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【例】因式分解：$(a+2b)^2 -4(a-b)^2$.
【点拨】公式中的“a”“b”既可以是单项式，也可以是多项式，注意本题中需先将$4(a-b)^2$化为$[2(a-b)]^2$，才能利用平方差公式进行因式分解.
【点拨】公式中的“a”“b”既可以是单项式，也可以是多项式，注意本题中需先将$4(a-b)^2$化为$[2(a-b)]^2$，才能利用平方差公式进行因式分解.
答案
【例】解：原式=$(a+2b)^2-[2(a-b)]^2=(a+2b)^2-(2a-2b)^2=(a+2b+2a-2b)(a+2b-2a+2b)=3a(4b-a)$.
解析
【分析】
观察原式的结构，是两个平方项相减的形式，符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$的适用特征。首先将第二项$4(a-b)^2$变形为$[2(a-b)]^2$，把$a+2b$看作公式里的$x$，$2(a-b)$看作公式里的$y$，代入平方差公式展开后，再通过去括号、合并同类项化简，最后检查因式是否还能继续分解即可。
【解析】
解：首先对原式进行变形，将$4(a-b)^2$转化为平方形式：
原式$=(a+2b)^2 - [2(a-b)]^2$
化简中括号内的项得：
$=(a+2b)^2 - (2a-2b)^2$
套用平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，可得：
$=(a+2b + 2a - 2b)(a+2b - (2a - 2b))$
分别对两个括号内的项去括号、合并同类项：
第一个括号：$a+2a+2b-2b=3a$
第二个括号：$a+2b-2a+2b=-a+4b=4b-a$
因此原式最终分解结果为：
$=3a(4b-a)$
【答案】
$3a(4b-a)$
【知识点】
平方差公式因式分解；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，需要明确公式中的字母既可以表示单项式，也可以表示多项式，解题时要先准确识别式子的结构特征，变形、去括号过程中要格外注意符号问题，最后要确保分解结果中的每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
观察原式的结构，是两个平方项相减的形式，符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$的适用特征。首先将第二项$4(a-b)^2$变形为$[2(a-b)]^2$，把$a+2b$看作公式里的$x$，$2(a-b)$看作公式里的$y$，代入平方差公式展开后，再通过去括号、合并同类项化简，最后检查因式是否还能继续分解即可。
【解析】
解：首先对原式进行变形，将$4(a-b)^2$转化为平方形式：
原式$=(a+2b)^2 - [2(a-b)]^2$
化简中括号内的项得：
$=(a+2b)^2 - (2a-2b)^2$
套用平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，可得：
$=(a+2b + 2a - 2b)(a+2b - (2a - 2b))$
分别对两个括号内的项去括号、合并同类项：
第一个括号：$a+2a+2b-2b=3a$
第二个括号：$a+2b-2a+2b=-a+4b=4b-a$
因此原式最终分解结果为：
$=3a(4b-a)$
【答案】
$3a(4b-a)$
【知识点】
平方差公式因式分解；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，需要明确公式中的字母既可以表示单项式，也可以表示多项式，解题时要先准确识别式子的结构特征，变形、去括号过程中要格外注意符号问题，最后要确保分解结果中的每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
1. 下列代数式中能用平方差公式分解因式的是（
A.$a^2 + b^2$
B.$-a^2 - b^2$
C.$a^2 - c^2 - 2ac$
D.$-4a^2 + b^2$
D
）A.$a^2 + b^2$
B.$-a^2 - b^2$
C.$a^2 - c^2 - 2ac$
D.$-4a^2 + b^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个代数式能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：①代数式为两项式；②两项都可以写成某个整式的平方的形式；③两项的符号相反（一正一负）。我们只需按照这三个条件逐一排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，我们据此逐个分析选项：
A选项：$a^2 + b^2$的两项符号均为正，不满足“异号”的要求，不能用平方差公式分解；
B选项：$-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$，变形后两项仍为同号，不符合适用条件，不能用平方差公式分解；
C选项：$a^2 - c^2 - 2ac$是三项式，不满足“两项式”的要求，不能用平方差公式分解；
D选项：$-4a^2 + b^2 = b^2 - (2a)^2$，是两项式，两项都可写成整式的平方、且符号一正一负，符合平方差公式的特征，可分解为$(b+2a)(b-2a)$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题主要考查平方差公式分解因式的适用条件，牢记公式对应的代数式特征是解题的核心，这类题属于基础题型，掌握规则后可以快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断哪个代数式能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：①代数式为两项式；②两项都可以写成某个整式的平方的形式；③两项的符号相反（一正一负）。我们只需按照这三个条件逐一排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，我们据此逐个分析选项：
A选项：$a^2 + b^2$的两项符号均为正，不满足“异号”的要求，不能用平方差公式分解；
B选项：$-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$，变形后两项仍为同号，不符合适用条件，不能用平方差公式分解；
C选项：$a^2 - c^2 - 2ac$是三项式，不满足“两项式”的要求，不能用平方差公式分解；
