1. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,DC上,AE,AF分别交BD于点M,N,连结EF,CN,EN,且$CN=EN$.下列结论:①$AN=EN,AN⊥EN$;②$BE+DF=EF$;③$∠DFE=2∠AMN$;④$EF=\sqrt{2}MN$;⑤图中只有4对相似三角形,其中正确结论的序号是.

①②③④

【分析】
本题是正方形半角模型的综合题，解题思路如下：1. 先利用正方形对角线的性质证明三角形全等，结合已知CN=EN推导①的结论；2. 由①得到∠EAF=45°，利用旋转法构造全等三角形证明线段和差关系，判断②；3. 利用外角性质和全等三角形对应角相等，进行角度转化判断③；4. 通过证明三角形相似，结合相似比推导线段数量关系判断④；5. 统计相似三角形对数判断⑤。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 证明结论①：
在正方形ABCD中，AB=BC，BD是对角线，故∠ABN=∠CBN=45°，又BN=BN，
∴△ABN≌△CBN（SAS），得AN=CN，∠BAN=∠BCN。
已知CN=EN，
∴AN=EN，且∠NEC=∠BCN=∠BAN。
在四边形ABEN中，内角和为360°，∠ABE=90°，∠BEN=180°-∠NEC=180°-∠BAN，
∴∠ANE=360°-90°-∠BAN-(180°-∠BAN)=90°，即AN⊥EN，故①正确。
2. 证明结论②：
由①得△ANE为等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，即∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°。
将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，则AG=AF，BG=DF，∠GAB=∠DAF，
∴∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF，又AE=AE，
∴△AGE≌△AFE（SAS），得EF=GE=BE+BG=BE+DF，故②正确。
3. 证明结论③：
∠AMN是△ABM的外角，
∴∠AMN=∠BAM+∠ABM=∠BAM+45°。
由△AGE≌△AFE得∠AFE=∠AFD，故∠DFE=∠AFD+∠AFE=2∠AFD。
在Rt△ADF中，∠AFD=90°-∠DAF，又∠DAF=45°-∠BAM，
代入得∠AFD=90°-(45°-∠BAM)=45°+∠BAM=∠AMN，
∴∠DFE=2∠AMN，故③正确。
4. 证明结论④：
连接AC，正方形中AC=√2 AB，∠BAC=∠EAF=45°，故∠BAM=∠CAF，∠ABM=∠ACF=45°，
∴△ABM∽△ACF，同理△ABN∽△ACE，得$\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AF}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
又∠MAN=∠EAF=45°，
∴△AMN∽△AEF，
∴$\frac{MN}{EF}=\frac{AM}{AE}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，即$EF=\sqrt{2}MN$，故④正确。
5. 判断结论⑤：
图中相似三角形有△ABN∽△CBN、△ADN∽△CDN、△AMN∽△AEF、△ABM∽△ACF、△ABN∽△ACE等，远多于4对，故⑤错误。
【答案】
①②③④
【知识点】
正方形的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质
【点评】
本题以正方形为载体，结合半角模型考查几何综合推导能力，需要灵活运用旋转构造全等、角度转化、相似证明等方法，综合性较强。
【难度系数】
0.3

2. ★★ (1) 如图①，D，E 为等边三角形 ABC 中 BC 边所在直线上两点，∠DAE = 120°，求证：△ABD∽△ECA；
(2) 如图②，在△ADE 中，∠DAE=120°，请用不含刻度的直尺和圆规在 DE 上求作两点 B，C，点 B 在点 C 的左侧，使得△ABC 为等边三角形；
(3) 如图③，在(1)的条件下，H 为 BC 边上一点，过点 H 作 HF//AD 交 AB 延长线于点 F，HG//AE 交 AC 延长线于点 G，若 AB=6，BD=a，∠HAE=60°，求$\frac{HF}{HG}$的值.(用含有 a 的代数式表示)

＞＞ 进一步挑战进阶专题:P99 专题14~P103 专题17

(1)
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°,
∴ ∠ABD= ∠ACE = 120°,
∴ ∠D + ∠BAD = 60°.
∵ ∠DAE = 120°,
∴ ∠BAD+∠CAE= ∠DAE-∠BAC=60°,
∴ ∠D = ∠CAE,
∴ △ABD∽△ECA.
(2)如图,△ABC 即为所求.理由:根据作图得∠BAD = ∠E,∠CAE= ∠D,
∴ △ABD ∽ △ECA,
∴ ∠ABD = ∠ACE,
∴ ∠ABC = ∠ACB.
∵ ∠DAE=120°,
∴ ∠D+∠E = ∠D+∠BAD = 60°, ∠D+∠E = ∠E+∠CAE= 60°, ∠ACB = ∠E+∠CAE = 60°,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°,
∴ ∠BAC= ∠ABC= ∠ACB=60°,
∴ △ABC 是等边三角形.

