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1. 把多项式$-7ab -14abx +49aby$分解因式，提公因式$-7ab$后，另一个因式是（
A.$1+2x-7y$
B.$1-2x-7y$
C.$-1+2x+2y$
D.$-1-2x+7y$
A
）A.$1+2x-7y$
B.$1-2x-7y$
C.$-1+2x+2y$
D.$-1-2x+7y$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要用到提公因式法分解因式的基本思路：提取公因式后，剩下的另一个因式等于原多项式的每一项分别除以公因式所得商的和。本题已经明确给出公因式为$-7ab$，我们只需将原多项式的三项依次除以$-7ab$，再把得到的商相加即可，计算时要重点注意各项的符号变化。
【解析】
根据提公因式法的运算规则，将原多项式的每一项分别除以公因式$-7ab$：
1. 第一项：$-7ab ÷ (-7ab) = 1$
2. 第二项：$-14abx ÷ (-7ab) = 2x$
3. 第三项：$49aby ÷ (-7ab) = -7y$
将三个商相加，得到另一个因式为$1+2x-7y$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；整式除法运算
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心考查点是提取负公因式时的符号处理规则，要注意原多项式每一项都要随公因式的负号改变符号，避免出现符号计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要用到提公因式法分解因式的基本思路：提取公因式后，剩下的另一个因式等于原多项式的每一项分别除以公因式所得商的和。本题已经明确给出公因式为$-7ab$，我们只需将原多项式的三项依次除以$-7ab$，再把得到的商相加即可，计算时要重点注意各项的符号变化。
【解析】
根据提公因式法的运算规则，将原多项式的每一项分别除以公因式$-7ab$：
1. 第一项：$-7ab ÷ (-7ab) = 1$
2. 第二项：$-14abx ÷ (-7ab) = 2x$
3. 第三项：$49aby ÷ (-7ab) = -7y$
将三个商相加，得到另一个因式为$1+2x-7y$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；整式除法运算
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，核心考查点是提取负公因式时的符号处理规则，要注意原多项式每一项都要随公因式的负号改变符号，避免出现符号计算错误。
【难度系数】
0.8
2. 分解因式$b^2(x-3)+b(x-3)$的正确结果是（
A.$(x-3)(b^2+b)$
B.$b(x-3)(b+1)$
C.$(x-3)(b^2-b)$
D.$b(x-3)(b-1)$
B
）A.$(x-3)(b^2+b)$
B.$b(x-3)(b+1)$
C.$(x-3)(b^2-b)$
D.$b(x-3)(b-1)$
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道用提公因式法分解因式的基础题，解题思路分两步：第一步先确定多项式各项的公因式，观察两项$b^2(x-3)$和$b(x-3)$，都含有字母因式$b$和多项式因式$(x-3)$，因此公因式为$b(x-3)$；第二步提取公因式，将各项剩下的部分相加作为另一个因式，注意提取公因式要彻底，不能保留可继续提取的公因式。
【解析】
解：先确定多项式的公因式为$b(x-3)$，提取公因式可得：
$\begin{aligned}b^2(x-3)+b(x-3)&=b(x-3)· b + b(x-3)· 1\\&=b(x-3)(b+1)\end{aligned}$
对比选项，只有B符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出全部公因式，提取公因式时要注意彻底提取，避免出现公因式提取不全的错误。
【难度系数】
0.85
这是一道用提公因式法分解因式的基础题，解题思路分两步：第一步先确定多项式各项的公因式，观察两项$b^2(x-3)$和$b(x-3)$，都含有字母因式$b$和多项式因式$(x-3)$，因此公因式为$b(x-3)$；第二步提取公因式，将各项剩下的部分相加作为另一个因式，注意提取公因式要彻底，不能保留可继续提取的公因式。
【解析】
解：先确定多项式的公因式为$b(x-3)$，提取公因式可得：
$\begin{aligned}b^2(x-3)+b(x-3)&=b(x-3)· b + b(x-3)· 1\\&=b(x-3)(b+1)\end{aligned}$
对比选项，只有B符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出全部公因式，提取公因式时要注意彻底提取，避免出现公因式提取不全的错误。
【难度系数】
0.85
3. 写出下列多项式中各项的公因式.
(1) $-6x^2y -8xy^2$: ______;
(2) $m^2n + m^2n^2$: ______;
(3) $2x^2y -4xy^3$: ______;
(4) $7(x-y)^2 +21(x-y)^3$: ______.
