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23.已知$△ ABC$是等边三角形.
(1)如图①,在射线$BC$上取一点$D$,以$CD$为边作等边三角形$CDE$,连接$AD$,$BE$交于点$F$.
①求证$AD=BE$;
②连接$CF$,求证$∠ FCE=∠ EBD$.
(2)如图②,点$T$在$△ ABC$的外部,$CT=BC$,连接$AT$,$BT$,$CM$平分$∠ BCT$交$AT$于点$M$,交$BT$于点$N$.
①求$∠ ATB$的大小;
②探究线段$AM$,$CN$,$MT$之间的数量关系,并说明理由.
(1)如图①,在射线$BC$上取一点$D$,以$CD$为边作等边三角形$CDE$,连接$AD$,$BE$交于点$F$.
①求证$AD=BE$;
②连接$CF$,求证$∠ FCE=∠ EBD$.
(2)如图②,点$T$在$△ ABC$的外部,$CT=BC$,连接$AT$,$BT$,$CM$平分$∠ BCT$交$AT$于点$M$,交$BT$于点$N$.
①求$∠ ATB$的大小;
②探究线段$AM$,$CN$,$MT$之间的数量关系,并说明理由.
答案
23.(1)①$\because △ ABC$与$△ CDE$为等边三角形,$\therefore BC=AC,CE=CD,∠ BCA=∠ ECD=60°.$$\therefore ∠ BCA+∠ ACE=∠ ECD+∠ ACE.$$\therefore ∠ BCE=∠ ACD.$在$△ BCE$和$△ ACD$中,$\begin{cases}BC=AC,\\∠ BCE=∠ ACD,\\CE=CD,\end{cases}$$\therefore △ BCE≌△ ACD(\mathrm{SAS}).$$\therefore BE=AD.$②如图,过点$C$作$CH⊥ BE,CG⊥ AD$,垂足分别为$H,G.$
$\because △ BCE≌△ ACD,\therefore ∠ EBD=∠ DAC.$$\therefore ∠ AIB-∠ EBD=∠ AIB-∠ DAC.$$\therefore ∠ ACB=∠ AFB=60°.$$\because CH⊥ BE,CG⊥ AD,$$\therefore ∠ BHC=∠ AGC=90°.$在$△ BHC$和$△ AGC$中,$\begin{cases}∠ HBC=∠ GAC,\\∠ BHC=∠ AGC,\\BC=AC,\end{cases}$$\therefore △ BHC≌△ AGC(\mathrm{AAS}).$$\therefore CH=CG.$$\because CH⊥ BE,CG⊥ AD,\therefore ∠ BFC=∠ CFD.$$\because ∠ BFC+∠ CFD=180°-∠ AFB=120°,$$\therefore ∠ BFC=60°.$$\because ∠ ECD=60°,\therefore ∠ BFC-∠ BEC=∠ ECD-∠ BEC.\therefore ∠ FCE=∠ EBD.$(2)①设$∠ ACT=x°$,$\because △ ABC$为等边三角形,$\therefore ∠ ACB=60°.$$\therefore ∠ BCT=∠ BCA+∠ ACT=60°+x°.$$\because CA=CB=CT,$$\therefore ∠ ATC=∠ CAT=90°-\dfrac{1}{2}x°,∠ BTC=∠ CBT=60°-\dfrac{1}{2}x°.$$\therefore ∠ ATB=∠ ATC-∠ BTC=30°.$②如图,连接$BM$,在$BM$上截取$MS=MC$,连接$CS.$
$\because BC=CT,CM$平分$∠ BCT,\therefore BN=NT,CN⊥ BT.$$\therefore ∠ TMN=90°-∠ ATB=60°,BM=TM.$$\therefore ∠ BMN=∠ TMN=60°.$$\because MS=MC,\therefore △ SMC$为等边三角形.$\therefore CS=CM,∠ SCM=60°.$$\therefore ∠ BCA=∠ SCM.$$\therefore ∠ BCA-∠ ACS=∠ SCM-∠ ACS.\therefore ∠ BCS=∠ ACM.$在$△ BCS$和$△ ACM$中,$\begin{cases}BC=AC,\\∠ BCS=∠ ACM,\\CS=CM,\end{cases}$$\therefore △ BCS≌△ ACM(\mathrm{SAS}).$$\therefore BS=AM.$$\because BM=TM,\therefore TM-AM=BM-BS=MS.$$\because MN⊥ BT,∠ MTN=30°,\therefore MN=\dfrac{1}{2}MT.$$\because MN+CN=CM,CM=MS,$$\therefore MT-AM=\dfrac{1}{2}MT+CN.$$\therefore AM+CN=\dfrac{1}{2}MT.$(方法2:在$BM$上取点$Q$,使得$MQ=MA$,连接$AQ$;方法3:在$MN$上取点$O$,使得$NO=NC$,连接$BO$.)解析
