7.用36 m长的篱笆在空地上围出一块场地,现有以下四种设计方案:正三角形、正方形、正六边形和圆。通过计算说明哪种场地的面积最大。

7.解:当36 m长的篱笆围出正三角形时,其边长为36÷3=12(m),
此时三角形的面积为$\frac{1}{2}×12×12×\frac{\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}(m^2)$;
当36 m长的篱笆围出正方形时,其边长为36÷4=9(m),
此时正方形的面积为9×9=81(m²);
当36 m长的篱笆围出正六边形时,其边长为36÷6=6(m),
边心距为$3\sqrt{3}$ m,此时正六边形的面积为$6×\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=54\sqrt{3}(m^2)$;
当36 m长的篱笆围出圆时,其半径为$\frac{36}{2π}=\frac{18}{π}(m)$,
此时圆的面积为$π×(\frac{18}{π})^2=\frac{324}{π}(m^2)$。
因为$36\sqrt{3}＜81＜54\sqrt{3}＜\frac{324}{π}$,
所以圆的面积最大。

【分析】
篱笆的长度即为所围图形的周长，因此四种方案对应的正三角形、正方形、正六边形、圆的周长均为36m。解题思路如下：第一步，根据各图形的周长计算公式，分别求出正三角形、正方形、正六边形的边长，以及圆的半径；第二步，将求得的参数代入对应图形的面积公式，分别计算四种图形的面积；第三步，比较四个面积的大小，面积最大的对应的图形就是所求方案。
【解析】
解：①当围成正三角形时：
正三角形边长：$36÷3=12\ (\mathrm{m})$
正三角形面积：$S_1=\frac{1}{2}×12×12×\frac{\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}\ (\mathrm{m}^2)$
②当围成正方形时：
正方形边长：$36÷4=9\ (\mathrm{m})$
正方形面积：$S_2=9×9=81\ (\mathrm{m}^2)$
③当围成正六边形时：
正六边形边长：$36÷6=6\ (\mathrm{m})$
正六边形的边心距为$3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
正六边形面积：$S_3=6×\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=54\sqrt{3}\ (\mathrm{m}^2)$
④当围成圆时：
圆的半径：$r=\frac{36}{2π}=\frac{18}{π}\ (\mathrm{m})$
圆的面积：$S_4=π×(\frac{18}{π})^2=\frac{324}{π}\ (\mathrm{m}^2)$
比较大小可得：$36\sqrt{3}＜81＜54\sqrt{3}＜\frac{324}{π}$
【答案】
围成圆形的场地面积最大
【知识点】
1. 周长边长换算
2. 正多边形面积计算
3. 圆的面积计算
【点评】
本题考查周长为定值时不同平面图形的面积比较，解题核心是抓住周长为36m的定值条件，结合各图形的面积公式计算后比较大小。通过本题可记住实用规律：周长相等的平面图形中，圆的面积最大，可快速解答同类最值问题。
【难度系数】
0.7

8.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为()。

A.$3:2:1$
B.$4:3:2$
C.$4:2:1$
D.$6:4:3$

8.A

【分析】
首先明确正三角形的特殊性质：正三角形的内心、外心、重心、垂心四心重合，因此它的高、外接圆半径、边心距都在同一条线段上。再结合三角形重心的性质：重心分中线（正三角形的高与中线重合）的比为2:1，其中外接圆半径是外心到顶点的距离，对应重心到顶点的2份线段，边心距是外心到边的距离，对应重心到对边的1份线段，高为两段之和共3份，即可直接得出三者比值。也可通过设正三角形边长，分别计算三个量的长度后化简比求解。
【解析】
因为正三角形的内心、外心、重心、垂心四心重合，所以高、外接圆半径$R$、边心距$r$共线，且重心分高的比为$2:1$（重心到顶点的距离:重心到对边的距离$=2:1$）。
其中外接圆半径$R$是外心到顶点的距离，占2份；边心距$r$是外心到边的距离，占1份；高$h=R+r$，占3份。
因此$h:R:r=3:2:1$。
也可设正三角形边长为$a$验证：高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，外接圆半径$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，边心距$r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，作比得$h:R:r=\frac{\sqrt{3}}{2}a:\frac{\sqrt{3}}{3}a:\frac{\sqrt{3}}{6}a=3:2:1$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆；等边三角形的性质；三角形重心的性质
【点评】
本题解题关键是掌握正三角形四心重合的特殊性质，结合重心的比例关系可快速得出结果，也可通过赋值边长计算验证，属于正多边形与圆相关的基础题型。
【难度系数】
0.7

9.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM。
（1）求证：BM=CM；
（2）连接OB，OM，求∠BOM的度数。

9.(1)证明:因为正方形ABCD内接于$\odot O$,
所以$AB=DC$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$。
因为M为$\overset{\frown}{AD}$的中点,所以$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$。
所以$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DC}+\overset{\frown}{DM}$。
所以$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
所以$BM=CM$。
(2)解:连接OC,OB,OM。
因为$∠ BOC=\frac{1}{4}×360°=90°$,
所以$∠ BOM+∠ COM=360°-∠ BOC=270°$。
因为$BM=CM$,
所以$∠ BOM=∠ COM$,所以$2∠ BOM=270°$。
所以$∠ BOM=135°$。

