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一、选择题
1.下列四个树叶的图形中，是轴对称图形的是(
1.下列四个树叶的图形中，是轴对称图形的是(
B
).答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称图形的定义：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。我们可以依次对四个选项进行验证，判断是否存在这样的一条直线，满足对折后两侧完全重合，即可选出正确答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义：在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
对各选项逐一分析：
选项A：图形的小叶沿枝条交错分布，不存在能让两侧完全重合的直线，不是轴对称图形；
选项B：沿图形正中间的竖直线折叠，直线左右两侧的部分可以完全重合，是轴对称图形；
选项C：叶片两侧的裂片形状、缺口不对称，不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
选项D：图形的小叶交错分布，不存在能让两侧完全重合的直线，不是轴对称图形。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形的定义、轴对称图形的识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对轴对称图形定义的理解与运用，只要掌握“找对称轴、验证两侧是否重合”的判断方法，就能快速解题，是轴对称章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆轴对称图形的定义：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。我们可以依次对四个选项进行验证，判断是否存在这样的一条直线，满足对折后两侧完全重合，即可选出正确答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义：在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
对各选项逐一分析：
选项A：图形的小叶沿枝条交错分布，不存在能让两侧完全重合的直线，不是轴对称图形；
选项B：沿图形正中间的竖直线折叠，直线左右两侧的部分可以完全重合，是轴对称图形；
选项C：叶片两侧的裂片形状、缺口不对称，不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
选项D：图形的小叶交错分布，不存在能让两侧完全重合的直线，不是轴对称图形。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形的定义、轴对称图形的识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对轴对称图形定义的理解与运用，只要掌握“找对称轴、验证两侧是否重合”的判断方法，就能快速解题，是轴对称章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2.如图，$∠ C=∠ ABC=65°$，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则$∠ DBC$的度数为（
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
A
）.A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先在△ABC中已知两个内角的度数，可利用三角形内角和定理先求出∠A的度数；再结合MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，由等腰三角形等边对等角的性质推出∠ABD=∠A；最后用∠ABC的度数减去∠ABD的度数，即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠C=∠ABC=65°，根据三角形内角和为180°，
∴∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 65° - 65° = 50°，
∵MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴AD = BD，
∴∠ABD = ∠A = 50°，
∴∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 65° - 50° = 15°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边对等角
【点评】
本题是基础类几何计算题型，核心考查基础几何性质的综合应用，解题关键是找准角之间的等量关系，计算过程简单，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先在△ABC中已知两个内角的度数，可利用三角形内角和定理先求出∠A的度数；再结合MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，由等腰三角形等边对等角的性质推出∠ABD=∠A；最后用∠ABC的度数减去∠ABD的度数，即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠C=∠ABC=65°，根据三角形内角和为180°，
∴∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 65° - 65° = 50°，
∵MN是AB的垂直平分线，点D在MN上，
∴AD = BD，
∴∠ABD = ∠A = 50°，
∴∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 65° - 50° = 15°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边对等角
【点评】
本题是基础类几何计算题型，核心考查基础几何性质的综合应用，解题关键是找准角之间的等量关系，计算过程简单，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.7
