3.若正三角形的边长为$a$，则它的外接圆的半径为()。

A.$\sqrt{3}a$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}a$
C.$2a$
D.$\frac{1}{2}a$

3.B

【分析】
要计算正三角形的外接圆半径，首先明确正三角形的外接圆圆心（外心）与它的内心、重心重合，位于正三角形的高上。我们可以通过垂径定理构造含特殊角的直角三角形，结合特殊角的三角函数值求解外接圆半径。具体思路为：先求正三角形的中心角，再过圆心作边长的垂线得到直角三角形，最后利用三角函数列等式计算即可。
【解析】
设正三角形的边长为$a$，外接圆半径为$R$。
正三角形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{3}=120°$，
过外接圆圆心$O$作$OD⊥ AB$于点$D$，由垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$，且$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}$，
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$AD=\frac{a}{2}$、$OA=R$得：$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{a}{2}}{R}$，
整理计算得：$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；垂径定理；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查正三角形外接圆半径的计算，解题核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合正三角形的性质和特殊角的三角函数值求解，熟练掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8

4.已知圆的半径为6,则它的内接正方形的边长为。

4.$6\sqrt{2}$

【分析】
解决本题的思路如下：第一步，明确圆内接正方形的性质：正方形的四个顶点都在圆上，因此正方形的对角线恰好是圆的直径；第二步，根据已知的圆半径算出直径长度；第三步，利用正方形中边长与对角线的关系（或勾股定理），即可求出正方形的边长。
【解析】
已知圆的半径为6，因此圆的直径为 $2×6=12$。
因为正方形是圆的内接正方形，所以正方形的对角线长度等于圆的直径，即正方形对角线长为12。
设正方形的边长为 $a$，根据勾股定理，正方形两条邻边与对角线构成直角三角形，因此有：
$a^2 + a^2 = 12^2$
整理得 $2a^2 = 144$，即 $a^2=72$。
因为边长为正数，所以 $a=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆的关系；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是基础题，解题的核心是理解圆内接正方形的对角线与圆直径相等的性质，结合勾股定理即可快速求解，是正多边形与圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8

1.如图,正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$,若$\odot O$的边心距$d=\sqrt{6}$,则正六边形的边长是()。


A.$2\sqrt{2}$
B.$3$
C.$6$
D.$2\sqrt{3}$

1.A

【分析】
解题时先回忆正六边形内接于圆的性质：正六边形的中心角为60°，其外接圆半径等于正六边形的边长。我们可以连接圆心与相邻两个顶点得到等边三角形，再结合边心距是等边三角形的高，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出边长。
【解析】
连接OC、OD，过点O作OM⊥CD于点M，则OM即为边心距$d=\sqrt{6}$。
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴中心角$∠ COD=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵OC=OD（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OCD$是等边三角形，即OC=CD，设正六边形边长为$x$，则OC=CD=x，$CM=\frac{1}{2}CD=\frac{x}{2}$。
在$Rt△ OMC$中，由勾股定理得：$OM^2 + CM^2 = OC^2$，
代入数值：$(\sqrt{6})^2 + (\frac{x}{2})^2 = x^2$，
计算得：$6 + \frac{x^2}{4} = x^2$，
移项化简：$\frac{3x^2}{4}=6$，$x^2=8$，解得$x=2\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
因此正六边形的边长为$2\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆的性质，等边三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是正多边形和圆相关的基础计算题，核心是利用正六边形边长等于其外接圆半径的特点，结合边心距构造直角三角形求解，熟练掌握正多边形的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

2.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大，也最为坚固。如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形ABC-DEF，若$\odot O$的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（）。


A.12
B.$8\sqrt{2}$
C.$8\sqrt{3}$
D.$16\sqrt{3}$

2.C

【分析】
解题时先回忆正六边形的性质：正六边形的边长与外接圆半径相等，每个内角为120°。观察所求线段BF，它是△ABF的底边，△ABF中AB、AF均为正六边形的边长，长度为8，且顶角∠BAF为正六边形的内角120°，可通过作高将等腰△ABF转化为直角三角形，结合等腰三角形三线合一和勾股定理求解BF的长度。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，边长为8
∴$AB=AF=8$，正六边形的内角$∠ BAF=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
过点A作$AG⊥ BF$于点G，
∵$AB=AF$，$AG⊥ BF$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$∠ BAG=\frac{1}{2}∠ BAF=60°$，$BF=2BG$
在$Rt△ ABG$中，$∠ AGB=90°$，$∠ ABG=180°-90°-60°=30°$
∴$AG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
由勾股定理得：$BG=\sqrt{AB^2-AG^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
∴$BF=2BG=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活中的蜂巢结构考查正六边形的相关性质，解题关键是将所求线段转化到特殊三角形中求解，贴合生活实际，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7