D选项：$-4a^2 + b^2 = b^2 - (2a)^2$，是两项式，两项都可写成整式的平方、且符号一正一负，符合平方差公式的特征，可分解为$(b+2a)(b-2a)$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题主要考查平方差公式分解因式的适用条件，牢记公式对应的代数式特征是解题的核心，这类题属于基础题型，掌握规则后可以快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 对于任何整数$m$，多项式$(4m+5)^2 -9$都能（$\quad\quad$）
A.被8整除
B.被$m$整除
C.被$(m-1)$整除
D.被$(2m-1)$整除
A.被8整除
B.被$m$整除
C.被$(m-1)$整除
D.被$(2m-1)$整除
答案
A
解析
【分析】
要判断多项式能被哪个选项整除，核心思路是先对多项式因式分解，将其转化为多个整式乘积的形式，再分析乘积中的因子特征。观察原式结构，是“平方减平方”的形式，完全符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此优先用平方差公式分解，再结合整除的性质判断，也可以通过代入特殊整数$m$快速排除错误选项。
【解析】
解：对多项式利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}(4m+5)^2 - 9&=(4m+5)^2 - 3^2\\&=(4m+5-3)(4m+5+3)\\&=(4m+2)(4m+8)\\&=2(2m+1)·4(m+2)\\&=8(2m+1)(m+2)\end{aligned}$
因为$m$是整数，所以$(2m+1)$和$(m+2)$均为整数，因此原式是8的整数倍，即能被8整除。
也可用特殊值法排除错误选项：
当$m=0$时，原式$=5^2-9=16$，16不能被0整除，排除B；
当$m=2$时，原式$=13^2-9=160$，160不能被$2m-1=3$整除，排除D；
当$m=6$时，原式$=29^2-9=832$，832不能被$m-1=5$整除，排除C。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解，整除判定
【点评】
本题重点考查因式分解的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特点，正确对多项式分解为乘积形式，结合整除性质即可快速判断，代入特殊值排除错误选项也是这类题常用的高效解题技巧。
【难度系数】
0.7
要判断多项式能被哪个选项整除，核心思路是先对多项式因式分解，将其转化为多个整式乘积的形式，再分析乘积中的因子特征。观察原式结构，是“平方减平方”的形式，完全符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此优先用平方差公式分解，再结合整除的性质判断，也可以通过代入特殊整数$m$快速排除错误选项。
【解析】
解：对多项式利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}(4m+5)^2 - 9&=(4m+5)^2 - 3^2\\&=(4m+5-3)(4m+5+3)\\&=(4m+2)(4m+8)\\&=2(2m+1)·4(m+2)\\&=8(2m+1)(m+2)\end{aligned}$
因为$m$是整数，所以$(2m+1)$和$(m+2)$均为整数，因此原式是8的整数倍，即能被8整除。
也可用特殊值法排除错误选项：
当$m=0$时，原式$=5^2-9=16$，16不能被0整除，排除B；
当$m=2$时，原式$=13^2-9=160$，160不能被$2m-1=3$整除，排除D；
当$m=6$时，原式$=29^2-9=832$，832不能被$m-1=5$整除，排除C。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解，整除判定
【点评】
本题重点考查因式分解的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特点，正确对多项式分解为乘积形式，结合整除性质即可快速判断，代入特殊值排除错误选项也是这类题常用的高效解题技巧。
【难度系数】
0.7
3. 一个长方形的面积是$(x^2-9)\ \mathrm{m}^2$，其长为$(x+3)\ \mathrm{m}$，用含有$x$的整式表示它的宽为
(x-3)
$\mathrm{m}.$答案
3. (x-3)
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的面积公式，由“面积=长×宽”可推导出宽=面积÷长，据此列出宽的表达式为$(x^2-9)÷(x+3)$。观察分子$x^2-9$，符合平方差公式“$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$”的结构特征，因此先对分子因式分解，再约去分子分母的公因式即可得到宽的整式表达式，注意长方形的长$x+3$一定大于0，可直接约分。
【解析】
解：根据长方形面积公式可得：
$\mathrm{宽} = \mathrm{面积} ÷ \mathrm{长} = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$
利用平方差公式分解分子：
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$
代入原式得：
$\mathrm{宽} = \frac{(x + 3)(x - 3)}{x + 3}$
∵ 长$x+3 ＞ 0$，约去公因式$x+3$，得$\mathrm{宽}=x-3$
【答案】
$(x-3)$
【知识点】
平方差公式、长方形面积公式、整式除法
【点评】
本题属于基础应用题，将因式分解和几何面积计算结合，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特点，正确对多项式进行因式分解后约分即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆长方形的面积公式，由“面积=长×宽”可推导出宽=面积÷长，据此列出宽的表达式为$(x^2-9)÷(x+3)$。观察分子$x^2-9$，符合平方差公式“$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$”的结构特征，因此先对分子因式分解，再约去分子分母的公因式即可得到宽的整式表达式，注意长方形的长$x+3$一定大于0，可直接约分。
【解析】
解：根据长方形面积公式可得：
$\mathrm{宽} = \mathrm{面积} ÷ \mathrm{长} = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$