3.有下列说法:①两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是对称轴;②两个图形关于某直线对称,对称点一定在对称轴的两侧;③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形;④有三条对称轴的三角形是等边三角形.其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C
解析
【分析】
这是一道轴对称相关概念的辨析题，解题思路是逐个判断四个说法的正误：首先回忆轴对称的基本性质，判断①②的对错；再结合轴对称与全等的关系判断③；最后根据不同三角形对称轴的数量判断④，统计正确说法的总数即可选出答案。
【解析】
我们对四个说法逐一分析：
①根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分，因此对应点连线的垂直平分线就是对称轴，该说法正确；
②若对称点本身在对称轴上，它的对称点就是自身，落在对称轴上，并非一定在对称轴两侧，该说法错误；
③关于某条直线对称的两个图形是全等图形，因此关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形，该说法正确；
④普通三角形没有对称轴，等腰三角形只有1条对称轴，只有等边三角形有3条对称轴，因此有三条对称轴的三角形是等边三角形，该说法正确。
综上，正确的说法是①③④，共3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质；全等图形的概念；等边三角形的判定
【点评】
本题侧重考查轴对称相关的基础概念，解题时要注意特殊情况（如对称点在对称轴上），避免因忽略特例判断错误，属于对基础概念掌握情况的考查。
【难度系数】
0.7
这是一道轴对称相关概念的辨析题，解题思路是逐个判断四个说法的正误：首先回忆轴对称的基本性质，判断①②的对错；再结合轴对称与全等的关系判断③；最后根据不同三角形对称轴的数量判断④，统计正确说法的总数即可选出答案。
【解析】
我们对四个说法逐一分析：
①根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分，因此对应点连线的垂直平分线就是对称轴，该说法正确；
②若对称点本身在对称轴上，它的对称点就是自身，落在对称轴上，并非一定在对称轴两侧，该说法错误；
③关于某条直线对称的两个图形是全等图形，因此关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形，该说法正确；
④普通三角形没有对称轴，等腰三角形只有1条对称轴，只有等边三角形有3条对称轴，因此有三条对称轴的三角形是等边三角形，该说法正确。
综上，正确的说法是①③④，共3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质；全等图形的概念；等边三角形的判定
【点评】
本题侧重考查轴对称相关的基础概念，解题时要注意特殊情况（如对称点在对称轴上），避免因忽略特例判断错误，属于对基础概念掌握情况的考查。
【难度系数】
0.7
4.如图所示,共有等腰三角形(
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A
).A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
4.A
解析
【分析】
要判断图中等腰三角形的个数，依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，我们可以先利用三角形内角和为180°、邻补角互补的性质，算出所有三角形的内角度数，再按顺序逐个判定有两个内角相等的三角形，避免遗漏或重复计数。
【解析】
我们逐一分析图中的三角形：
1. 对于$△ BCE$：已知$∠ EBC=∠ ECB=36°$，根据等角对等边，$△ BCE$是等腰三角形；
2. 计算得$∠ BEC=180°-36°-36°=108°$，它的邻补角$∠ AEB=∠ DEC=180°-108°=72°$；
3. 对于$△ ABE$：$∠ A=72°$，$∠ AEB=72°$，即$∠ A=∠ AEB$，根据等角对等边，$△ ABE$是等腰三角形；
4. 对于$△ DEC$：$∠ D=72°$，$∠ DEC=72°$，即$∠ D=∠ DEC$，根据等角对等边，$△ DEC$是等腰三角形；
5. 对于$△ ABC$：$∠ A=72°$，$∠ ACB=36°$，则$∠ ABC=180°-72°-36°=72°$，即$∠ A=∠ ABC$，根据等角对等边，$△ ABC$是等腰三角形；
6. 对于$△ DBC$：$∠ D=72°$，$∠ DBC=36°$，则$∠ BCD=180°-72°-36°=72°$，即$∠ D=∠ BCD$，根据等角对等边，$△ DBC$是等腰三角形。
综上共有5个等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
1. 等腰三角形判定
2. 三角形内角和定理
3. 邻补角性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题时要按顺序逐一分析每个三角形的内角，避免出现漏数的情况，熟练掌握三角形内角和性质和等腰三角形判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要判断图中等腰三角形的个数，依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，我们可以先利用三角形内角和为180°、邻补角互补的性质，算出所有三角形的内角度数，再按顺序逐个判定有两个内角相等的三角形，避免遗漏或重复计数。
【解析】
我们逐一分析图中的三角形：
1. 对于$△ BCE$：已知$∠ EBC=∠ ECB=36°$，根据等角对等边，$△ BCE$是等腰三角形；
2. 计算得$∠ BEC=180°-36°-36°=108°$，它的邻补角$∠ AEB=∠ DEC=180°-108°=72°$；
3. 对于$△ ABE$：$∠ A=72°$，$∠ AEB=72°$，即$∠ A=∠ AEB$，根据等角对等边，$△ ABE$是等腰三角形；
4. 对于$△ DEC$：$∠ D=72°$，$∠ DEC=72°$，即$∠ D=∠ DEC$，根据等角对等边，$△ DEC$是等腰三角形；
5. 对于$△ ABC$：$∠ A=72°$，$∠ ACB=36°$，则$∠ ABC=180°-72°-36°=72°$，即$∠ A=∠ ABC$，根据等角对等边，$△ ABC$是等腰三角形；
6. 对于$△ DBC$：$∠ D=72°$，$∠ DBC=36°$，则$∠ BCD=180°-72°-36°=72°$，即$∠ D=∠ BCD$，根据等角对等边，$△ DBC$是等腰三角形。