(1) $-6x^2y -8xy^2$: ______;
(2) $m^2n + m^2n^2$: ______;
(3) $2x^2y -4xy^3$: ______;
(4) $7(x-y)^2 +21(x-y)^3$: ______.
答案
(1) $-2xy$ (2) $m^2n$ (3) $2xy$ (4) $7(x-y)^2$
解析
【分析】
找多项式各项公因式可按三步进行：①定系数：找各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项系数为负，公因式的系数一般取负数；②定因式：找各项都含有的相同字母或整体多项式因式；③定次数：取相同因式的最低次幂，将三部分组合即为公因式，我们按这个方法分别求解4个小题即可。
【解析】
(1) 系数：-6和-8的绝对值的最大公约数是2，首项系数为负，故系数部分取-2；相同字母为x、y，x的最低次数是1，y的最低次数是1，因此公因式为$-2xy$。
(2) 系数：1和1的最大公约数是1；相同字母为m、n，m的最低次数是2，n的最低次数是1，因此公因式为$m^2n$。
(3) 系数：2和4的最大公约数是2；相同字母为x、y，x的最低次数是1，y的最低次数是1，因此公因式为$2xy$。
(4) 把$(x-y)$看作整体，系数：7和21的最大公约数是7；相同整体因式为$(x-y)$，它的最低次数是2，因此公因式为$7(x-y)^2$。
【答案】
(1) $-2xy$ (2) $m^2n$ (3) $2xy$ (4) $7(x-y)^2$
【知识点】
公因式的确定,提公因式法,整体思想
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题核心是熟练掌握公因式的确定步骤，需要注意两点：一是首项系数为负时公因式通常带负号，二是遇到相同的多项式因式时要将其视作整体找次数，避免拆分后出错。
【难度系数】
0.85
找多项式各项公因式可按三步进行：①定系数：找各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项系数为负，公因式的系数一般取负数；②定因式：找各项都含有的相同字母或整体多项式因式；③定次数：取相同因式的最低次幂，将三部分组合即为公因式，我们按这个方法分别求解4个小题即可。
【解析】
(1) 系数：-6和-8的绝对值的最大公约数是2，首项系数为负，故系数部分取-2；相同字母为x、y，x的最低次数是1，y的最低次数是1，因此公因式为$-2xy$。
(2) 系数：1和1的最大公约数是1；相同字母为m、n，m的最低次数是2，n的最低次数是1，因此公因式为$m^2n$。
(3) 系数：2和4的最大公约数是2；相同字母为x、y，x的最低次数是1，y的最低次数是1，因此公因式为$2xy$。
(4) 把$(x-y)$看作整体，系数：7和21的最大公约数是7；相同整体因式为$(x-y)$，它的最低次数是2，因此公因式为$7(x-y)^2$。
【答案】
(1) $-2xy$ (2) $m^2n$ (3) $2xy$ (4) $7(x-y)^2$
【知识点】
公因式的确定,提公因式法,整体思想
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题核心是熟练掌握公因式的确定步骤，需要注意两点：一是首项系数为负时公因式通常带负号，二是遇到相同的多项式因式时要将其视作整体找次数，避免拆分后出错。
【难度系数】
0.85
4. 如图是一个长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则$a^2b+ab^2$的值为
70
。答案
4. 70
解析
【分析】
首先观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，可通过提公因式法将其因式分解，转化为含$a+b$和$ab$的形式。再结合长方形的周长、面积公式，分别求出$a+b$与$ab$的值，最后整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
1. 根据长方形周长公式求$a+b$的值：
长方形周长公式为$2(a+b)$，已知周长为14，因此：
$2(a+b)=14$，解得$a+b=7$
2. 根据长方形面积公式得$ab$的值：
已知长方形面积为10，因此$ab=10$
3. 对所求代数式因式分解后代入计算：
对$a^2b+ab^2$提取公因式$ab$，可得：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
将$ab=10$、$a+b=7$代入上式：
原式$=10×7=70$
【答案】
70
【知识点】
提公因式法分解因式；长方形周长与面积计算；整体代入求值
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，解题核心是先对目标代数式因式分解，再结合已知条件得到对应整体的值，通过整体代入的方法计算，规避了求解单个未知数的繁琐步骤，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，可通过提公因式法将其因式分解，转化为含$a+b$和$ab$的形式。再结合长方形的周长、面积公式，分别求出$a+b$与$ab$的值，最后整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
