=\frac{1}{4}×(25-9)=\frac{1}{4}×16=4$；
$x^2+y^2=\frac{1}{2}[(x+y)^2+(x-y)^2]=\frac{1}{2}×(25+9)=\frac{1}{2}×34=17$。
【答案】
$xy=4$，$x^2+y^2=17$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题时利用两个完全平方公式的和差特征消去无关项，采用整体代入的方法即可快速计算，熟练掌握公式的常见变形是解题的核心。
【难度系数】
0.8
2. 计算：(1) $(2x + y - 3z)^2$；
(2) $(a - b + c)(a + b - c)$；
(3) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。
(2) $(a - b + c)(a + b - c)$；
(3) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。
答案
解（1）将 $(2x+y)$ 视为整体 $A$，则原式=$(A-3z)^2=A^2-6Az+9z^2$。展开 $A^2=(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$，$(2x+y-3z)^2=4x^2+4xy+y^2-6(2x+y)z+9z^2=4x^2+4xy+y^2-12xz-6yz+9z^2$。
（2）原式=$[a-(b-c)][a+(b-c)]=a^2-(b-c)^2=a^2-(b^2-2bc+c^2)=a^2-b^2+2bc-c^2$。
（3）设 $A=x^2+1$，则原式=$(A+x)(A-x)=A^2-x^2=(x^2+1)^2-x^2=x^4+2x^2+1-x^2=x^4+x^2+1$。
（2）原式=$[a-(b-c)][a+(b-c)]=a^2-(b-c)^2=a^2-(b^2-2bc+c^2)=a^2-b^2+2bc-c^2$。
（3）设 $A=x^2+1$，则原式=$(A+x)(A-x)=A^2-x^2=(x^2+1)^2-x^2=x^4+2x^2+1-x^2=x^4+x^2+1$。
解析
【分析】
这三道题均为整式乘法运算，核心是运用整体思想简化计算，解题思路如下：(1)对于三项式的平方，可将其中两项视为一个整体，转化为二项式的平方，套用完全平方公式展开后，再对整体部分进一步展开即可；(2)(3)为两个三项式相乘，先分别提取两个因式中的相同部分和相反部分，将式子变形为平方差公式的结构，先套用平方差公式计算，再展开剩余的完全平方，最后合并同类项，可大幅简化运算，避免逐项相乘的繁琐。
【解析】
(1) 把$2x+y$看作整体$A$，则原式可转化为$(A-3z)^2$，根据完全平方公式得：
$(A-3z)^2=A^2-6Az+9z^2$
将$A=2x+y$代回，展开$A^2=(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$，再展开其余项：
原式$=4x^2+4xy+y^2-6(2x+y)z+9z^2=4x^2+4xy+y^2-12xz-6yz+9z^2$
(2) 观察式子结构，把$b-c$看作整体，将原式变形为平方差形式：
原式$=[a-(b-c)][a+(b-c)]$
根据平方差公式得$a^2-(b-c)^2$，再根据完全平方公式展开：
$a^2-(b^2-2bc+c^2)=a^2-b^2+2bc-c^2$
(3) 把$x^2+1$看作整体$A$，则原式变形为平方差形式：
原式$=(A+x)(A-x)$
根据平方差公式得$A^2-x^2$，将$A=x^2+1$代回展开：
$(x^2+1)^2-x^2=x^4+2x^2+1-x^2=x^4+x^2+1$
【答案】
(1) $4x^2+4xy+y^2-12xz-6yz+9z^2$
(2) $a^2-b^2+2bc-c^2$
(3) $x^4+x^2+1$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 整体代换思想
【点评】
这组题目是整式乘法中的典型题型，重点考查乘法公式的灵活运用能力，解题的关键是通过观察式子的结构特征，合理分组、运用整体思想将陌生的复杂运算转化为已学的乘法公式形式，既可以提升运算效率，也能降低计算错误率，需要熟练掌握这类变形技巧。
【难度系数】
0.6
这三道题均为整式乘法运算，核心是运用整体思想简化计算，解题思路如下：(1)对于三项式的平方，可将其中两项视为一个整体，转化为二项式的平方，套用完全平方公式展开后，再对整体部分进一步展开即可；(2)(3)为两个三项式相乘，先分别提取两个因式中的相同部分和相反部分，将式子变形为平方差公式的结构，先套用平方差公式计算，再展开剩余的完全平方，最后合并同类项，可大幅简化运算，避免逐项相乘的繁琐。
【解析】
(1) 把$2x+y$看作整体$A$，则原式可转化为$(A-3z)^2$，根据完全平方公式得：
$(A-3z)^2=A^2-6Az+9z^2$
将$A=2x+y$代回，展开$A^2=(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$，再展开其余项：
原式$=4x^2+4xy+y^2-6(2x+y)z+9z^2=4x^2+4xy+y^2-12xz-6yz+9z^2$
(2) 观察式子结构，把$b-c$看作整体，将原式变形为平方差形式：
原式$=[a-(b-c)][a+(b-c)]$
根据平方差公式得$a^2-(b-c)^2$，再根据完全平方公式展开：
$a^2-(b^2-2bc+c^2)=a^2-b^2+2bc-c^2$
(3) 把$x^2+1$看作整体$A$，则原式变形为平方差形式：
原式$=(A+x)(A-x)$
根据平方差公式得$A^2-x^2$，将$A=x^2+1$代回展开：
$(x^2+1)^2-x^2=x^4+2x^2+1-x^2=x^4+x^2+1$
【答案】
(1) $4x^2+4xy+y^2-12xz-6yz+9z^2$
(2) $a^2-b^2+2bc-c^2$
(3) $x^4+x^2+1$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 整体代换思想
【点评】
这组题目是整式乘法中的典型题型，重点考查乘法公式的灵活运用能力，解题的关键是通过观察式子的结构特征，合理分组、运用整体思想将陌生的复杂运算转化为已学的乘法公式形式，既可以提升运算效率，也能降低计算错误率，需要熟练掌握这类变形技巧。
【难度系数】
0.6
