登录
8. 一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不同的红球与白球。
（1）若盒中有2个红球和2个白球，从中任意摸出两个球，恰好是一红一白的概率是多少？请用画树状图或列表的方式说明。
（2）若先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验。摸球试验的要求：每次摸球前先搅拌均匀，摸出一个球，记录颜色后放回盒中，再继续，一共做了50次。统计结果如下表：
由上述摸球试验的结果，估算盒中红球、白球各占总球数的百分之几。
（3）在（2）的条件下，估算盒中红球的个数。
（1）若盒中有2个红球和2个白球，从中任意摸出两个球，恰好是一红一白的概率是多少？请用画树状图或列表的方式说明。
（2）若先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验。摸球试验的要求：每次摸球前先搅拌均匀，摸出一个球，记录颜色后放回盒中，再继续，一共做了50次。统计结果如下表：
由上述摸球试验的结果，估算盒中红球、白球各占总球数的百分之几。
（3）在（2）的条件下，估算盒中红球的个数。
答案
8. (1) 画树状图如图
。因为共有12种等可能的结果,从中任意摸出两个球,恰好是一红一白的有8种情况,所以 P(恰好是一红一白)=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$。
(2) 由题意可知,50次摸球试验活动中,出现红球20次,白球30次,所以红球所占百分比为20÷50=40%,白球所占百分比为30÷50=60%。
(3) 由题意可知,50次摸球试验活动中,出现有记号的球4次,所以总球数为8÷$\frac{4}{50}$=100,红球数为100×40%=40,即盒中红球有40个。
解析
【分析】
（1）第一问是古典概型求概率问题，盒中共有2红2白共4个球，摸两个球时，我们可以通过画树状图枚举所有等可能的结果，再统计恰好一红一白的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
（2）第二问考查用频率估计概率的知识点，大量重复试验下事件发生的频率近似等于其概率，我们先统计50次试验中摸到红球、白球的总次数，分别除以总试验次数50，得到的频率即可估算两种颜色球占总球数的百分比。
（3）第三问先通过有记号球的出现频率估算总球数：8个做了记号的球放回盒中后，50次试验里共摸到4次有记号的球，用有记号球的总数除以摸到有记号球的频率得到总球数，再乘第二问得到的红球占比，就能估算出红球的总个数。
【解析】
（1）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中任意摸出两个球恰好是一红一白的情况有8种，
因此$P(恰好是一红一白)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
（2）50次摸球试验中，摸到红球的总次数为$18+2=20$次，摸到白球的总次数为$28+2=30$次，
因此红球占总球数的百分比约为$20÷50×100\%=40\%$，
白球占总球数的百分比约为$30÷50×100\%=60\%$。
（3）50次摸球试验中，摸到有记号的球的总次数为$2+2=4$次，因此摸到有记号球的频率为$\frac{4}{50}$，
盒中总球数约为$8÷\frac{4}{50}=100$个，
则红球的个数约为$100×40\%=40$个。
【答案】
(1) 画树状图如图。
因为共有12种等可能的结果,从中任意摸出两个球,恰好是一红一白的有8种情况,所以 P(恰好是一红一白)=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$。
(2) 由题意可知,50次摸球试验活动中,出现红球20次,白球30次,所以红球所占百分比为20÷50=40%,白球所占百分比为30÷50=60%。
(3) 由题意可知,50次摸球试验活动中,出现有记号的球4次,所以总球数为8÷$\frac{4}{50}$=100,红球数为100×40%=40,即盒中红球有40个。
【知识点】
树状图法求概率，用频率估计概率，概率实际应用
【点评】