1. 根据长方形周长公式求$a+b$的值：
长方形周长公式为$2(a+b)$，已知周长为14，因此：
$2(a+b)=14$，解得$a+b=7$
2. 根据长方形面积公式得$ab$的值：
已知长方形面积为10，因此$ab=10$
3. 对所求代数式因式分解后代入计算：
对$a^2b+ab^2$提取公因式$ab$，可得：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$
将$ab=10$、$a+b=7$代入上式：
原式$=10×7=70$
【答案】
70
【知识点】
提公因式法分解因式；长方形周长与面积计算；整体代入求值
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，解题核心是先对目标代数式因式分解，再结合已知条件得到对应整体的值，通过整体代入的方法计算，规避了求解单个未知数的繁琐步骤，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
5. 把下列各式分解因式：
(1) $x(x-y)+y(y-x)$；
(2) $6(x+y)^2 - 2(x-y)(x+y)$；
(3) $-3(x-y)^2 - (y-x)^3$。
(1) $x(x-y)+y(y-x)$；
(2) $6(x+y)^2 - 2(x-y)(x+y)$；
(3) $-3(x-y)^2 - (y-x)^3$。
答案
5. 解： (1) 原式=$x(x-y)-y(x-y)=(x-y)^2$.
(2) 原式=$2(x+y)[3(x+y)-(x-y)]=2(x+y)(2x+4y)=4(x+y)(x+2y)$.
(3) 原式=$-(x-y)^2[3-(x-y)]=-(x-y)^2(3-x+y)$.
(2) 原式=$2(x+y)[3(x+y)-(x-y)]=2(x+y)(2x+4y)=4(x+y)(x+2y)$.
(3) 原式=$-(x-y)^2[3-(x-y)]=-(x-y)^2(3-x+y)$.
解析
【分析】
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题遵循提公因式法的通用步骤：①确定公因式：先找系数的最大公约数，再找相同因式的最低次幂，互为相反数的因式可通过符号变形统一，如$y-x=-(x-y)$；②提取公因式，将多项式写成公因式与剩余部分的乘积；③检查剩余部分是否需要合并同类项、是否还有公因式可提取，保证分解彻底。
具体到各小题：(1)先将$y(y-x)$变形为$-y(x-y)$，可得公因式为$(x-y)$，提取后化简即可；(2)公因式为$2(x+y)$，提取后合并剩余部分的同类项，再检查是否有新的公因式可提；(3)先将$(y-x)^3$变形为$-(x-y)^3$，确定公因式为$-(x-y)^2$，提取后化简剩余部分即可。
【解析】
(1) 先对原式做符号变形：
原式$=x(x-y)-y(x-y)$
提取公因式$(x-y)$：
$=(x-y)(x-y)$
$=(x-y)^2$
(2) 确定公因式为$2(x+y)$，提取公因式：
原式$=2(x+y)[3(x+y)-(x-y)]$
去括号合并同类项：
$=2(x+y)(3x+3y -x +y)$
$=2(x+y)(2x+4y)$
提取剩余部分的公因式2：
$=2(x+y)×2(x+2y)$
$=4(x+y)(x+2y)$
(3) 先变形$(y-x)^3=-(x-y)^3$，代入原式：
原式$=-3(x-y)^2 - [-(x-y)^3]$
$=-3(x-y)^2 + (x-y)^3$
提取公因式$-(x-y)^2$：
$=-(x-y)^2[3 - (x-y)]$
去括号化简：
$=-(x-y)^2(3 -x +y)$
【答案】
(1)$\boxed{(x-y)^2}$；(2)$\boxed{4(x+y)(x+2y)}$；(3)$\boxed{-(x-y)^2(3-x+y)}$
【知识点】
提公因式法分解因式，因式符号变形，整式化简
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规基础题型，解题核心是准确识别公因式，尤其要注意互为相反数的因式要先统一形式，提取公因式后需检查分解结果是否彻底，避免漏提公因式或未合并同类项。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题遵循提公因式法的通用步骤：①确定公因式：先找系数的最大公约数，再找相同因式的最低次幂，互为相反数的因式可通过符号变形统一，如$y-x=-(x-y)$；②提取公因式，将多项式写成公因式与剩余部分的乘积；③检查剩余部分是否需要合并同类项、是否还有公因式可提取，保证分解彻底。
具体到各小题：(1)先将$y(y-x)$变形为$-y(x-y)$，可得公因式为$(x-y)$，提取后化简即可；(2)公因式为$2(x+y)$，提取后合并剩余部分的同类项，再检查是否有新的公因式可提；(3)先将$(y-x)^3$变形为$-(x-y)^3$，确定公因式为$-(x-y)^2$，提取后化简剩余部分即可。
【解析】
(1) 先对原式做符号变形：
原式$=x(x-y)-y(x-y)$
提取公因式$(x-y)$：
$=(x-y)(x-y)$
$=(x-y)^2$
(2) 确定公因式为$2(x+y)$，提取公因式：
原式$=2(x+y)[3(x+y)-(x-y)]$
去括号合并同类项：
$=2(x+y)(3x+3y -x +y)$