【分析】
（1）①要证明两条线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。题中给出两个等边三角形，可得到对应边相等、内角均为60°，通过角的和差得到一组相等的夹角，利用SAS判定△BCE和△ACD全等，即可证得AD=BE。
②要证明∠FCE=∠EBD，首先由①的全等可得对应角相等，过点C分别作BE、AD的垂线，通过AAS证明垂线所在的三角形全等，得到两条垂线段相等，根据角平分线的判定可知CF平分∠BFD，推导得∠BFC=60°，再结合∠ECD=60°，利用三角形外角的性质作角的和差即可证明两角相等。
（2）①已知CA=CB=CT，可知△CAT和△CBT均为等腰三角形，设∠ACT为x°，分别表示出两个等腰三角形的底角∠ATC和∠BTC，两个底角作差即可得到∠ATB的度数。
②探究三条线段的数量关系时，先利用角平分线和等腰三角形三线合一的性质，得到CM垂直平分BT，推出∠TMN=60°，构造等边三角形后通过SAS证明全等，将AM转化为等长线段，再结合30°直角三角形的边的关系，进行线段代换即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1)①$\because △ ABC$与$△ CDE$为等边三角形,$\therefore BC=AC,CE=CD,∠ BCA=∠ ECD=60°.$
$\therefore ∠ BCA+∠ ACE=∠ ECD+∠ ACE.$
$\therefore ∠ BCE=∠ ACD.$
在$△ BCE$和$△ ACD$中,
$\begin{cases}BC=AC,\\∠ BCE=∠ ACD,\\CE=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BE=AD.$
②过点$C$作$CH⊥ BE,CG⊥ AD$,垂足分别为$H,G.$
$\because △ BCE≌△ ACD,\therefore ∠ EBD=∠ DAC.$
$\therefore ∠ AIB-∠ EBD=∠ AIB-∠ DAC.$
$\therefore ∠ ACB=∠ AFB=60°.$
$\because CH⊥ BE,CG⊥ AD,$
$\therefore ∠ BHC=∠ AGC=90°.$
在$△ BHC$和$△ AGC$中,
$\begin{cases}∠ HBC=∠ GAC,\\∠ BHC=∠ AGC,\\BC=AC,\end{cases}$
$\therefore △ BHC≌△ AGC(\mathrm{AAS}).$
$\therefore CH=CG.$
$\because CH⊥ BE,CG⊥ AD,\therefore ∠ BFC=∠ CFD.$
$\because ∠ BFC+∠ CFD=180°-∠ AFB=120°,$
$\therefore ∠ BFC=60°.$
$\because ∠ ECD=60°,\therefore ∠ BFC-∠ BEC=∠ ECD-∠ BEC.$
$\therefore ∠ FCE=∠ EBD.$
(2)①设$∠ ACT=x°$,
$\because △ ABC$为等边三角形,$\therefore ∠ ACB=60°.$
$\therefore ∠ BCT=∠ BCA+∠ ACT=60°+x°.$
$\because CA=CB=CT,$
$\therefore ∠ ATC=∠ CAT=90°-\dfrac{1}{2}x°,∠ BTC=∠ CBT=60°-\dfrac{1}{2}x°.$
$\therefore ∠ ATB=∠ ATC-∠ BTC=30°.$
②连接$BM$,在$BM$上截取$MS=MC$,连接$CS.$
$\because BC=CT,CM$平分$∠ BCT,\therefore BN=NT,CN⊥ BT.$
$\therefore ∠ TMN=90°-∠ ATB=60°,BM=TM.$
$\therefore ∠ BMN=∠ TMN=60°.$
$\because MS=MC,\therefore △ SMC$为等边三角形.