【分析】
（1）要证明同圆中两条弦$BM=CM$，可利用同圆内“等弧对等弦”的性质，只需证明两条弦对应的弧$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$即可。首先由正方形内接于$\odot O$的性质可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$，再结合$M$是$\overset{\frown}{AD}$中点得到$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，两组等弧分别相加即可得到$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，从而证得$BM=CM$。
（2）求$∠ BOM$的度数时，先连接$OB、OC、OM$，正方形内接于圆时四条边对应的圆心角相等，可先算出边$BC$对应的圆心角$∠ BOC=90°$，因此弧$BMC$对应的圆心角之和为$360°-90°=270°$，再结合（1）的结论$BM=CM$可得对应的圆心角$∠ BOM=∠ COM$，平分$270°$即可得到$∠ BOM$的度数。
【解析】
(1)证明:因为正方形ABCD内接于$\odot O$,
所以$AB=DC$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$。
因为M为$\overset{\frown}{AD}$的中点,所以$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$。
所以$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DC}+\overset{\frown}{DM}$。
所以$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
所以$BM=CM$。
(2)解:连接OC,OB,OM。
因为$∠ BOC=\frac{1}{4}×360°=90°$,
所以$∠ BOM+∠ COM=360°-∠ BOC=270°$。
因为$BM=CM$,
所以$∠ BOM=∠ COM$,所以$2∠ BOM=270°$。
所以$∠ BOM=135°$。

【答案】
(1)证明见解析，$BM=CM$成立；
(2)$∠ BOM=135°$

【知识点】
弧弦对等关系，正多边形中心角，圆心角计算
【点评】
本题是圆与正多边形结合的基础题型，重点考查同圆中弧、弦、圆心角的对应关系，以及正方形内接于圆的性质，解题逻辑清晰，通过弧的等量关系推导弦的等量关系，再结合圆心角的和差计算角度，掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

10.数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5 cm的正方形硬纸板，然后向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径。老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示。
(1)通过计算(结果保留根号与π)：
①图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
②图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
③图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
(2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法(只要画出示意图，不要求说明理由)，并求出此时圆形硬纸板的直径。

课后反思
存在的问题：
改进的措施：

10.解:(1)①$5\sqrt{10}$ ②$10\sqrt{2}$ ③$10\sqrt{2}$
(2)如图为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，

连接OB,ON,延长OH交AB于点P,则OP⊥AB,P为AB中点,
设$OG=x$,则$OP=10-x$,
则有$x^2+5^2=(10-x)^2+(\frac{5}{2})^2$,
解得$x=\frac{65}{16}$,
则$ON=\sqrt{5^2+(\frac{65}{16})^2}=\frac{25\sqrt{17}}{16}$,
所以此时圆形硬纸板的直径为$\frac{25\sqrt{17}}{16}×2=\frac{25\sqrt{17}}{8}(cm)$。

【分析】
这道题的核心是求覆盖三个正方形的最小圆形硬纸板的直径，本质是找三个正方形所有顶点的最小覆盖圆，该圆的半径等于圆心到最远顶点的距离，直径为半径的2倍。解题思路如下：
(1)对于给定的三种摆放方式：
①图①中三个正方形并排拼接成长15cm、宽5cm的矩形，最小覆盖圆的圆心在矩形的中心，半径等于中心到矩形顶点的距离，利用勾股定理计算即可得直径；
②图②中三个正方形中心重合摆放，最远顶点到公共中心的距离为正方形的对角线长，直接计算得直径；
③图③中三个正方形拼成L形，最远的两个对角顶点距离为外接圆直径，用勾股定理计算即可。
(2)最优摆放方式利用对称性，将两个正方形并排放在下方，第三个正方形放在两个正方形上方的中间位置，对称轴为过圆心、垂直于下方正方形底边的直线，设圆心到下方底边的距离为x，利用圆心到两个最远顶点的距离相等（均为半径）列勾股方程，求解后计算半径和直径。
【解析】
(1)①图①中，三个正方形并排拼接，得到长为$3×5=15\mathrm{cm}$，宽为$5\mathrm{cm}$的矩形。最小覆盖圆的圆心为矩形对角线的交点，直径等于矩形对角线长度：
$d=\sqrt{15^2+5^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}\mathrm{cm}$。
②图②中，三个正方形均以圆心为公共顶点放置，正方形的外顶点到圆心的距离为正方形的对角线长$\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\mathrm{cm}$，因此最小圆的直径为$2×5\sqrt{2}=10\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
③图③中，三个正方形拼成L形，最远的两个对角顶点的水平距离为$10\mathrm{cm}$，竖直距离为$10\mathrm{cm}$，两点距离即为最小直径：$\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
(2)最小直径的放置方法如图：

连接$OB$、$ON$，延长$OH$交$AB$于点$P$，根据对称性可知$OP⊥ AB$，且$P$为$AB$中点。
设$OG=x\mathrm{cm}$，则$OP=(10-x)\mathrm{cm}$。
因为$OB$和$ON$均为圆的半径，长度相等，根据勾股定理：
$ON^2=OG^2+NG^2=x^2+5^2$，
$OB^2=OP^2+PB^2=(10-x)^2+(\frac{5}{2})^2$，
因此列方程：$x^2+5^2=(10-x)^2+(\frac{5}{2})^2$
展开整理得：$25=100-20x+\frac{25}{4}$，
解得$x=\frac{65}{16}$。
则半径$ON=\sqrt{5^2+(\frac{65}{16})^2}=\frac{25\sqrt{17}}{16}\mathrm{cm}$，
因此直径为$2×\frac{25\sqrt{17}}{16}=\frac{25\sqrt{17}}{8}\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)①$5\sqrt{10}$；②$10\sqrt{2}$；③$10\sqrt{2}$
(2)放置方法如图：

此时圆形硬纸板的最小直径为$\frac{25\sqrt{17}}{8}\mathrm{cm}$。
【知识点】
最小覆盖圆，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合实践操作场景考查几何建模能力，解题时需结合图形对称性确定圆心位置，再利用勾股定理建立方程求解，能有效锻炼数形结合思想和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.4