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3. 某校七年级一班同学参加了学校科技节比赛，制作了一个飞机模型，为了向同学宣传自己的科技作品制作了宣传版画如图所示，它是由一个三角形，两个梯形组成的.
（1）用含$a$，$b$的代数式表示阴影部分的总面积（结果需化简）；
（2）若$a+b=7$，$ab=\dfrac{45}{4}$，求阴影部分的总面积.
（1）用含$a$，$b$的代数式表示阴影部分的总面积（结果需化简）；
（2）若$a+b=7$，$ab=\dfrac{45}{4}$，求阴影部分的总面积.
答案
解（1）阴影部分的面积为 $\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}(b+3b)×\frac{3}{2}b+\frac{1}{2}(b+6a-2b)× a=3a^2+3b^2$。
（2）因为 $a+b=7$，$ab=\frac{45}{4}$，
所以 $3a^2+3b^2=3(a^2+b^2)=3[(a+b)^2-2ab]=3×(49-\frac{45}{2})=\frac{159}{2}$。
（2）因为 $a+b=7$，$ab=\frac{45}{4}$，
所以 $3a^2+3b^2=3(a^2+b^2)=3[(a+b)^2-2ab]=3×(49-\frac{45}{2})=\frac{159}{2}$。
解析
【分析】
本题可分两步解决：（1）求阴影总面积时，先将阴影拆分为上方三角形、中间梯形、下方梯形三个基本图形，分别回忆三角形、梯形的面积公式，再从图中提取各图形对应的底、高、上下底长度，分别计算三个图形的面积后相加，合并同类项化简即可得到代数式结果；（2）求具体数值时，观察化简后的代数式特征，利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将已知的$a+b$和$ab$整体代入计算即可，无需单独求$a$、$b$的值。
【解析】
（1）分别计算三部分阴影的面积：
① 上方三角形的底为$b$，高为$a$，面积为：$S_1=\frac{1}{2}× b× a=\frac{1}{2}ab$
② 中间梯形的上底为$b$，下底为$3b$，高为$\frac{3}{2}b$，面积为：$S_2=\frac{1}{2}×(b+3b)×\frac{3}{2}b=\frac{1}{2}×4b×\frac{3}{2}b=3b^2$
③ 下方梯形的上底为$b$，下底为$6a-2b$，高为$a$，面积为：$S_3=\frac{1}{2}×[b+(6a-2b)]× a=\frac{1}{2}×(6a-b)a=3a^2-\frac{1}{2}ab$
阴影部分总面积：$S=S_1+S_2+S_3=\frac{1}{2}ab+3b^2+3a^2-\frac{1}{2}ab=3a^2+3b^2$
（2）已知$a+b=7$，$ab=\frac{45}{4}$，对$3a^2+3b^2$变形计算：
根据完全平方公式变形可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入得：
$3a^2+3b^2=3(a^2+b^2)=3×[(a+b)^2-2ab]$
将$a+b=7$，$ab=\frac{45}{4}$代入上式：
原式$=3×(7^2-2×\frac{45}{4})=3×(49-\frac{45}{2})=3×\frac{53}{2}=\frac{159}{2}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{3a^2+3b^2}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{159}{2}}$
【知识点】
面积公式应用，整式化简，完全平方公式
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，既考查了三角形、梯形的面积计算公式，又考查了整式的混合运算和完全平方公式的变形技巧，解题时运用整体代入的思想可以有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题可分两步解决：（1）求阴影总面积时，先将阴影拆分为上方三角形、中间梯形、下方梯形三个基本图形，分别回忆三角形、梯形的面积公式，再从图中提取各图形对应的底、高、上下底长度，分别计算三个图形的面积后相加，合并同类项化简即可得到代数式结果；（2）求具体数值时，观察化简后的代数式特征，利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将已知的$a+b$和$ab$整体代入计算即可，无需单独求$a$、$b$的值。
【解析】
（1）分别计算三部分阴影的面积：
① 上方三角形的底为$b$，高为$a$，面积为：$S_1=\frac{1}{2}× b× a=\frac{1}{2}ab$
② 中间梯形的上底为$b$，下底为$3b$，高为$\frac{3}{2}b$，面积为：$S_2=\frac{1}{2}×(b+3b)×\frac{3}{2}b=\frac{1}{2}×4b×\frac{3}{2}b=3b^2$