$\therefore CS=CM,∠ SCM=60°.$
$\therefore ∠ BCA=∠ SCM.$
$\therefore ∠ BCA-∠ ACS=∠ SCM-∠ ACS.$
$\therefore ∠ BCS=∠ ACM.$
在$△ BCS$和$△ ACM$中,
$\begin{cases}BC=AC,\\∠ BCS=∠ ACM,\\CS=CM,\end{cases}$
$\therefore △ BCS≌△ ACM(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BS=AM.$
$\because BM=TM,\therefore TM-AM=BM-BS=MS.$
$\because MN⊥ BT,∠ MTN=30°,\therefore MN=\dfrac{1}{2}MT.$
$\because MN+CN=CM,CM=MS,$
$\therefore MT-AM=\dfrac{1}{2}MT+CN.$
$\therefore AM+CN=\dfrac{1}{2}MT.$
【答案】
(1)①证明见解析；②证明见解析；
(2)①$\boldsymbol{∠ATB=30°}$；②$\boldsymbol{AM+CN=\dfrac{1}{2}MT}$，理由见解析。
（辅助线图：）
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形综合类题目，围绕等边、等腰三角形的性质展开，核心考察全等三角形的构造与应用。解题时需要结合已知条件合理添加辅助线，通过角的和差计算、线段的等量代换完成证明和推导，对几何逻辑推理能力有较高的要求。
【难度系数】
0.3
（1）①要证明两条线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。题中给出两个等边三角形，可得到对应边相等、内角均为60°，通过角的和差得到一组相等的夹角，利用SAS判定△BCE和△ACD全等，即可证得AD=BE。
②要证明∠FCE=∠EBD，首先由①的全等可得对应角相等，过点C分别作BE、AD的垂线，通过AAS证明垂线所在的三角形全等，得到两条垂线段相等，根据角平分线的判定可知CF平分∠BFD，推导得∠BFC=60°，再结合∠ECD=60°，利用三角形外角的性质作角的和差即可证明两角相等。
（2）①已知CA=CB=CT，可知△CAT和△CBT均为等腰三角形，设∠ACT为x°，分别表示出两个等腰三角形的底角∠ATC和∠BTC，两个底角作差即可得到∠ATB的度数。
②探究三条线段的数量关系时，先利用角平分线和等腰三角形三线合一的性质，得到CM垂直平分BT，推出∠TMN=60°，构造等边三角形后通过SAS证明全等，将AM转化为等长线段，再结合30°直角三角形的边的关系，进行线段代换即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1)①$\because △ ABC$与$△ CDE$为等边三角形,$\therefore BC=AC,CE=CD,∠ BCA=∠ ECD=60°.$
$\therefore ∠ BCA+∠ ACE=∠ ECD+∠ ACE.$
$\therefore ∠ BCE=∠ ACD.$
在$△ BCE$和$△ ACD$中,
$\begin{cases}BC=AC,\\∠ BCE=∠ ACD,\\CE=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BE=AD.$
②过点$C$作$CH⊥ BE,CG⊥ AD$,垂足分别为$H,G.$
$\because △ BCE≌△ ACD,\therefore ∠ EBD=∠ DAC.$
$\therefore ∠ AIB-∠ EBD=∠ AIB-∠ DAC.$
$\therefore ∠ ACB=∠ AFB=60°.$
$\because CH⊥ BE,CG⊥ AD,$
$\therefore ∠ BHC=∠ AGC=90°.$
在$△ BHC$和$△ AGC$中,
$\begin{cases}∠ HBC=∠ GAC,\\∠ BHC=∠ AGC,\\BC=AC,\end{cases}$
$\therefore △ BHC≌△ AGC(\mathrm{AAS}).$
$\therefore CH=CG.$
$\because CH⊥ BE,CG⊥ AD,\therefore ∠ BFC=∠ CFD.$
$\because ∠ BFC+∠ CFD=180°-∠ AFB=120°,$
$\therefore ∠ BFC=60°.$
$\because ∠ ECD=60°,\therefore ∠ BFC-∠ BEC=∠ ECD-∠ BEC.$
$\therefore ∠ FCE=∠ EBD.$
(2)①设$∠ ACT=x°$,
$\because △ ABC$为等边三角形,$\therefore ∠ ACB=60°.$
$\therefore ∠ BCT=∠ BCA+∠ ACT=60°+x°.$
$\because CA=CB=CT,$
$\therefore ∠ ATC=∠ CAT=90°-\dfrac{1}{2}x°,∠ BTC=∠ CBT=60°-\dfrac{1}{2}x°.$
$\therefore ∠ ATB=∠ ATC-∠ BTC=30°.$
②连接$BM$,在$BM$上截取$MS=MC$,连接$CS.$
$\because BC=CT,CM$平分$∠ BCT,\therefore BN=NT,CN⊥ BT.$
$\therefore ∠ TMN=90°-∠ ATB=60°,BM=TM.$
$\therefore ∠ BMN=∠ TMN=60°.$
$\because MS=MC,\therefore △ SMC$为等边三角形.