综上共有5个等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
1. 等腰三角形判定
2. 三角形内角和定理
3. 邻补角性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题时要按顺序逐一分析每个三角形的内角，避免出现漏数的情况，熟练掌握三角形内角和性质和等腰三角形判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$3×3$的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形是等腰三角形的有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)。A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
5.B
解析
【分析】
我们可以设每个小正方形的边长为1，要判断选取C、D、E、F中某一点与A、B组成的三角形是否为等腰三角形，只需依次计算选取各点时三角形三边的长度，验证是否存在两条边长度相等即可，同时要注意三点共线时无法构成三角形，需要排除这种情况。
【解析】
设每个小方格的边长为1，根据勾股定理计算各线段长度：
1. 选取点C：$AC=2$，$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，可得$AB=BC$，$△ ABC$是等腰三角形；
2. 选取点D：$AD=1$，$AB=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，可得$AB=BD$，$△ ABD$是等腰三角形；
3. 选取点E：A、E、B三点在同一条直线上，无法构成三角形，不符合要求；
4. 选取点F：$BF=2$，$AB=\sqrt{5}$，$AF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，可得$AB=AF$，$△ ABF$是等腰三角形。
综上，符合条件的等腰三角形共有3个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理的应用；三角形的定义
【点评】
这道题考查格点中等腰三角形的判定，解题时要注意先排除三点共线的情况，再结合勾股定理计算线段长度来判断是否符合等腰三角形的条件，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.7
我们可以设每个小正方形的边长为1，要判断选取C、D、E、F中某一点与A、B组成的三角形是否为等腰三角形，只需依次计算选取各点时三角形三边的长度，验证是否存在两条边长度相等即可，同时要注意三点共线时无法构成三角形，需要排除这种情况。
【解析】
设每个小方格的边长为1，根据勾股定理计算各线段长度：
1. 选取点C：$AC=2$，$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，可得$AB=BC$，$△ ABC$是等腰三角形；
2. 选取点D：$AD=1$，$AB=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，可得$AB=BD$，$△ ABD$是等腰三角形；
3. 选取点E：A、E、B三点在同一条直线上，无法构成三角形，不符合要求；
4. 选取点F：$BF=2$，$AB=\sqrt{5}$，$AF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，可得$AB=AF$，$△ ABF$是等腰三角形。
综上，符合条件的等腰三角形共有3个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理的应用；三角形的定义
【点评】
这道题考查格点中等腰三角形的判定，解题时要注意先排除三点共线的情况，再结合勾股定理计算线段长度来判断是否符合等腰三角形的条件，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.7
6.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，将其折叠，使点$A$落在边$CB$上点$A'$处，折痕为$CD$，则$∠ A'DB$的大小为(
A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$10°$
D
).A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$10°$
答案
6.D
解析
【分析】
解决本题首先明确折叠的核心性质：折叠前后对应角相等。第一步先利用直角三角形内角和求出∠B的度数，第二步根据折叠性质得到∠CA'D与∠A的等量关系，第三步利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入角度计算即可得到∠A'DB的大小。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ B=180° - ∠ ACB - ∠ A=180° -90° -50°=40°$。
由折叠的性质可知，$△ CDA≌△ CDA'$，因此$∠ CA'D=∠ A=50°$。
$\because ∠ CA'D$是$△ A'BD$的外角，
$\therefore ∠ CA'D=∠ B + ∠ A'DB$，
$\therefore ∠ A'DB=∠ CA'D - ∠ B=50° -40°=10°$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质、三角形内角和、三角形外角性质
【点评】
本题属于折叠类基础几何计算题，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形角的相关性质即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解决本题首先明确折叠的核心性质：折叠前后对应角相等。第一步先利用直角三角形内角和求出∠B的度数，第二步根据折叠性质得到∠CA'D与∠A的等量关系，第三步利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入角度计算即可得到∠A'DB的大小。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ B=180° - ∠ ACB - ∠ A=180° -90° -50°=40°$。
由折叠的性质可知，$△ CDA≌△ CDA'$，因此$∠ CA'D=∠ A=50°$。