③ 下方梯形的上底为$b$，下底为$6a-2b$，高为$a$，面积为：$S_3=\frac{1}{2}×[b+(6a-2b)]× a=\frac{1}{2}×(6a-b)a=3a^2-\frac{1}{2}ab$
阴影部分总面积：$S=S_1+S_2+S_3=\frac{1}{2}ab+3b^2+3a^2-\frac{1}{2}ab=3a^2+3b^2$
（2）已知$a+b=7$，$ab=\frac{45}{4}$，对$3a^2+3b^2$变形计算：
根据完全平方公式变形可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入得：
$3a^2+3b^2=3(a^2+b^2)=3×[(a+b)^2-2ab]$
将$a+b=7$，$ab=\frac{45}{4}$代入上式：
原式$=3×(7^2-2×\frac{45}{4})=3×(49-\frac{45}{2})=3×\frac{53}{2}=\frac{159}{2}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{3a^2+3b^2}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{159}{2}}$
【知识点】
面积公式应用，整式化简，完全平方公式
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，既考查了三角形、梯形的面积计算公式，又考查了整式的混合运算和完全平方公式的变形技巧，解题时运用整体代入的思想可以有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
4. 解答下列问题.
（1）已知$a - b = 1$，$a^2 + b^2 = 17$，求$ab$的值.
（2）如图，已知两个正方形的边长分别为$a$，$b$，若$a + b = 7$，$ab = 9$，求图中阴影部分的面积.
（3）若$(225 - x)(x - 224) = -6$，则$(225 - x)^2 + (x - 224)^2$的值为
（1）已知$a - b = 1$，$a^2 + b^2 = 17$，求$ab$的值.
（2）如图，已知两个正方形的边长分别为$a$，$b$，若$a + b = 7$，$ab = 9$，求图中阴影部分的面积.
（3）若$(225 - x)(x - 224) = -6$，则$(225 - x)^2 + (x - 224)^2$的值为
13
.答案
4. 解（1）因为 $a-b=1$，$a^2+b^2=17$，$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，
所以 $1^2=17-2ab$，解得 $ab=8$。
（2）根据题意可得图中阴影部分的面积=$a^2-2×\frac{1}{2}b(a-b)=a^2+b^2-ab$。
因为 $a+b=7$，所以 $(a+b)^2=7^2$，
即 $a^2+2ab+b^2=49$，
因为 $ab=9$，所以 $a^2+b^2+2×9=49$，
即 $a^2+b^2=31$，
所以图中阴影部分的面积=$31-9=22$。
（3）13
所以 $1^2=17-2ab$，解得 $ab=8$。
（2）根据题意可得图中阴影部分的面积=$a^2-2×\frac{1}{2}b(a-b)=a^2+b^2-ab$。
因为 $a+b=7$，所以 $(a+b)^2=7^2$，
即 $a^2+2ab+b^2=49$，
因为 $ab=9$，所以 $a^2+b^2+2×9=49$，
即 $a^2+b^2=31$，
所以图中阴影部分的面积=$31-9=22$。
（3）13
解析
【分析】
（1）已知$a-b$和$a^2+b^2$的值，可直接利用完全平方差公式的展开式，代入已知量即可求出$ab$的值。
（2）首先用面积和差法推导阴影部分面积的代数式：阴影面积=两个正方形面积和减去两个空白直角三角形的面积，化简得到含$a^2+b^2$、$ab$的表达式；再利用完全平方和公式，结合已知的$a+b$和$ab$求出$a^2+b^2$，代入阴影面积表达式即可计算结果。
（3）用换元法简化计算，设$m=225-x$，$n=x-224$，先求出$m+n$的值，再利用完全平方和公式的变形求$m^2+n^2$，即可得到所求式子的值。
【解析】
（1）解：由完全平方差公式可得$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，
将$a-b=1$，$a^2+b^2=17$代入得：$1^2=17-2ab$，
整理得$2ab=16$，解得$ab=8$。
（2）解：根据图形面积的和差关系：
$S_{阴影}=a^2+b^2-2×\frac{1}{2}b(a-b)=a^2+b^2-ab$，
已知$a+b=7$，两边平方得$(a+b)^2=7^2$，
展开得$a^2+2ab+b^2=49$，
将$ab=9$代入得$a^2+b^2+2×9=49$，解得$a^2+b^2=31$，
因此$S_{阴影}=31-9=22$。
（3）解：设$m=225-x$，$n=x-224$，则$m+n=1$，已知$mn=-6$，