$\therefore CS=CM,∠ SCM=60°.$
$\therefore ∠ BCA=∠ SCM.$
$\therefore ∠ BCA-∠ ACS=∠ SCM-∠ ACS.$
$\therefore ∠ BCS=∠ ACM.$
在$△ BCS$和$△ ACM$中,
$\begin{cases}BC=AC,\\∠ BCS=∠ ACM,\\CS=CM,\end{cases}$
$\therefore △ BCS≌△ ACM(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BS=AM.$
$\because BM=TM,\therefore TM-AM=BM-BS=MS.$
$\because MN⊥ BT,∠ MTN=30°,\therefore MN=\dfrac{1}{2}MT.$
$\because MN+CN=CM,CM=MS,$
$\therefore MT-AM=\dfrac{1}{2}MT+CN.$
$\therefore AM+CN=\dfrac{1}{2}MT.$
【答案】
(1)①证明见解析；②证明见解析；
(2)①$\boldsymbol{∠ATB=30°}$；②$\boldsymbol{AM+CN=\dfrac{1}{2}MT}$，理由见解析。
（辅助线图：
）【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形综合类题目，围绕等边、等腰三角形的性质展开，核心考察全等三角形的构造与应用。解题时需要结合已知条件合理添加辅助线，通过角的和差计算、线段的等量代换完成证明和推导，对几何逻辑推理能力有较高的要求。
【难度系数】
0.3
24.如图①，在平面直角坐标系中，过点$B(m,n)$作$BA ⊥ x$轴，垂足为$A$，$BC ⊥ y$轴，垂足为$C$，其中$m,n$满足$m^2 - 4m + 4 + (n - 2)^2 = 0$。
（1）直接写出点$A,B,C$的坐标。
（2）如图②，连接$AC$，点$D$在$AC$上，点$M$在$OA$上，且$OD=DM$，$MN ⊥ AC$，垂足为$N$，求$\frac{AC}{DN}$的值。
（3）如图③，点$P$在四边形$ABCO$内，满足$PC=PB$，$∠ BPC=150°$，连接$OP$，求$OP$的长。
图①
图②
图③
（1）直接写出点$A,B,C$的坐标。
（2）如图②，连接$AC$，点$D$在$AC$上，点$M$在$OA$上，且$OD=DM$，$MN ⊥ AC$，垂足为$N$，求$\frac{AC}{DN}$的值。
（3）如图③，点$P$在四边形$ABCO$内，满足$PC=PB$，$∠ BPC=150°$，连接$OP$，求$OP$的长。
图①
图②
图③
答案
24.(1)$A(2,0),B(2,2),C(0,2).$(2)方法1:如图,作$OE⊥ AC$,垂足为$E.$
$\because OE⊥ AC,MN⊥ AC,\therefore ∠ DEO=∠ MND=90°.$$\because OA=OC=2,∠ AOC=90°,\therefore ∠ OAC=∠ OCA=45°.$$\because OA=OC=2,OE⊥ AC,\therefore ∠ AOE=∠ COE=45°,CE=AE.$$\therefore ∠ AOE=∠ OAC.\therefore AE=OE.$$\because OD=DM,\therefore ∠ DOM=∠ DMO.$$\therefore ∠ DOM-∠ AOE=∠ DMO-∠ OAC.\therefore ∠ DOE=∠ MDN.$在$△ DEO$和$△ MND$中,$\begin{cases}∠ DOE=∠ MDN,\\∠ DEO=∠ MND,\\OD=DM,\end{cases}$$\therefore △ DEO≌△ MND(\mathrm{AAS}).$$\therefore OE=DN.$$\because CE=AE=OE,\therefore AC=2DN,\therefore \dfrac{AC}{DN}=2.$方法2:如图,作$ME⊥ x$轴交$AC$于点$E$,延长$MD$交$y$轴于点$F.$