本题将概率基础计算和实际应用结合，既考查了枚举法求概率的基本方法，也考查了利用频率估算总体的统计思想，题目设置贴近生活场景，能较好地考查学生对概率相关知识的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是古典概型求概率问题，盒中共有2红2白共4个球，摸两个球时，我们可以通过画树状图枚举所有等可能的结果，再统计恰好一红一白的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
（2）第二问考查用频率估计概率的知识点，大量重复试验下事件发生的频率近似等于其概率，我们先统计50次试验中摸到红球、白球的总次数，分别除以总试验次数50，得到的频率即可估算两种颜色球占总球数的百分比。
（3）第三问先通过有记号球的出现频率估算总球数：8个做了记号的球放回盒中后，50次试验里共摸到4次有记号的球，用有记号球的总数除以摸到有记号球的频率得到总球数，再乘第二问得到的红球占比，就能估算出红球的总个数。
【解析】
（1）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中任意摸出两个球恰好是一红一白的情况有8种，
因此$P(恰好是一红一白)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
（2）50次摸球试验中，摸到红球的总次数为$18+2=20$次，摸到白球的总次数为$28+2=30$次，
因此红球占总球数的百分比约为$20÷50×100\%=40\%$，
白球占总球数的百分比约为$30÷50×100\%=60\%$。
（3）50次摸球试验中，摸到有记号的球的总次数为$2+2=4$次，因此摸到有记号球的频率为$\frac{4}{50}$，
盒中总球数约为$8÷\frac{4}{50}=100$个，
则红球的个数约为$100×40\%=40$个。
【答案】
(1) 画树状图如图
。因为共有12种等可能的结果,从中任意摸出两个球,恰好是一红一白的有8种情况,所以 P(恰好是一红一白)=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$。
(2) 由题意可知,50次摸球试验活动中,出现红球20次,白球30次,所以红球所占百分比为20÷50=40%,白球所占百分比为30÷50=60%。
(3) 由题意可知,50次摸球试验活动中,出现有记号的球4次,所以总球数为8÷$\frac{4}{50}$=100,红球数为100×40%=40,即盒中红球有40个。
【知识点】
树状图法求概率，用频率估计概率，概率实际应用
【点评】
本题将概率基础计算和实际应用结合，既考查了枚举法求概率的基本方法，也考查了利用频率估算总体的统计思想，题目设置贴近生活场景，能较好地考查学生对概率相关知识的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 据天气预报，某天A地的降雨概率为20%，B地的降雨概率为50%，这天两地都下雨的概率是多少？请设计一个模拟试验来解决这个问题，说明模拟试验的方法、过程，完成试验并列出频数表，算出相应频率及所求概率。
答案
9. 解法不唯一。例如,设计两个双色转盘来表示A地,B地下雨、不下雨事件(如图
),自由转动两个转盘,记下指针两次都落在阴影区域的次数,列频数表,算出相应频率。当试验次数增加,频率逐渐稳定在概率附近。A,B两地都下雨的概率是0.1。解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步是理论计算，首先明确A、B两地是否下雨属于相互独立事件，即一个地方是否下雨不会影响另一个地方下雨的概率，相互独立事件同时发生的概率等于两个事件各自发生概率的乘积，代入数值即可算出理论概率。第二步是模拟试验设计，我们需要设计两个随机试验，分别对应A地20%的降雨概率、B地50%的降雨概率，重复多次同时进行两个试验的操作，统计两个试验结果都代表“下雨”的频数，计算对应频率，当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，即可得到所求概率，可选用题目给出的双色转盘作为模拟工具，操作简单直观。
【解析】
1. 理论计算：
因为A、B两地降雨为相互独立事件，因此两地都下雨的概率为两地降雨概率的乘积：
$P(\mathrm{两地都下雨}) = P(\mathrm{A地下雨}) × P(\mathrm{B地下雨}) = 20\% × 50\% = 0.1$
2. 模拟试验设计（以转盘为例）：