由完全平方和公式变形得$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，
代入数值计算得$m^2+n^2=1^2-2×(-6)=13$，即$(225-x)^2+(x-224)^2=13$。
【答案】
（1）$ab=8$；（2）阴影部分面积为22；（3）13
【知识点】
完全平方公式、代数式化简求值、面积和差计算
【点评】
本题组考查完全平方公式的变形应用，覆盖代数求值、几何面积计算两类常见题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的恒等变形，结合换元法、割补法可简化计算过程，是整式乘法章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）已知$a-b$和$a^2+b^2$的值，可直接利用完全平方差公式的展开式，代入已知量即可求出$ab$的值。
（2）首先用面积和差法推导阴影部分面积的代数式：阴影面积=两个正方形面积和减去两个空白直角三角形的面积，化简得到含$a^2+b^2$、$ab$的表达式；再利用完全平方和公式，结合已知的$a+b$和$ab$求出$a^2+b^2$，代入阴影面积表达式即可计算结果。
（3）用换元法简化计算，设$m=225-x$，$n=x-224$，先求出$m+n$的值，再利用完全平方和公式的变形求$m^2+n^2$，即可得到所求式子的值。
【解析】
（1）解：由完全平方差公式可得$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，
将$a-b=1$，$a^2+b^2=17$代入得：$1^2=17-2ab$，
整理得$2ab=16$，解得$ab=8$。
（2）解：根据图形面积的和差关系：
$S_{阴影}=a^2+b^2-2×\frac{1}{2}b(a-b)=a^2+b^2-ab$，
已知$a+b=7$，两边平方得$(a+b)^2=7^2$，
展开得$a^2+2ab+b^2=49$，
将$ab=9$代入得$a^2+b^2+2×9=49$，解得$a^2+b^2=31$，
因此$S_{阴影}=31-9=22$。
（3）解：设$m=225-x$，$n=x-224$，则$m+n=1$，已知$mn=-6$，
由完全平方和公式变形得$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，
代入数值计算得$m^2+n^2=1^2-2×(-6)=13$，即$(225-x)^2+(x-224)^2=13$。
【答案】
（1）$ab=8$；（2）阴影部分面积为22；（3）13
【知识点】
完全平方公式、代数式化简求值、面积和差计算
【点评】
本题组考查完全平方公式的变形应用，覆盖代数求值、几何面积计算两类常见题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的恒等变形，结合换元法、割补法可简化计算过程，是整式乘法章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
【阅读材料】图形是一种重要的数学语言，对于同一个图形，可以用不同的方法计算图形的面积，从而得到一个数学等式.
已知下列等式成立：
① $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；② $(a+$
$b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.$
如图①，通过不同的方法计算边长为$a+b$的正方形的面积，可以说明等式①的合理性.
【问题解决】如图②，将边长为$a+b+c$的正方形$ABCD$分割成几个小正方形与小长方形.
（1）请你根据图②的面积说明等式②的合理性；
（2）若$a$，$b$，$c$满足$a+b+c=12$，$ab+bc+ac=33$，求$a^2 + b^2 + c^2$的值.
【拓展探究】如图③，有三种规格的纸片：$a×a$，$b×b$，$a×b$（其中$a＜b$）若干张.
（3）请你利用上述纸片拼接一个大长方形，并能利用它的面积说明等式$(2a + b)·(a + 2b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2$成立. 请画出你的设计示意图.（画出一种即可，不需说明成立的理由）
解（1）因为$S_{正方形ABCD}=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$，
且$S_{正方形ABCD}=(a + b + c)^2$，
所以$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac.$
（2）由条件可知$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac),$
所以$12^2 = a^2 +b ^2 + c^2 + 2×33,$
所以$a^2 + b^2 + c^2 = 144 - 66 = 78.$
（3）如图所示（图形不唯一）.