$=2(x+y)(2x+4y)$
提取剩余部分的公因式2：
$=2(x+y)×2(x+2y)$
$=4(x+y)(x+2y)$
(3) 先变形$(y-x)^3=-(x-y)^3$，代入原式：
原式$=-3(x-y)^2 - [-(x-y)^3]$
$=-3(x-y)^2 + (x-y)^3$
提取公因式$-(x-y)^2$：
$=-(x-y)^2[3 - (x-y)]$
去括号化简：
$=-(x-y)^2(3 -x +y)$
【答案】
(1)$\boxed{(x-y)^2}$；(2)$\boxed{4(x+y)(x+2y)}$；(3)$\boxed{-(x-y)^2(3-x+y)}$
【知识点】
提公因式法分解因式，因式符号变形，整式化简
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规基础题型，解题核心是准确识别公因式，尤其要注意互为相反数的因式要先统一形式，提取公因式后需检查分解结果是否彻底，避免漏提公因式或未合并同类项。
【难度系数】
0.8
6. 若$7a-8b=5$，求$(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)(8b-7a)$的值.
答案
6. 解：$\because 7a-8b=5$，$\therefore $原式=$(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(7a-8b)=(7a-8b)(3a-4b+11a-12b)=(7a-8b)(14a-16b)=2(7a-8b)^2=2×5^2=50$.
解析
【分析】
首先观察待求代数式的结构，发现两项中分别含有已知式$7a-8b$和它的相反数$8b-7a$，我们可以先将$8b-7a$变形为$-(7a-8b)$，让两项出现相同的公因式$7a-8b$；再用提公因式法提取公因式，对剩余的整式部分合并同类项化简；化简后可以发现剩余整式还能整理为$2(7a-8b)$，此时整个代数式可转化为仅含$7a-8b$的形式，最后将已知条件$7a-8b=5$整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，简化运算过程。
【解析】
已知$7a-8b=5$，对原式变形化简：
$\begin{aligned}原式&=(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)(8b-7a)\\&=(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(7a-8b)\\&=(7a-8b)(3a-4b+11a-12b)\\&=(7a-8b)(14a-16b)\\&=2(7a-8b)^2\end{aligned}$
将$7a-8b=5$代入得：
$2×5^2=2×25=50$
【答案】
$\boxed{50}$
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式化简求值、整体代入求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题关键是通过符号调整构造出公因式，结合整体代入思想快速求解，避免了单独求解未知数的繁琐运算，能够有效考查学生的观察能力和对提公因式法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察待求代数式的结构，发现两项中分别含有已知式$7a-8b$和它的相反数$8b-7a$，我们可以先将$8b-7a$变形为$-(7a-8b)$，让两项出现相同的公因式$7a-8b$；再用提公因式法提取公因式，对剩余的整式部分合并同类项化简；化简后可以发现剩余整式还能整理为$2(7a-8b)$，此时整个代数式可转化为仅含$7a-8b$的形式，最后将已知条件$7a-8b=5$整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，简化运算过程。
【解析】
已知$7a-8b=5$，对原式变形化简：
$\begin{aligned}原式&=(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)(8b-7a)\\&=(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(7a-8b)\\&=(7a-8b)(3a-4b+11a-12b)\\&=(7a-8b)(14a-16b)\\&=2(7a-8b)^2\end{aligned}$
将$7a-8b=5$代入得：
$2×5^2=2×25=50$
【答案】
$\boxed{50}$
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式化简求值、整体代入求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题关键是通过符号调整构造出公因式，结合整体代入思想快速求解，避免了单独求解未知数的繁琐运算，能够有效考查学生的观察能力和对提公因式法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 将$x(x+y)(x-y)-x(x+y)^2$进行因式分解，并求当$x+y=1$，$xy=-\frac{1}{2}$时此式的值.