3.若正多边形的中心角为$72°$，边长为10，则它的边心距为()。

A.$\dfrac{5}{\tan 36°}$
B.$5\sin 36°$
C.$5\cos 36°$
D.$5\tan 36°$

3.A

【分析】
首先根据正多边形中心角和边数的关系求出正多边形的边数，明确正多边形的计算通常转化为求解由半径、边心距、半边长组成的直角三角形；再找到该直角三角形中已知的边长和角度，结合锐角三角函数的定义列式即可求出边心距。
【解析】
1. 求正多边形的边数：
正n边形的中心角公式为$\dfrac{360°}{n}$，已知中心角为$72°$，代入得：
$n=\dfrac{360°}{72°}=5$，即该多边形为正五边形。
2. 构造直角三角形分析：
过正五边形的中心作某条边的垂线（即边心距$h$），连接中心与这条边的两个端点，可得一个直角三角形：
该直角三角形的一个锐角为中心角的一半，即$\dfrac{72°}{2}=36°$；$36°$角的对边为边长的一半，即$\dfrac{10}{2}=5$，邻边为边心距$h$。
3. 根据锐角三角函数定义列式：
由正切函数的定义$\tanα=\dfrac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}$，代入$α=36°$得：
$\tan36°=\dfrac{5}{h}$，变形得$h=\dfrac{5}{\tan36°}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆的性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【点评】
本题是正多边形相关计算的基础题型，解题关键是掌握将正多边形问题转化为直角三角形问题的转化思想，熟练运用锐角三角函数的定义列式计算即可。
【难度系数】
0.7

4.如图，$\odot O$的内接正六边形ABCDEF的边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，分别以B，D，F为圆心，正六边形的边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是。

4.$π-\frac{3\sqrt{3}}{2}$

【分析】
解题步骤可分为两步：第一步先求正六边形的边长，正六边形的边长等于其外接圆半径，边心距和边长的关系为边心距$=\frac{\sqrt{3}}{2}×$边长，结合已知边心距即可求出边长；第二步推导阴影面积，观察图形可知，以B、D、F为圆心的三个扇形圆心角为正六边形的内角，半径等于正六边形边长，阴影面积可通过三个扇形的总面积减去正六边形的面积得到，这种割补法比直接计算每个小阴影更简便。
【解析】
设正六边形的边长为$a$，
正六边形的边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，已知边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$a=1$，即正六边形边长为1。
正六边形的内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即每个扇形的圆心角为$120°$，半径$r=1$。
三个扇形的总面积：
$S_{\mathrm{扇总}}=3×\frac{120°}{360°}×π×1^2=π$
正六边形可分为6个边长为1的等边三角形，每个等边三角形面积为$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
正六边形的面积：
$S_{\mathrm{正六}}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{扇总}}-S_{\mathrm{正六}}=π-\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$π-\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
正多边形的性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查正六边形相关性质和不规则阴影面积的计算，解题核心是熟练掌握正六边形边长、内角、边心距的对应关系，灵活运用割补法转化阴影面积，简化计算过程。
【难度系数】
0.65

5.如图，A，B，C是$\odot O$上的三点，若AC，AB，BC分别是$\odot O$内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则$n=$。

5.12

【分析】
要解决本题，需利用正多边形的中心角与边数的关系：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$。首先分别求出AC、AB对应的圆心角，两个圆心角的差就是BC对应的圆心角，再根据正n边形中心角公式即可求出n的值。
【解析】
连接OA、OB、OC：
1. 因为AC是$\odot O$内接正三角形的一边，正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，所以$∠ AOC=120°$；
2. 因为AB是$\odot O$内接正方形的一边，正方形的中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，所以$∠ AOB=90°$；
3. 可得$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=120°-90°=30°$；
4. 因为BC是$\odot O$内接正n边形的一边，所以正n边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{n}$，即$\frac{360°}{n}=30°$，解得$n=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 正多边形与圆的关系
2. 圆心角计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握正多边形的中心角和边数的对应关系，通过计算BC边对应的中心角即可快速求出n的值。
【难度系数】
0.7

6.如图，等边三角形ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积。

6.$\frac{1}{6}a^2$

【分析】
解题可分三步推导：①先求等边△ABC的内切圆半径：等边三角形的内心与重心重合，内切圆半径等于三角形高的1/3；②明确内切圆是正方形DEFG的外接圆，因此正方形的对角线长度等于内切圆的直径；③根据正方形对角线与边长的关系，结合勾股定理求出正方形面积。
【解析】
1. 求等边△ABC的高：
等边三角形边长为$a$，由勾股定理得高$ h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a $。
2. 求内切圆半径$r$：
等边三角形内切圆圆心为重心，重心分高的比为$2:1$，因此内切圆半径$ r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}a}{6} $，内切圆直径为$ 2r = \frac{\sqrt{3}a}{3} $。
3. 求正方形DEFG的面积：
正方形是内切圆的内接正方形，其对角线长等于圆的直径，设正方形边长为$x$，由勾股定理得：
$ x^2 + x^2 = (2r)^2 $，即$ 2x^2 = (\frac{\sqrt{3}a}{3})^2 = \frac{a^2}{3} $，
解得正方形面积$ S = x^2 = \frac{1}{6}a^2 $。
【答案】
$\frac{1}{6}a^2$
【知识点】
等边三角形的性质；正多边形与圆；正方形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是搭建等边三角形内切圆和内接正方形的边长关联，需要熟练掌握特殊图形的边角、线段比例关系，计算时注意二次根式的化简。
【难度系数】
0.6