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6. 有边长分别为$a$，$b$（$b＜a＜2b$）的两种正方形（如图①）卡片若干.
（1）将两种正方形卡片各一张按图②放置，用含$a$，$b$的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长；
（2）将一张边长为$a$的正方形卡片和两张边长为$b$的正方形卡片按图③放置，用含$a$，$b$的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长；
（3）将两种正方形卡片各一张按图④放置在一个边长为$c$（$a+b＞c＞a$）的大正方形内，左下角长方形的面积为$S_1$，两张卡片重叠部分的面积为$S_2$. 若$a^2 + b^2 = c^2$，请直接写出$S_1$与$S_2$的数量关系.
（1）将两种正方形卡片各一张按图②放置，用含$a$，$b$的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长；
（2）将一张边长为$a$的正方形卡片和两张边长为$b$的正方形卡片按图③放置，用含$a$，$b$的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长；
（3）将两种正方形卡片各一张按图④放置在一个边长为$c$（$a+b＞c＞a$）的大正方形内，左下角长方形的面积为$S_1$，两张卡片重叠部分的面积为$S_2$. 若$a^2 + b^2 = c^2$，请直接写出$S_1$与$S_2$的数量关系.
答案
6. 解（1）如图①. 因为正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$，正方形 $EFHD$ 的边长为 $b$，所以 $AB=BC=CD=AD=a$，$EF=FH=HD=DE=b$。
所以 $AE=a-b$，$CH=a-b$。
所以阴影部分的周长为 $AB+BC+AE+CH+EF+FH=2a+2(a-b)+2b=4a$。
（2）如图②. 因为正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$，正方形 $KHPA$ 和正方形 $EFQD$ 的边长均为 $b$，所以 $AB=BC=CD=AD=a$，$AP=EF=PH=KH=AK=FQ=QD=DE=b$。
所以 $AE=b-KE$。因为 $AD=AE+DE=a$，
所以 $b-KE+b=a$。所以 $KE=2b-a$。
所以阴影部分的周长为 $2(KE+EF)=2(2b-a+b)=6b-2a$。
（3）$2S_1=S_2$
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先明确两个正方形的边长分别为a和b，分别表示出阴影部分各条边的长度，再将所有边长相加，合并同类项化简即可得到周长；
（2）求解第二问时，先根据三个正方形的边长关系，求出三张卡片重叠部分（小矩形）的长和宽，再利用矩形周长公式列式化简即可；
（3）求解第三问时，先分别用a、b、c表示出$S_1$和$S_2$的代数式，再结合已知条件$a^2+b^2=c^2$对代数式变形，即可得到两者的数量关系。
【解析】
（1）设边长为a的正方形为ABCD，边长为b的正方形为EFHD，可得$AB=BC=CD=AD=a$，$EF=FH=HD=DE=b$。
则$AE = AD - DE = a - b$，$CH = CD - HD = a - b$。
阴影部分周长 $= AB + BC + CH + FH + EF + AE = a + a + (a-b) + b + b + (a-b) = 4a$。
（2）设边长为a的正方形为ABCD，两个边长为b的正方形分别为KHPA、EFQD，可得$AB=BC=CD=AD=a$，$AP=PH=KH=AK=EF=FQ=QD=DE=b$。
设重叠部分的竖直边长为KE，由$AD = AE + DE = (AK - KE) + DE$，代入得$a = (b - KE) + b$，解得$KE=2b - a$。
重叠部分为矩形，水平边长为b，因此周长$=2×(KE + b) = 2×(2b - a + b) = 6b - 2a$。
（3）分别表示$S_1$和$S_2$：
$S_1=(c - a)(c - b)$，$S_2=(a + b - c)^2$，
展开$S_1$得：$S_1=c^2 -ac -bc +ab$，
展开$S_2$得：$S_2=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$，
将$a^2 + b^2 = c^2$代入$S_2$得：$S_2=c^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc = 2(c^2 -ac -bc +ab) = 2S_1$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{4a}$
（2）$\boldsymbol{6b-2a}$
（3）$\boldsymbol{2S_1=S_2}$
【知识点】
列代数式；整式的运算；正方形的性质
【点评】
本题结合正方形的拼接场景，考查了代数式的列式与化简能力，解题的核心是准确梳理图形中各线段的长度关系，结合周长、面积公式列式，再利用已知条件变形推导，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
（1）求解第一问时，先明确两个正方形的边长分别为a和b，分别表示出阴影部分各条边的长度，再将所有边长相加，合并同类项化简即可得到周长；
（2）求解第二问时，先根据三个正方形的边长关系，求出三张卡片重叠部分（小矩形）的长和宽，再利用矩形周长公式列式化简即可；
（3）求解第三问时，先分别用a、b、c表示出$S_1$和$S_2$的代数式，再结合已知条件$a^2+b^2=c^2$对代数式变形，即可得到两者的数量关系。
【解析】
（1）设边长为a的正方形为ABCD，边长为b的正方形为EFHD，可得$AB=BC=CD=AD=a$，$EF=FH=HD=DE=b$。
则$AE = AD - DE = a - b$，$CH = CD - HD = a - b$。
阴影部分周长 $= AB + BC + CH + FH + EF + AE = a + a + (a-b) + b + b + (a-b) = 4a$。
（2）设边长为a的正方形为ABCD，两个边长为b的正方形分别为KHPA、EFQD，可得$AB=BC=CD=AD=a$，$AP=PH=KH=AK=EF=FQ=QD=DE=b$。
设重叠部分的竖直边长为KE，由$AD = AE + DE = (AK - KE) + DE$，代入得$a = (b - KE) + b$，解得$KE=2b - a$。
重叠部分为矩形，水平边长为b，因此周长$=2×(KE + b) = 2×(2b - a + b) = 6b - 2a$。
（3）分别表示$S_1$和$S_2$：
$S_1=(c - a)(c - b)$，$S_2=(a + b - c)^2$，
展开$S_1$得：$S_1=c^2 -ac -bc +ab$，
展开$S_2$得：$S_2=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$，
将$a^2 + b^2 = c^2$代入$S_2$得：$S_2=c^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc = 2(c^2 -ac -bc +ab) = 2S_1$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{4a}$
（2）$\boldsymbol{6b-2a}$
（3）$\boldsymbol{2S_1=S_2}$
【知识点】
列代数式；整式的运算；正方形的性质
【点评】
本题结合正方形的拼接场景，考查了代数式的列式与化简能力，解题的核心是准确梳理图形中各线段的长度关系，结合周长、面积公式列式，再利用已知条件变形推导，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