答案
7. 解：原式=$x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=-2xy(x+y)$.
当$x+y=1$，$xy=-\frac{1}{2}$时，原式=$-2×(-\frac{1}{2})×1=1$.
当$x+y=1$，$xy=-\frac{1}{2}$时，原式=$-2×(-\frac{1}{2})×1=1$.
解析
【分析】
观察原式结构，发现多项式的两项均含有公因式$x(x+y)$，因此优先选择提公因式法进行因式分解：第一步先提取公共因式$x(x+y)$，第二步对提取公因式后括号内的整式合并同类项化简，即可得到最简因式分解结果。由于已知条件给出了$x+y$和$xy$的整体值，因此无需单独求解x、y的数值，直接将整体代入化简后的式子计算即可，该方法比直接展开原式计算更简便，可降低计算出错概率。
【解析】
解：先提取公因式$x(x+y)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]\\&=x(x+y)(x-y-x-y)\\&=x(x+y)·(-2y)\\&=-2xy(x+y)\end{aligned}$
再代入已知条件计算：
当$x+y=1$，$xy=-\frac{1}{2}$时，
$\mathrm{原式}=-2×(-\frac{1}{2})×1=1$
【答案】
因式分解结果为$-2xy(x+y)$，此式的值为$1$
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，先分解因式再整体代入求值的方式能大幅简化计算过程，解题时需注意提取公因式后剩余项的符号处理，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
观察原式结构，发现多项式的两项均含有公因式$x(x+y)$，因此优先选择提公因式法进行因式分解：第一步先提取公共因式$x(x+y)$，第二步对提取公因式后括号内的整式合并同类项化简，即可得到最简因式分解结果。由于已知条件给出了$x+y$和$xy$的整体值，因此无需单独求解x、y的数值，直接将整体代入化简后的式子计算即可，该方法比直接展开原式计算更简便，可降低计算出错概率。
【解析】
解：先提取公因式$x(x+y)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]\\&=x(x+y)(x-y-x-y)\\&=x(x+y)·(-2y)\\&=-2xy(x+y)\end{aligned}$
再代入已知条件计算：
当$x+y=1$，$xy=-\frac{1}{2}$时，
$\mathrm{原式}=-2×(-\frac{1}{2})×1=1$
【答案】
因式分解结果为$-2xy(x+y)$，此式的值为$1$
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，先分解因式再整体代入求值的方式能大幅简化计算过程，解题时需注意提取公因式后剩余项的符号处理，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
8. (2025·上海) 分解因式：$a^2b+ab^2=$
$ab(a+b)$
.答案
8. $ab(a+b)$
解析
【分析】
要对多项式分解因式，首先观察多项式的项的特点，判断适用的分解方法：该多项式是二项式，两项都含有相同的因式，所以优先使用提公因式法分解。第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，这里两项系数都是1，最大公约数为1；再找各项都含有的相同字母，两项都含有a和b，相同字母取最低次幂，a的最低次是1次，b的最低次是1次，因此公因式为ab。第二步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式的乘积形式即可。
【解析】
解：观察多项式$a^2b+ab^2$，可得两项的公因式为$ab$，
提取公因式$ab$：
$a^2b+ab^2 = ab· a + ab· b = ab(a+b)$
【答案】
$ab(a+b)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查提公因式法的应用，只要熟练掌握公因式的确定方法，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要对多项式分解因式，首先观察多项式的项的特点，判断适用的分解方法：该多项式是二项式，两项都含有相同的因式，所以优先使用提公因式法分解。第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，这里两项系数都是1，最大公约数为1；再找各项都含有的相同字母，两项都含有a和b，相同字母取最低次幂，a的最低次是1次，b的最低次是1次，因此公因式为ab。第二步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式的乘积形式即可。
【解析】
解：观察多项式$a^2b+ab^2$，可得两项的公因式为$ab$，
提取公因式$ab$：
$a^2b+ab^2 = ab· a + ab· b = ab(a+b)$
【答案】
$ab(a+b)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查提公因式法的应用，只要熟练掌握公因式的确定方法，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