(1) 制作试验工具：按照题图制作两个转盘，A地转盘阴影（代表下雨）占总面积的20%，空白（代表不下雨）占80%；B地转盘阴影占总面积的50%，空白占50%。
(2) 试验过程：同时转动两个转盘，待转盘停止后，记录两个指针的指向结果，若均指向阴影区域则记为“成功”，否则记为“失败”，重复该操作n次（n建议不低于100次，次数越多结果越准确）。
(3) 数据统计：统计n次试验中“成功”的频数m，计算频率$\frac{m}{n}$，随着试验次数n不断增大，该频率会逐渐稳定在0.1附近，这个稳定值就是两地都下雨的概率。
参考频数表：
| 试验次数 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| -------- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 成功频数 | 12 | 19 | 31 | 38 | 51 |
| 成功频率 | 0.12 | 0.095 | 0.103 | 0.095 | 0.102 |
可看到频率逐渐接近0.1。
【答案】
解法不唯一。例如,设计两个双色转盘来表示A地,B地下雨、不下雨事件(如图),自由转动两个转盘,记下指针两次都落在阴影区域的次数,列频数表,算出相应频率。当试验次数增加,频率逐渐稳定在概率附近。A,B两地都下雨的概率是0.1。
【知识点】
独立事件概率计算，用频率估计概率，模拟试验设计
【点评】
本题结合生活中的天气预报场景，既考查了独立事件概率的计算方法，又考查了模拟试验的设计思路以及频率与概率的关系，需要大家理解概率的实际意义，能够结合需求设计合理的模拟试验解决问题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步是理论计算，首先明确A、B两地是否下雨属于相互独立事件，即一个地方是否下雨不会影响另一个地方下雨的概率，相互独立事件同时发生的概率等于两个事件各自发生概率的乘积，代入数值即可算出理论概率。第二步是模拟试验设计，我们需要设计两个随机试验，分别对应A地20%的降雨概率、B地50%的降雨概率，重复多次同时进行两个试验的操作，统计两个试验结果都代表“下雨”的频数，计算对应频率，当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，即可得到所求概率，可选用题目给出的双色转盘作为模拟工具，操作简单直观。
【解析】
1. 理论计算：
因为A、B两地降雨为相互独立事件，因此两地都下雨的概率为两地降雨概率的乘积：
$P(\mathrm{两地都下雨}) = P(\mathrm{A地下雨}) × P(\mathrm{B地下雨}) = 20\% × 50\% = 0.1$
2. 模拟试验设计（以转盘为例）：
(1) 制作试验工具：按照题图制作两个转盘，A地转盘阴影（代表下雨）占总面积的20%，空白（代表不下雨）占80%；B地转盘阴影占总面积的50%，空白占50%。
(2) 试验过程：同时转动两个转盘，待转盘停止后，记录两个指针的指向结果，若均指向阴影区域则记为“成功”，否则记为“失败”，重复该操作n次（n建议不低于100次，次数越多结果越准确）。
(3) 数据统计：统计n次试验中“成功”的频数m，计算频率$\frac{m}{n}$，随着试验次数n不断增大，该频率会逐渐稳定在0.1附近，这个稳定值就是两地都下雨的概率。
参考频数表：
| 试验次数 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| -------- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 成功频数 | 12 | 19 | 31 | 38 | 51 |
| 成功频率 | 0.12 | 0.095 | 0.103 | 0.095 | 0.102 |
可看到频率逐渐接近0.1。
【答案】
解法不唯一。例如,设计两个双色转盘来表示A地,B地下雨、不下雨事件(如图
),自由转动两个转盘,记下指针两次都落在阴影区域的次数,列频数表,算出相应频率。当试验次数增加,频率逐渐稳定在概率附近。A,B两地都下雨的概率是0.1。【知识点】
独立事件概率计算，用频率估计概率，模拟试验设计
【点评】
本题结合生活中的天气预报场景，既考查了独立事件概率的计算方法，又考查了模拟试验的设计思路以及频率与概率的关系，需要大家理解概率的实际意义，能够结合需求设计合理的模拟试验解决问题。
【难度系数】
0.7