$\because OD=DM,\therefore ∠ DOM=∠ DMO.$$\because OM⊥ OF,\therefore ∠ DOM+∠ DOF=∠ DMO+∠ OFD=90°.$$\therefore ∠ DOF=∠ OFD.\therefore DF=OD.\therefore DM=DF.$$\because ME⊥ x$轴,$AO⊥ OC,\therefore ∠ EMA=∠ COA=90°.$$\therefore EM// FC.\therefore ∠ EMD=∠ CFD.$在$△ DME$和$△ DFC$中,$\begin{cases}∠ MDE=∠ FDC,\\DM=DF,\\∠ EMD=∠ CFD,\end{cases}$$\therefore △ DME≌△ DFC(\mathrm{ASA}).\therefore DE=DC.$$\because OA=OC=2,∠ AOC=90°,\therefore ∠ OAC=∠ OCA=45°.$$\because ME⊥ AM,\therefore ∠ AEM=90°-∠ MAE=45°.\therefore ∠ AEM=∠ MAE=45°.\therefore EM=AM.$$\because MN⊥ AE,\therefore EN=AN.$$\because DE=DC,\therefore DE+EN=DC+AN.$$\therefore AC=2DN.\therefore \dfrac{AC}{DN}=2.$(3)如图,作$OG⊥ CP$,垂足为$G$,作$BH⊥ CP$交$CP$的延长线于点$H.$
$\because BH⊥ CH,OG⊥ CP,\therefore ∠ H=∠ CGO=90°.$$\because B(2,2),BC⊥ CO,\therefore BC=CO=2.$$\because BC⊥ CO,OG⊥ CG,\therefore ∠ BCH+∠ GCO=∠ COG+∠ GCO=90°.$$\therefore ∠ BCH=∠ COG.$在$△ BCH$和$△ COG$中,$\begin{cases}∠ BCH=∠ COG,\\∠ H=∠ CGO,\\BC=CO,\end{cases}$$\therefore △ BCH≌△ COG(\mathrm{AAS}).\therefore BH=CG.$$\because ∠ BPC=150°,\therefore ∠ BPH=180°-∠ BPC=30°.$$\because ∠ H=90°,\therefore BP=2BH.\because BP=CP,\therefore CP=2CG.\therefore CG=GP.$$\because OG⊥ CP,\therefore OP=OC=2.$解析
【分析】
(1) 先将已知等式变形为两个平方和为0的形式，利用非负数的性质（平方数非负，和为0则每个平方项均为0）求出m、n的值，再结合点向坐标轴作垂线的坐标特征，直接得到A、B、C三点坐标；
(2) 先判断△OAC为等腰直角三角形，通过作辅助线构造全等三角形：如过O作OE⊥AC，结合OD=DM的条件推导角相等，证明△DEO与△MND全等，得到DN=OE，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，即可求出AC与DN的比值；
(3) 作OG⊥CP、BH⊥CP的延长线，先证△BCH≌△COG得到BH=CG，再结合∠BPC=150°推出30°的直角△BPH，得到BP=2BH，结合PC=PB推出G是CP中点，即OG垂直平分CP，进而得到OP=OC求出结果。
【解析】
(1) 对$m^2 - 4m + 4 + (n - 2)^2 = 0$变形得$(m-2)^2+(n-2)^2=0$，
∵ 平方数非负，即$(m-2)^2≥0$，$(n-2)^2≥0$，
∴ $m-2=0$，$n-2=0$，解得$m=2,n=2$，
∵ $BA⊥x$轴，$BC⊥y$轴，
∴ A点横坐标与B相同、纵坐标为0，C点纵坐标与B相同、横坐标为0，即$A(2,0),B(2,2),C(0,2)$。
(2) 方法1: 如图,作$OE⊥ AC$,垂足为$E.$
$\because OE⊥ AC,MN⊥ AC,\therefore ∠ DEO=∠ MND=90°.$
$\because OA=OC=2,∠ AOC=90°,\therefore ∠ OAC=∠ OCA=45°.$
$\because OA=OC=2,OE⊥ AC,\therefore ∠ AOE=∠ COE=45°,CE=AE.$
$\therefore ∠ AOE=∠ OAC.\therefore AE=OE.$
$\because OD=DM,\therefore ∠ DOM=∠ DMO.$
$\therefore ∠ DOM-∠ AOE=∠ DMO-∠ OAC.\therefore ∠ DOE=∠ MDN.$
在$△ DEO$和$△ MND$中,
$\begin{cases}∠ DOE=∠ MDN,\\∠ DEO=∠ MND,\\OD=DM,\end{cases}$
$\therefore △ DEO≌△ MND(\mathrm{AAS}).$
$\therefore OE=DN.$
$\because CE=AE=OE,\therefore AC=2DN,\therefore \dfrac{AC}{DN}=2.$
方法2: 如图,作$ME⊥ x$轴交$AC$于点$E$,延长$MD$交$y$轴于点$F.$
