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5. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等都是我国古代数学的重要文献。
（1）小明准备从这4部数学名著中随机选择2部，请用适当的方法列举出所有可能的结果。
（2）求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率。
（1）小明准备从这4部数学名著中随机选择2部，请用适当的方法列举出所有可能的结果。
（2）求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率。
答案
5. (1) 列表略。分别记四部数学名著为A,B,C,D，则有AB,AC,AD,BC,BD,CD 6种可能。
(2) $\frac{1}{6}$
(2) $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
第（1）问属于从4个不同元素中选2个的组合问题，为了避免列举时出现重复或遗漏，可先对4部名著用不同字母进行标记，再按固定顺序两两组合，就能完整罗列出所有等可能的结果。第（2）问属于等可能事件的概率计算，只需要先找到“恰好选中《九章算术》和《孙子算经》”的结果数，再除以所有等可能的总结果数，即可求出对应概率。
【解析】
（1）记《周髀算经》为A，《九章算术》为B，《海岛算经》为C，《孙子算经》为D，从4部名著中随机选择2部，不考虑选择顺序，所有等可能的结果如下：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
（2）在上述6种等可能结果中，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的结果只有BD这1种，根据概率公式：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 分别记四部数学名著为A,B,C,D，则所有可能结果为AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种。
(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 列举法求事件结果
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景考查概率基础计算，解题的关键是列举所有等可能结果时做到不重复、不遗漏，属于基础题型，同时能够引导学生了解我国传统数学成就。
【难度系数】
0.8
第（1）问属于从4个不同元素中选2个的组合问题，为了避免列举时出现重复或遗漏，可先对4部名著用不同字母进行标记，再按固定顺序两两组合，就能完整罗列出所有等可能的结果。第（2）问属于等可能事件的概率计算，只需要先找到“恰好选中《九章算术》和《孙子算经》”的结果数，再除以所有等可能的总结果数，即可求出对应概率。
【解析】
（1）记《周髀算经》为A，《九章算术》为B，《海岛算经》为C，《孙子算经》为D，从4部名著中随机选择2部，不考虑选择顺序，所有等可能的结果如下：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
（2）在上述6种等可能结果中，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的结果只有BD这1种，根据概率公式：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 分别记四部数学名著为A,B,C,D，则所有可能结果为AB,AC,AD,BC,BD,CD，共6种。
(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 列举法求事件结果
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景考查概率基础计算，解题的关键是列举所有等可能结果时做到不重复、不遗漏，属于基础题型，同时能够引导学生了解我国传统数学成就。
【难度系数】
0.8
6. 一个袋子中装有5个白球和若干个红球，每个球除颜色外其余都相同。某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组用模拟机进行摸球试验。每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6 000次。
（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率。
（2）估计袋子中红球的个数。
（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率。
（2）估计袋子中红球的个数。
答案
6. (1) $\frac{3}{4}$ (2) 15个
解析
【分析】
（1）要估计摸出红球的概率，依据用频率估计概率的原理：当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近。首先计算所有组的总试验次数，再用摸到红球的总次数除以总试验次数得到摸到红球的频率，即可作为摸出红球概率的估计值。
（2）已知摸出红球的概率估计值，设红球个数为未知数，根据概率公式“随机事件的概率=事件对应结果数÷所有可能的结果总数”，即红球个数除以球的总个数（红球个数+白球个数）等于摸出红球的概率，列方程求解即可得到红球的估计数量。
【解析】
（1）先计算总试验次数：$20 × 400 = 8000$（次）
摸到红球的频率为：$\frac{6000}{8000} = \frac{3}{4}$
由于试验次数足够多，频率可近似看作概率，因此估计从袋中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{3}{4}$。
（2）设袋子中红球有$x$个，根据概率公式可得：
$\frac{x}{x+5} = \frac{3}{4}$
交叉相乘得：$4x = 3(x+5)$
展开计算：$4x = 3x + 15$
解得：$x = 15$
经检验，$x=15$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$；(2) 15个
【知识点】
用频率估计概率、概率公式、分式方程应用
【点评】
本题结合摸球试验场景，考查统计与概率的综合应用，解题核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，再结合概率公式列方程求解，解题时注意分式方程的结果需要验证是否符合实际。
【难度系数】
0.8