(3)
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠BAC=60°,AB=AC=6.
∵ ∠HAE=60°,∠DAE = 120°,
∴ ∠DAH = ∠EAH = ∠BAC = 60°,
∴ ∠BAD = ∠GAH, ∠FAH = ∠CAE.
∵ HF // AD,
∴ ∠F = ∠BAD, 由(1)得△ABD∽△ECA,
∴ $\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{AC}$, ∠BAD = ∠E, ∠D = ∠EAC,
∴ $\frac{6}{CE}=\frac{a}{6}$,即 $CE=\frac{36}{a}$, ∠F = ∠E,
∴ △AFH∽△AEC,
∴ $\frac{FH}{CE}=\frac{AH}{AC}$, 同理△AGH∽△ADB,
∴ $\frac{GH}{BD}=\frac{AH}{AB}$,
∴ $\frac{GH}{BD}=\frac{FH}{CE}$,
∴ $\frac{HF}{HG}=\frac{CE}{BD}=\frac{\frac{36}{a}}{a}=\frac{36}{a^2}$.

【分析】
(1) 要证△ABD∽△ECA，可先利用等边三角形的性质得到∠ABD、∠ECA均为120°，再结合∠DAE=120°推导两组角对应相等，即可通过两角对应相等判定相似。
(2) 要作满足条件的等边△ABC，可利用(1)的相似结论，通过尺规作角的方法，构造∠BAD=∠E、∠CAE=∠D，即可得到符合要求的点B、C。
(3) 先借助(1)的相似结论求出CE的长度，再根据平行线的性质得到等角，证明两组新的相似三角形，通过比例式消去公共项即可推出HF与HG的比值。
【解析】
(1)
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°,
∴ ∠ABD= ∠ACE = 180°-60°=120°,
∴ ∠D + ∠BAD = 180°-∠ABD=60°.
∵ ∠DAE = 120°,
∴ ∠BAD+∠CAE= ∠DAE-∠BAC=120°-60°=60°,
∴ ∠D = ∠CAE,
又
∵ ∠ABD=∠ECA=120°,
∴ △ABD∽△ECA.
(2) 作图方法：分别作∠BAD=∠E，∠CAE=∠D，两角与DE的交点分别为B、C（B在C左侧），所得△ABC即为所求。
理由：根据作图得∠BAD = ∠E,∠CAE= ∠D,
∴ △ABD ∽ △ECA,
∴ ∠ABD = ∠ACE,
∴ ∠ABC = ∠ACB.
∵ ∠DAE=120°,
∴ ∠D+∠E = 60°,
∴ ∠ACB = ∠E+∠CAE = ∠D+∠E=60°,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°,
∴ ∠BAC= 180°-∠ABC-∠ACB=60°,
即∠BAC= ∠ABC= ∠ACB=60°,
∴ △ABC 是等边三角形.

(3)
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠BAC=60°,AB=AC=6.
∵ ∠HAE=60°,∠DAE = 120°,
∴ ∠DAH = ∠DAE-∠HAE=60°,即∠DAH = ∠EAH = ∠BAC = 60°,
∴ ∠BAD = ∠GAH, ∠FAH = ∠CAE.
∵ HF // AD,
∴ ∠F = ∠BAD, 由(1)得△ABD∽△ECA,
∴ $\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{AC}$, ∠BAD = ∠E, ∠D = ∠EAC,
代入AB=AC=6，BD=a，得 $\frac{6}{CE}=\frac{a}{6}$,即 $CE=\frac{36}{a}$, ∠F = ∠E,
又
∵ ∠FAH=∠CAE，
∴ △AFH∽△AEC,
∴ $\frac{FH}{CE}=\frac{AH}{AC}$,
同理，
∵ HG//AE，可得∠G=∠CAE=∠D，∠GAH=∠BAD，
∴ △AGH∽△ADB,
∴ $\frac{GH}{BD}=\frac{AH}{AB}$,
又
∵ AB=AC，
∴ $\frac{GH}{BD}=\frac{FH}{CE}$,
∴ $\frac{HF}{HG}=\frac{CE}{BD}=\frac{\frac{36}{a}}{a}=\frac{36}{a^2}$.
【答案】
(1) 证明成立；
(2) 所作等边三角形如图所示：
(3) $\frac{HF}{HG}=\frac{36}{a^2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，尺规作图
【点评】
本题是半角模型的典型应用，三个小问层层递进，既考查了基础的几何性质应用，也考查了作图能力和比例代换的逻辑推导能力，能有效检验对相似几何模型的掌握程度。
【难度系数】
0.6