$\because OD=DM,\therefore ∠ DOM=∠ DMO.$
$\because OM⊥ OF,\therefore ∠ DOM+∠ DOF=∠ DMO+∠ OFD=90°.$
$\therefore ∠ DOF=∠ OFD.\therefore DF=OD.\therefore DM=DF.$
$\because ME⊥ x$轴,$AO⊥ OC,\therefore ∠ EMA=∠ COA=90°.$
$\therefore EM// FC.\therefore ∠ EMD=∠ CFD.$
在$△ DME$和$△ DFC$中,
$\begin{cases}∠ MDE=∠ FDC,\\DM=DF,\\∠ EMD=∠ CFD,\end{cases}$
$\therefore △ DME≌△ DFC(\mathrm{ASA}).\therefore DE=DC.$
$\because OA=OC=2,∠ AOC=90°,\therefore ∠ OAC=∠ OCA=45°.$
$\because ME⊥ AM,\therefore ∠ AEM=90°-∠ MAE=45°.\therefore ∠ AEM=∠ MAE=45°.\therefore EM=AM.$
$\because MN⊥ AE,\therefore EN=AN.$
$\because DE=DC,\therefore DE+EN=DC+AN.$
$\therefore AC=2DN.\therefore \dfrac{AC}{DN}=2.$
(3) 如图,作$OG⊥ CP$,垂足为$G$,作$BH⊥ CP$交$CP$的延长线于点$H.$
$\because BH⊥ CH,OG⊥ CP,\therefore ∠ H=∠ CGO=90°.$
$\because B(2,2),BC⊥ CO,\therefore BC=CO=2.$
$\because BC⊥ CO,OG⊥ CG,\therefore ∠ BCH+∠ GCO=∠ COG+∠ GCO=90°.$
$\therefore ∠ BCH=∠ COG.$
在$△ BCH$和$△ COG$中,
$\begin{cases}∠ BCH=∠ COG,\\∠ H=∠ CGO,\\BC=CO,\end{cases}$
$\therefore △ BCH≌△ COG(\mathrm{AAS}).\therefore BH=CG.$
$\because ∠ BPC=150°,\therefore ∠ BPH=180°-∠ BPC=30°.$
$\because ∠ H=90°,\therefore BP=2BH.\because BP=CP,\therefore CP=2CG.\therefore CG=GP.$
$\because OG⊥ CP,\therefore OG$是$CP$的垂直平分线，
$\therefore OP=OC=2.$
【答案】
(1) $A(2,0),B(2,2),C(0,2).$
(2) $\dfrac{AC}{DN}=2$，辅助线参考：、
(3) $OP=2$，辅助线参考：
【知识点】
非负数的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是坐标与几何结合的综合题，难度分层递进，解题关键是合理构造辅助线，结合全等三角形、特殊三角形的性质推导边角关系，考查几何综合推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先将已知等式变形为两个平方和为0的形式，利用非负数的性质（平方数非负，和为0则每个平方项均为0）求出m、n的值，再结合点向坐标轴作垂线的坐标特征，直接得到A、B、C三点坐标；
(2) 先判断△OAC为等腰直角三角形，通过作辅助线构造全等三角形：如过O作OE⊥AC，结合OD=DM的条件推导角相等，证明△DEO与△MND全等，得到DN=OE，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，即可求出AC与DN的比值；
(3) 作OG⊥CP、BH⊥CP的延长线，先证△BCH≌△COG得到BH=CG，再结合∠BPC=150°推出30°的直角△BPH，得到BP=2BH，结合PC=PB推出G是CP中点，即OG垂直平分CP，进而得到OP=OC求出结果。
【解析】
(1) 对$m^2 - 4m + 4 + (n - 2)^2 = 0$变形得$(m-2)^2+(n-2)^2=0$，
∵ 平方数非负，即$(m-2)^2≥0$，$(n-2)^2≥0$，
∴ $m-2=0$，$n-2=0$，解得$m=2,n=2$，
∵ $BA⊥x$轴，$BC⊥y$轴，
∴ A点横坐标与B相同、纵坐标为0，C点纵坐标与B相同、横坐标为0，即$A(2,0),B(2,2),C(0,2)$。