（1）要估计摸出红球的概率，依据用频率估计概率的原理：当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在对应概率附近。首先计算所有组的总试验次数，再用摸到红球的总次数除以总试验次数得到摸到红球的频率，即可作为摸出红球概率的估计值。
（2）已知摸出红球的概率估计值，设红球个数为未知数，根据概率公式“随机事件的概率=事件对应结果数÷所有可能的结果总数”，即红球个数除以球的总个数（红球个数+白球个数）等于摸出红球的概率，列方程求解即可得到红球的估计数量。
【解析】
（1）先计算总试验次数：$20 × 400 = 8000$（次）
摸到红球的频率为：$\frac{6000}{8000} = \frac{3}{4}$
由于试验次数足够多，频率可近似看作概率，因此估计从袋中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{3}{4}$。
（2）设袋子中红球有$x$个，根据概率公式可得：
$\frac{x}{x+5} = \frac{3}{4}$
交叉相乘得：$4x = 3(x+5)$
展开计算：$4x = 3x + 15$
解得：$x = 15$
经检验，$x=15$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$；(2) 15个
【知识点】
用频率估计概率、概率公式、分式方程应用
【点评】
本题结合摸球试验场景，考查统计与概率的综合应用，解题核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，再结合概率公式列方程求解，解题时注意分式方程的结果需要验证是否符合实际。
【难度系数】
0.8
7. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共 40 个,球除颜色外均相同。小颖做摸球试验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球,记下颜色,然后把它放回盒子中。不断重复上述过程。如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图。
（1）请估计:当 n 足够大时,摸到白球的频率将会接近
（2）试估算盒子里白球、黑球的个数。
（3）在（2）的条件下,如果要使摸到白球的频率稳定在$\frac{3}{5}$,需要往盒子里再放入多少个白球？
（1）请估计:当 n 足够大时,摸到白球的频率将会接近
0.5
（结果精确到0.1）。假如摸一次,摸到白球的概率为0.5
。（2）试估算盒子里白球、黑球的个数。
（3）在（2）的条件下,如果要使摸到白球的频率稳定在$\frac{3}{5}$,需要往盒子里再放入多少个白球？
答案
7. (1) 0.5;0.5 (2) 黑球、白球各20个 (3) 10个
解析
【分析】
本题围绕用频率估计概率的知识点展开，解题思路清晰：1. 第一问观察频率折线图的波动规律，当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为对应的概率，由此可得到摸到白球的频率和概率估计值；2. 第二问利用“概率=所求对象数量÷总数量”的公式，结合总球数可分别计算白球、黑球的数量；3. 第三问设加入白球的个数为未知数，根据新的概率要求列方程求解即可，注意求解后要检验结果是否符合实际意义。
【解析】
（1）观察折线统计图可知，当摸球次数$n$足够大时，摸到白球的频率在0.5附近波动，因此摸到白球的频率将会接近0.5；根据大量重复试验下频率的稳定值等于概率的规律，可得摸一次摸到白球的概率为0.5。
（2）已知盒子中球的总个数为40，摸到白球的概率为0.5，因此白球个数为：$40×0.5=20$（个），黑球个数为：$40-20=20$（个），即盒子里白球、黑球各20个。
（3）设需要往盒子里再放入$x$个白球。此时盒子中白球总个数为$(20+x)$个，球的总个数为$(40+x)$个，根据摸到白球的频率稳定在$\frac{3}{5}$，列方程：
$\frac{20+x}{40+x}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$5(20+x)=3(40+x)$
展开计算：$100+5x=120+3x$
移项得：$2x=20$，解得$x=10$。
检验：当$x=10$时，$40+x=50≠0$，因此$x=10$是原方程的解，且符合实际需求。
【答案】
(1) 0.5；0.5
(2) 白球20个，黑球20个
(3) 10个
【知识点】
用频率估计概率，概率计算，分式方程应用
【点评】
本题结合折线统计图考查概率的相关应用，将统计知识和方程计算结合，场景贴近实际操作，解题的核心是理解频率和概率的关系，第三问求解后注意检验结果的合理性即可。
【难度系数】
0.7
本题围绕用频率估计概率的知识点展开，解题思路清晰：1. 第一问观察频率折线图的波动规律，当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为对应的概率，由此可得到摸到白球的频率和概率估计值；2. 第二问利用“概率=所求对象数量÷总数量”的公式，结合总球数可分别计算白球、黑球的数量；3. 第三问设加入白球的个数为未知数，根据新的概率要求列方程求解即可，注意求解后要检验结果是否符合实际意义。
【解析】
（1）观察折线统计图可知，当摸球次数$n$足够大时，摸到白球的频率在0.5附近波动，因此摸到白球的频率将会接近0.5；根据大量重复试验下频率的稳定值等于概率的规律，可得摸一次摸到白球的概率为0.5。
（2）已知盒子中球的总个数为40，摸到白球的概率为0.5，因此白球个数为：$40×0.5=20$（个），黑球个数为：$40-20=20$（个），即盒子里白球、黑球各20个。
（3）设需要往盒子里再放入$x$个白球。此时盒子中白球总个数为$(20+x)$个，球的总个数为$(40+x)$个，根据摸到白球的频率稳定在$\frac{3}{5}$，列方程：
$\frac{20+x}{40+x}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$5(20+x)=3(40+x)$
展开计算：$100+5x=120+3x$
移项得：$2x=20$，解得$x=10$。
检验：当$x=10$时，$40+x=50≠0$，因此$x=10$是原方程的解，且符合实际需求。
【答案】
(1) 0.5；0.5
(2) 白球20个，黑球20个
(3) 10个
【知识点】
用频率估计概率，概率计算，分式方程应用
【点评】
本题结合折线统计图考查概率的相关应用，将统计知识和方程计算结合，场景贴近实际操作，解题的核心是理解频率和概率的关系，第三问求解后注意检验结果的合理性即可。
【难度系数】
0.7