$\because ∠ CA'D$是$△ A'BD$的外角，
$\therefore ∠ CA'D=∠ B + ∠ A'DB$，
$\therefore ∠ A'DB=∠ CA'D - ∠ B=50° -40°=10°$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质、三角形内角和、三角形外角性质
【点评】
本题属于折叠类基础几何计算题，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形角的相关性质即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
7.在平面直角坐标系中，已知点$A(4,3)$，点$A'$与点$A$关于直线$x=1$轴对称，则点$A'$的坐标为(
A.$(-4,3)$
B.$(4,-1)$
C.$(-2,3)$
D.$(4,-3)$
C
).A.$(-4,3)$
B.$(4,-1)$
C.$(-2,3)$
D.$(4,-3)$
答案
7.C
解析
【分析】
解决本题首先要明确关于垂直于x轴的直线x=a对称的点的坐标规律：一是对称两点的纵坐标相等，因为对称是沿竖直线左右翻转，上下位置不发生变化；二是两点到直线x=a的水平距离相等，即两点横坐标的中点在对称轴x=a上。我们先求出点A到对称轴x=1的水平距离，再根据对称性质算出A'的横坐标，结合不变的纵坐标即可得到A'的坐标。
【解析】
解：
∵点A'与点A(4,3)关于直线x=1对称，
∴两点的纵坐标相同，且横坐标到直线x=1的距离相等。
点A的横坐标为4，到x=1的距离为：4 - 1 = 3，
因此点A'的横坐标为：1 - 3 = -2，纵坐标为3，
即点A'的坐标为(-2,3)。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称的坐标变化
2. 平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查关于竖直线对称的点的坐标特征，只要掌握对称点纵坐标不变、横坐标到对称轴距离相等的规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确关于垂直于x轴的直线x=a对称的点的坐标规律：一是对称两点的纵坐标相等，因为对称是沿竖直线左右翻转，上下位置不发生变化；二是两点到直线x=a的水平距离相等，即两点横坐标的中点在对称轴x=a上。我们先求出点A到对称轴x=1的水平距离，再根据对称性质算出A'的横坐标，结合不变的纵坐标即可得到A'的坐标。
【解析】
解：
∵点A'与点A(4,3)关于直线x=1对称，
∴两点的纵坐标相同，且横坐标到直线x=1的距离相等。
点A的横坐标为4，到x=1的距离为：4 - 1 = 3，
因此点A'的横坐标为：1 - 3 = -2，纵坐标为3，
即点A'的坐标为(-2,3)。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 轴对称的坐标变化
2. 平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查关于竖直线对称的点的坐标特征，只要掌握对称点纵坐标不变、横坐标到对称轴距离相等的规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
8.下列图形是将正三角形按一定规律排列而成的,则第4个图形中所有正三角形的个数是(
A.160
B.161
C.162
D.163
……
B
).A.160
B.161
C.162
D.163
……答案
8.B
解析
【分析】
要解决这道图形规律题，我们可以先从统计前3个已知图形的正三角形总数入手，先准确数出每个图形的正三角形个数，再观察相邻两个数的变化规律，总结出通用的数量关系后，就能计算出第4个图形的正三角形总个数。具体步骤：第一步数第1、2、3个图形的正三角形数量；第二步找数量的变化规律；第三步代入规律计算第4个的数量。
【解析】
首先统计前3个图形的正三角形个数：
第1个图形：正三角形总个数为5；
第2个图形：正三角形总个数为17；
第3个图形：正三角形总个数为53；
观察数量规律：$17 = 5×3 + 2$，$53 = 17×3 + 2$，即后一个图形的正三角形个数 = 前一个图形正三角形个数×3 + 2。
也可总结通项公式：第$n$个图形正三角形个数为$a_n=2×3^n -1$，验证：$n=1$时，$2×3^1-1=5$，符合；$n=2$时，$2×3^2-1=17$，符合；$n=3$时，$2×3^3-1=53$，符合。
则第4个图形正三角形个数为：$2×3^4 -1=2×81 -1=161$，或用递推计算：$53×3 +2=161$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，有理数运算，归纳推理
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题的核心是通过对前几个图形的观察、计数，归纳出数量变化的通用规律，再利用规律求解未知量，能够有效锻炼观察能力和归纳思维。
【难度系数】
0.6
要解决这道图形规律题，我们可以先从统计前3个已知图形的正三角形总数入手，先准确数出每个图形的正三角形个数，再观察相邻两个数的变化规律，总结出通用的数量关系后，就能计算出第4个图形的正三角形总个数。具体步骤：第一步数第1、2、3个图形的正三角形数量；第二步找数量的变化规律；第三步代入规律计算第4个的数量。
【解析】
首先统计前3个图形的正三角形个数：
第1个图形：正三角形总个数为5；
第2个图形：正三角形总个数为17；
第3个图形：正三角形总个数为53；
观察数量规律：$17 = 5×3 + 2$，$53 = 17×3 + 2$，即后一个图形的正三角形个数 = 前一个图形正三角形个数×3 + 2。
也可总结通项公式：第$n$个图形正三角形个数为$a_n=2×3^n -1$，验证：$n=1$时，$2×3^1-1=5$，符合；$n=2$时，$2×3^2-1=17$，符合；$n=3$时，$2×3^3-1=53$，符合。
则第4个图形正三角形个数为：$2×3^4 -1=2×81 -1=161$，或用递推计算：$53×3 +2=161$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，有理数运算，归纳推理
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题的核心是通过对前几个图形的观察、计数，归纳出数量变化的通用规律，再利用规律求解未知量，能够有效锻炼观察能力和归纳思维。
【难度系数】
0.6