(2) 方法1: 如图,作$OE⊥ AC$,垂足为$E.$
$\because OE⊥ AC,MN⊥ AC,\therefore ∠ DEO=∠ MND=90°.$
$\because OA=OC=2,∠ AOC=90°,\therefore ∠ OAC=∠ OCA=45°.$
$\because OA=OC=2,OE⊥ AC,\therefore ∠ AOE=∠ COE=45°,CE=AE.$
$\therefore ∠ AOE=∠ OAC.\therefore AE=OE.$
$\because OD=DM,\therefore ∠ DOM=∠ DMO.$
$\therefore ∠ DOM-∠ AOE=∠ DMO-∠ OAC.\therefore ∠ DOE=∠ MDN.$
在$△ DEO$和$△ MND$中,
$\begin{cases}∠ DOE=∠ MDN,\\∠ DEO=∠ MND,\\OD=DM,\end{cases}$
$\therefore △ DEO≌△ MND(\mathrm{AAS}).$
$\therefore OE=DN.$
$\because CE=AE=OE,\therefore AC=2DN,\therefore \dfrac{AC}{DN}=2.$
方法2: 如图,作$ME⊥ x$轴交$AC$于点$E$,延长$MD$交$y$轴于点$F.$
$\because OD=DM,\therefore ∠ DOM=∠ DMO.$
$\because OM⊥ OF,\therefore ∠ DOM+∠ DOF=∠ DMO+∠ OFD=90°.$
$\therefore ∠ DOF=∠ OFD.\therefore DF=OD.\therefore DM=DF.$
$\because ME⊥ x$轴,$AO⊥ OC,\therefore ∠ EMA=∠ COA=90°.$
$\therefore EM// FC.\therefore ∠ EMD=∠ CFD.$
在$△ DME$和$△ DFC$中,
$\begin{cases}∠ MDE=∠ FDC,\\DM=DF,\\∠ EMD=∠ CFD,\end{cases}$
$\therefore △ DME≌△ DFC(\mathrm{ASA}).\therefore DE=DC.$
$\because OA=OC=2,∠ AOC=90°,\therefore ∠ OAC=∠ OCA=45°.$
$\because ME⊥ AM,\therefore ∠ AEM=90°-∠ MAE=45°.\therefore ∠ AEM=∠ MAE=45°.\therefore EM=AM.$
$\because MN⊥ AE,\therefore EN=AN.$
$\because DE=DC,\therefore DE+EN=DC+AN.$
$\therefore AC=2DN.\therefore \dfrac{AC}{DN}=2.$
(3) 如图,作$OG⊥ CP$,垂足为$G$,作$BH⊥ CP$交$CP$的延长线于点$H.$
$\because BH⊥ CH,OG⊥ CP,\therefore ∠ H=∠ CGO=90°.$
$\because B(2,2),BC⊥ CO,\therefore BC=CO=2.$
$\because BC⊥ CO,OG⊥ CG,\therefore ∠ BCH+∠ GCO=∠ COG+∠ GCO=90°.$
$\therefore ∠ BCH=∠ COG.$
在$△ BCH$和$△ COG$中,
$\begin{cases}∠ BCH=∠ COG,\\∠ H=∠ CGO,\\BC=CO,\end{cases}$
$\therefore △ BCH≌△ COG(\mathrm{AAS}).\therefore BH=CG.$
$\because ∠ BPC=150°,\therefore ∠ BPH=180°-∠ BPC=30°.$
$\because ∠ H=90°,\therefore BP=2BH.\because BP=CP,\therefore CP=2CG.\therefore CG=GP.$
$\because OG⊥ CP,\therefore OG$是$CP$的垂直平分线，
$\therefore OP=OC=2.$
【答案】
(1) $A(2,0),B(2,2),C(0,2).$
(2) $\dfrac{AC}{DN}=2$，辅助线参考：
、(3) $OP=2$，辅助线参考：
【知识点】
非负数的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是坐标与几何结合的综合题，难度分层递进，解题关键是合理构造辅助线，结合全等三角形、特殊三角形的性质推导边角关系，考查几何综合推理能力。
【难度系数】
0.6
