【知识点】用平方差公式分解因式
两个数的，等于这两个数的与这两个数的的积. 即 $a^2 - b^2 = $.

平方差 和 差 (a+b)(a-b)

【分析】
这道题考查平方差公式分解因式的基础概念，解题时只需回忆平方差公式的文字表述与字母表达式，依次对应空缺位置填写即可。首先明确平方差因式分解的结构：左边是两个数的平方作差（即平方差），右边是两个因式的乘积，分别是这两个数的和、这两个数的差，再对应写出字母形式的等式即可。
【解析】
根据平方差公式分解因式的定义：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，用字母表示为 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，因此对应空缺依次填写即可。
【答案】
平方差；和；差；$(a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是因式分解模块的核心基础内容，熟练掌握该公式的文字表述和字母结构，是后续解决复杂因式分解、整式运算类题目的前提。
【难度系数】
0.9

1. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）

A.$a^2+b^2$
B.$2a-b^2$
C.$a^2-\frac{1}{4}$
D.$-a^2-\frac{1}{4}$

1. C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确平方差公式分解因式的结构特征：平方差公式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，因此能用该公式分解因式的多项式必须同时满足三个条件：①是二项式；②两项都可以表示为某个整式的平方的形式；③两项的符号相反（一正一负）。接下来我们逐一验证每个选项是否符合上述特征，即可选出正确答案。
【解析】
解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：二项式、两项均为平方形式、两项符号一正一负。
选项A：$a^2 + b^2$是二项式，两项都是平方形式，但两项符号均为正，不符合一正一负的要求，不能用平方差公式分解；
选项B：$2a - b^2$是二项式，符号一正一负，但第一项$2a$不是某个整式的平方，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项C：$a^2 - \frac{1}{4}$是二项式，可变形为$a^2 - (\frac{1}{2})^2$，两项均为平方形式，符号一正一负，符合平方差公式的特征，可以分解为$(a + \frac{1}{2})(a - \frac{1}{2})$；
选项D：$-a^2 - \frac{1}{4}$提取负号后为$-(a^2 + \frac{1}{4})$，两项符号均为正，不符合要求，不能用平方差公式分解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 因式分解的公式法
【点评】
本题属于基础题，重点考查对平方差公式分解因式适用条件的理解，只要熟练掌握平方差公式的结构特征，逐一排查选项即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 把多项式$1-4y^2$分解因式，结果正确的是（）

A.$(1-2y)(1+2y)$
B.$(2-y)(2+y)$
C.$(1-2y)(2+y)$
D.$(2-y)(1+2y)$

2. A

【分析】
要解决这道因式分解题，首先观察多项式的结构：多项式共两项，符号相反，且两项都可以写成某个整式的平方形式，完全符合平方差公式的结构特征，因此我们可以用平方差公式来分解因式，再和选项对比选出答案即可。平方差公式分解因式的形式为$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，我们只需先确定公式中$a$、$b$对应的整式，代入公式计算即可。
【解析】
先将多项式$1-4y^2$变形为平方差的形式：
$1-4y^2=1^2-(2y)^2$
其中对应平方差公式里的$a=1$，$b=2y$，代入平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$可得：
$1^2-(2y)^2=(1-2y)(1+2y)$
对比选项，只有A选项符合分解结果。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式“两项、异号、均为平方形式”的结构特征，熟练掌握公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

3. 计算：$75^2 - 25^2 = ( \quad )$

A.50
B.500
C.5 000
D.7 100

C

【分析】首先观察算式特征，是两个数的平方作差，完全符合平方差公式的结构特点，因此可以利用平方差公式进行简便计算，不需要分别计算两个数的平方再相减，能大幅降低计算量、减少出错概率。首先确定公式中a对应75，b对应25，再分别计算a+b和a-b的结果，最后将两个结果相乘即可得到答案。
【解析】根据平方差公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，
令$a=75$，$b=25$，代入公式可得：
$\begin{aligned}75^2 - 25^2 &= (75 + 25)×(75 - 25)\\&=100×50\\&=5000\end{aligned}$
【答案】C
【知识点】平方差公式；因式分解应用
【点评】本题考查平方差公式的灵活运用，将符合公式特征的算式变形后计算，远比直接计算平方再相减更简便，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的核心。
【难度系数】0.8

4. 已知$x+y=4$，$x-y=6$，则$x^2-y^2=$。

4. 24

【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现$x^2-y^2$符合平方差公式的形式，因此可以先利用平方差公式对其进行因式分解，分解后得到$(x+y)(x-y)$，恰好题目中已经给出了$x+y$和$x-y$的取值，直接代入计算即可快速得到结果，无需单独求解$x$、$y$的数值，简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
已知$x+y=4$，$x-y=6$，将其代入上式得：
原式$=4×6=24$
【答案】
24
【知识点】
平方差公式；代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用公式对代数式变形，避免不必要的方程组求解，提升解题效率。
【难度系数】
0.9

5. 把下列各式分解因式：
(1) $9x^2 - 16y^2$；
(2) $100 - (3x + 2y)^2$；
(3) $-1 + 16x^2$。

5. 解：
(1) 原式=(3x+4y)(3x-4y).
(2) 原式=(10+3x+2y)(10-3x-2y).
(3) 原式=(4x+1)(4x-1).

【分析】
这三道题均符合平方差公式的结构特征，可通过平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$完成因式分解，解题思路如下：①先将每个式子变形为两个数（或整式）的平方作差的形式，对应找到公式中的$a$和$b$；②代入平方差公式展开，遇到括号的要按去括号法则调整符号，最终得到最简因式。
【解析】
(1) 先将两项转化为平方形式：$9x^2=(3x)^2$，$16y^2=(4y)^2$，对应公式中$a=3x$，$b=4y$
原式$=(3x)^2-(4y)^2=(3x+4y)(3x-4y)$
(2) $100=10^2$，把$3x+2y$看作整体，对应公式中$a=10$，$b=3x+2y$
原式$=10^2-(3x+2y)^2=[10+(3x+2y)][10-(3x+2y)]=(10+3x+2y)(10-3x-2y)$
(3) 先调整项的顺序转化为平方差形式：$-1+16x^2=16x^2-1$，其中$16x^2=(4x)^2$，$1=1^2$，对应公式中$a=4x$，$b=1$
原式$=(4x)^2-1^2=(4x+1)(4x-1)$
【答案】
(1) $(3x+4y)(3x-4y)$
(2) $(10+3x+2y)(10-3x-2y)$
(3) $(4x+1)(4x-1)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 去括号法则
3. 幂的乘方逆运算
【点评】
本题是平方差公式分解因式的基础应用题型，解题核心是准确识别平方差结构，找准两个平方项对应的代数式，拆分和去括号时注意符号规范即可顺利求解。
【难度系数】
0.85