因为$S_{长方形ABCD}=2a^2 + 5ab + 2b^2,$
且$S_{长方形ABCD}=(2a + b)(a + 2b),$
所以$(2a + b)(a + 2b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2.$
已知下列等式成立：
① $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；② $(a+$
$b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.$
如图①，通过不同的方法计算边长为$a+b$的正方形的面积，可以说明等式①的合理性.
【问题解决】如图②，将边长为$a+b+c$的正方形$ABCD$分割成几个小正方形与小长方形.
（1）请你根据图②的面积说明等式②的合理性；
（2）若$a$，$b$，$c$满足$a+b+c=12$，$ab+bc+ac=33$，求$a^2 + b^2 + c^2$的值.
【拓展探究】如图③，有三种规格的纸片：$a×a$，$b×b$，$a×b$（其中$a＜b$）若干张.
（3）请你利用上述纸片拼接一个大长方形，并能利用它的面积说明等式$(2a + b)·(a + 2b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2$成立. 请画出你的设计示意图.（画出一种即可，不需说明成立的理由）
解（1）因为$S_{正方形ABCD}=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$，
且$S_{正方形ABCD}=(a + b + c)^2$，
所以$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac.$
（2）由条件可知$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac),$
所以$12^2 = a^2 +
所以$a^2 + b^2 + c^2 = 144 - 66 = 78.$
（3）如图所示（图形不唯一）.
因为$S_{长方形ABCD}=2a^2 + 5ab + 2b^2,$
且$S_{长方形ABCD}=(2a + b)(a + 2b),$
所以$(2a + b)(a + 2b) = 2a^2 + 5ab + 2b^2.$
答案
解：
（1）边长为$a+b+c$的正方形$ABCD$的面积可直接表示为：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=(a+b+c)^2$
将正方形分割后，所有小图形的面积之和为：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
两式均表示正方形$ABCD$的总面积，因此可得：
$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
即等式②成立。
（2）将$a+b+c=12$，$ab+bc+ac=33$代入等式$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac)$，得：
$12^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2×33$
整理得：
$a^2 + b^2 + c^2 = 144 - 66 = 78$
（3）拼接示意图：绘制长为$a+2b$、宽为$2a+b$的大长方形，横向底边从左到右依次标注长度$a、b、b$，纵向侧边从下到上依次标注长度$a、a、b$，内部分割出2个$a× a$的正方形、2个$b× b$的正方形、5个$a× b$的长方形，排布符合面积对应关系即可（图形不唯一）。
（1）边长为$a+b+c$的正方形$ABCD$的面积可直接表示为：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=(a+b+c)^2$
将正方形分割后，所有小图形的面积之和为：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
两式均表示正方形$ABCD$的总面积，因此可得：
$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
即等式②成立。
（2）将$a+b+c=12$，$ab+bc+ac=33$代入等式$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac)$，得：
$12^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2×33$
整理得：
$a^2 + b^2 + c^2 = 144 - 66 = 78$
（3）拼接示意图：绘制长为$a+2b$、宽为$2a+b$的大长方形，横向底边从左到右依次标注长度$a、b、b$，纵向侧边从下到上依次标注长度$a、a、b$，内部分割出2个$a× a$的正方形、2个$b× b$的正方形、5个$a× b$的长方形，排布符合面积对应关系即可（图形不唯一）。
解析
【分析】
（1）验证等式②可采用等面积法：分别用两种方式计算边长为$a+b+c$的正方形面积，一是直接用正方形面积公式计算，二是计算分割后所有小正方形、小长方形的面积总和，两个结果相等即可证明等式成立。