利用平方差公式分解分子：
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$
代入原式得：
$\mathrm{宽} = \frac{(x + 3)(x - 3)}{x + 3}$
∵ 长$x+3 ＞ 0$，约去公因式$x+3$，得$\mathrm{宽}=x-3$
【答案】
$(x-3)$
【知识点】
平方差公式、长方形面积公式、整式除法
【点评】
本题属于基础应用题，将因式分解和几何面积计算结合，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特点，正确对多项式进行因式分解后约分即可。
【难度系数】
0.8
4. 把下列各式分解因式：
(1) $a^2 - 4b^2$；
(2) $-1 + 0.09x^2$；
(3) $a^2x^2 - b^2y^2$。
(1) $a^2 - 4b^2$；
(2) $-1 + 0.09x^2$；
(3) $a^2x^2 - b^2y^2$。
答案
4. (1) $(a+2b)(a-2b)$
(2) $(0.3x+1)(0.3x-1)$
(3) $(ax+by)(ax-by)$
(2) $(0.3x+1)(0.3x-1)$
(3) $(ax+by)(ax-by)$
解析
【分析】
这三道因式分解题均符合平方差公式的结构特征：式子为两项，两项符号相反，且每一项都可以表示为某个整式的平方。解题时先将每道题变形为“² - ○²”的形式，准确找到公式中对应的两个整式，再套用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$完成分解即可。
【解析】
(1) 先将第二项改写为平方形式：
$a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2$
套用平方差公式可得：
$=(a+2b)(a-2b)$
(2) 先调整两项顺序，再改写为平方差形式：
$-1 + 0.09x^2 = 0.09x^2 - 1 = (0.3x)^2 - 1^2$
套用平方差公式可得：
$=(0.3x+1)(0.3x-1)$
(3) 将两项分别改写为乘积的平方形式：
$a^2x^2 - b^2y^2 = (ax)^2 - (by)^2$
套用平方差公式可得：
$=(ax+by)(ax-by)$
【答案】
(1) $(a+2b)(a-2b)$
(2) $(0.3x+1)(0.3x-1)$
(3) $(ax+by)(ax-by)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，幂的运算
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考查对平方差公式结构的识别能力，解题时需注意先将原式整理为平方差的标准形式，准确对应公式中的两个平方项，避免因找错对应项出现计算错误。
【难度系数】
0.85
这三道因式分解题均符合平方差公式的结构特征：式子为两项，两项符号相反，且每一项都可以表示为某个整式的平方。解题时先将每道题变形为“² - ○²”的形式，准确找到公式中对应的两个整式，再套用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$完成分解即可。
【解析】
(1) 先将第二项改写为平方形式：
$a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2$
套用平方差公式可得：
$=(a+2b)(a-2b)$
(2) 先调整两项顺序，再改写为平方差形式：
$-1 + 0.09x^2 = 0.09x^2 - 1 = (0.3x)^2 - 1^2$
套用平方差公式可得：
$=(0.3x+1)(0.3x-1)$
(3) 将两项分别改写为乘积的平方形式：
$a^2x^2 - b^2y^2 = (ax)^2 - (by)^2$
套用平方差公式可得：
$=(ax+by)(ax-by)$
【答案】
(1) $(a+2b)(a-2b)$
(2) $(0.3x+1)(0.3x-1)$
(3) $(ax+by)(ax-by)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，幂的运算
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考查对平方差公式结构的识别能力，解题时需注意先将原式整理为平方差的标准形式，准确对应公式中的两个平方项，避免因找错对应项出现计算错误。
【难度系数】
0.85
5. 用简便方法计算：$101^2 - 99^2$
答案
5. 400
解析
【分析】
观察算式为两个数的平方作差的形式，正好符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征，因此可优先考虑套用平方差公式进行简便计算，无需分别计算两个大数的平方再相减。首先确定公式中对应$a=101$，$b=99$，代入公式后先计算两个括号内的加减运算，再计算乘积即可快速得到结果。
【解析】
利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$计算：
$\begin{aligned}101^2 - 99^2&=(101-99)×(101+99)\\&=2×200\\&=400\end{aligned}$
【答案】
400
【知识点】
平方差公式、因式分解应用、简便运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键，运用公式进行转化可避免大数运算，有效减少计算失误，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
观察算式为两个数的平方作差的形式，正好符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构特征，因此可优先考虑套用平方差公式进行简便计算，无需分别计算两个大数的平方再相减。首先确定公式中对应$a=101$，$b=99$，代入公式后先计算两个括号内的加减运算，再计算乘积即可快速得到结果。
【解析】
利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$计算：
$\begin{aligned}101^2 - 99^2&=(101-99)×(101+99)\\&=2×200\\&=400\end{aligned}$
【答案】
400
【知识点】
平方差公式、因式分解应用、简便运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键，运用公式进行转化可避免大数运算，有效减少计算失误，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