（2）求解$a^2+b^2+c^2$的值，可直接利用（1）得到的三个数的完全平方公式，将公式变形为$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$，代入已知数值计算即可。
（3）要验证多项式乘法等式，只需拼出长为$a+2b$、宽为$2a+b$的长方形，再将长方形分割为对应数量的三种规格纸片，通过面积对应关系即可验证等式，图形排布不唯一。
【解析】
（1）第一步：直接计算大正方形面积
正方形$ABCD$的边长为$a+b+c$，因此面积为：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=(a+b+c)^2$
第二步：计算分割后所有小图形的面积和
分割后包含3个小正方形，面积分别为$a^2、b^2、c^2$；包含6个小长方形，其中面积为$ab$的有2个，面积为$bc$的有2个，面积为$ac$的有2个，因此总面积为：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
第三步：联立两个面积表达式
由于两个式子均表示正方形$ABCD$的总面积，因此可得：
$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
即等式②成立。
（2）将三个数的完全平方公式变形得：
$a^2 + b^2 + c^2=(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac)$
把$a+b+c=12$，$ab+bc+ac=33$代入上式：
$a^2 + b^2 + c^2=12^2 - 2×33=144 - 66=78$
（3）绘制长为$a+2b$、宽为$2a+b$的大长方形：横向底边从左到右依次标注长度$a、b、b$，纵向侧边从下到上依次标注长度$a、a、b$，内部分割出2个$a×a$的正方形、2个$b×b$的正方形、5个$a×b$的长方形即可（图形不唯一）。
【答案】
（1）等式②成立，证明过程见解析；
（2）$\boxed{78}$；
（3）拼接示意图符合长为$a+2b$、宽为$2a+b$，内部包含2个$a×a$正方形、2个$b×b$正方形、5个$a×b$长方形即可（图形不唯一）。
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，多项式乘多项式
【点评】
本题以几何图形面积为载体，考查整式乘法公式的理解与应用，渗透数形结合的数学思想，既要求熟练掌握公式的代数变形，也需要具备一定的空间想象能力，是整式乘法章节的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
（1）验证等式②可采用等面积法：分别用两种方式计算边长为$a+b+c$的正方形面积，一是直接用正方形面积公式计算，二是计算分割后所有小正方形、小长方形的面积总和，两个结果相等即可证明等式成立。
（2）求解$a^2+b^2+c^2$的值，可直接利用（1）得到的三个数的完全平方公式，将公式变形为$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$，代入已知数值计算即可。
（3）要验证多项式乘法等式，只需拼出长为$a+2b$、宽为$2a+b$的长方形，再将长方形分割为对应数量的三种规格纸片，通过面积对应关系即可验证等式，图形排布不唯一。
【解析】
（1）第一步：直接计算大正方形面积
正方形$ABCD$的边长为$a+b+c$，因此面积为：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=(a+b+c)^2$
第二步：计算分割后所有小图形的面积和
分割后包含3个小正方形，面积分别为$a^2、b^2、c^2$；包含6个小长方形，其中面积为$ab$的有2个，面积为$bc$的有2个，面积为$ac$的有2个，因此总面积为：
$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
第三步：联立两个面积表达式
由于两个式子均表示正方形$ABCD$的总面积，因此可得：
$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$
即等式②成立。
（2）将三个数的完全平方公式变形得：
$a^2 + b^2 + c^2=(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac)$
把$a+b+c=12$，$ab+bc+ac=33$代入上式：
$a^2 + b^2 + c^2=12^2 - 2×33=144 - 66=78$
（3）绘制长为$a+2b$、宽为$2a+b$的大长方形：横向底边从左到右依次标注长度$a、b、b$，纵向侧边从下到上依次标注长度$a、a、b$，内部分割出2个$a×a$的正方形、2个$b×b$的正方形、5个$a×b$的长方形即可（图形不唯一）。
【答案】
（1）等式②成立，证明过程见解析；
（2）$\boxed{78}$；
（3）拼接示意图符合长为$a+2b$、宽为$2a+b$，内部包含2个$a×a$正方形、2个$b×b$正方形、5个$a×b$长方形即可（图形不唯一）。
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，多项式乘多项式
【点评】
本题以几何图形面积为载体，考查整式乘法公式的理解与应用，渗透数形结合的数学思想，既要求熟练掌握公式的代数变形，也需要具备一定的空间想象能力，是整式乘法章节的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
