1. ★★★(2024·德州中考)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BD⊥ AC$,垂足为$D$,$AE$平分$∠ BAC$,分别交$BD$,$BC$于点$F$,$E$.若$AB:BC=3:4$,则$BF:FD$为 ()

A.$5:3$
B.$5:4$
C.$4:3$
D.$2:1$

1. A

【分析】
首先根据Rt△ABC中AB与BC的比例关系，设参数表示三边长度，通过勾股定理求出斜边AC的长度；再利用直角三角形斜边上高的性质（射影定理）求出AD的长度；最后在△ABD中应用角平分线定理，即可求出BF与FD的比值。
【解析】
设$AB=3k$，$BC=4k$（$k＞0$），
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$，
$\because BD⊥ AC$，由射影定理可得$AB^2=AD· AC$，
$\therefore AD=\frac{AB^2}{AC}=\frac{9k^2}{5k}=\frac{9k}{5}$，
$\because AE$平分$∠ BAC$，即$AF$平分$∠ BAD$，
在$△ ABD$中，根据角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，
$\therefore \frac{BF}{FD}=\frac{AB}{AD}=\frac{3k}{\frac{9k}{5}}=\frac{5}{3}$，
即$BF:FD=5:3$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，射影定理，角平分线定理
【点评】
本题是直角三角形与角平分线性质的综合题，通过设参数简化计算，熟练掌握相关定理能大幅提升解题效率，解题时要注意比例关系的对应，避免计算错误。
【难度系数】
0.6

2. ★★★ 如图,在梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$∠ B=90°$,$E$为$AB$上一点,分别以$ED$,$EC$为折痕将两个角($∠ A$,$∠ B$)向内折叠,点$A$、点$B$恰好都落在$CD$边上的点$F$处,若$AD=4$,$BC=6$,则$EF$的值是.

2. $2\sqrt{6}$

【分析】
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应边相等、对应角相等，可先得出AD=DF、BC=CF，进而求出CD的长度；再通过折叠前后对应角相等推导出∠DEC为直角，且EF垂直于CD，此时图形符合射影定理的模型，利用射影定理即可直接求出EF的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可知：
$AD = DF = 4$，$BC = CF = 6$，$∠ A = ∠ DFE = 90°$，$∠ B = ∠ CFE = 90°$，$∠ AED = ∠ FED$，$∠ BEC = ∠ FEC$。
1. 求$CD$的长度：
$CD = DF + CF = 4 + 6 = 10$。
2. 推导$∠ DEC$的度数：
$\because ∠ AED + ∠ FED + ∠ BEC + ∠ FEC = 180°$
$\therefore 2(∠ FED + ∠ FEC) = 180°$，即$∠ DEC = ∠ FED + ∠ FEC = 90°$。
3. 利用射影定理求$EF$：
$\because EF ⊥ CD$，$△ DEC$为直角三角形，$EF$是斜边$CD$上的高
$\therefore$ 根据射影定理可得：$EF^2 = DF · CF$
代入$DF=4$，$CF=6$得：$EF^2 = 4 × 6 = 24$
$\because EF ＞ 0$，$\therefore EF = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
折叠的性质；射影定理；梯形的性质
【点评】
本题是折叠变换与几何计算结合的典型题目，解题的核心是利用折叠的性质得到线段、角的等量关系，识别出直角三角形斜边上的高的射影模型，进而快速求解，也可通过作梯形的高构造直角三角形进行计算，能够较好地考查学生对图形变换和相似模型的掌握程度。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D$是边$BC$的中点,连结$AD$.过点$C$作$CE ⊥ AD$于点$E$,连结$BE$.
(1)求证:$BD^2 = DE · AD$;
(2)如果$∠ ABC = ∠ DCE$,求证:$BD · CE = BE · DE$.

3. (1) $\because CE ⊥ AD, \therefore ∠ CED = ∠ ACD = 90°. \because ∠ CDE = ∠ ADC,$
$\therefore △ CDE ∽ △ ADC, \therefore \frac{CD}{AD}=\frac{DE}{CD}, \therefore CD^2 = DE · AD. \because$ 点 $D$ 是边 $BC$ 的中点, $\therefore DB=CD, \therefore BD^2 = DE · AD.$
(2) $\because BD^2 = DE · AD, \therefore \frac{BD}{AD}=\frac{DE}{BD}. \because ∠ BDE = ∠ ADB,$
$\therefore △ BDE ∽ △ ADB, \therefore ∠ DEB = ∠ ABC. \because ∠ ABD = ∠ ECD, \therefore ∠ BED = ∠ BCE. \because ∠ EBD = ∠ CBE, \therefore △ EBD ∽ △ CBE, \therefore \frac{BE}{BD}=\frac{CE}{DE}, \therefore BD · CE = BE · DE.$

【分析】
(1) 要证$BD^2 = DE · AD$，结合D是BC中点可知$BD=CD$，因此只需先证$CD^2=DE·AD$。将等积式转化为比例式$\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{CD}$后，可推出需证$△ CDE∽△ ADC$。由$CE⊥AD$得$∠CED=∠ACD=90°$，再结合公共角$∠CDE=∠ADC$即可证得两三角形相似，代入对应边比例关系，替换$CD=BD$即可得证。
(2) 要证$BD · CE = BE · DE$，先转化为比例式$\frac{BD}{BE}=\frac{DE}{CE}$，需证明对应三角形相似。首先利用(1)的结论将$BD^2=DE·AD$转化为比例式，结合公共角$∠BDE=∠ADB$可证$△ BDE∽△ ADB$，得到$∠DEB=∠ABC$；再结合已知$∠ABC=∠DCE$，推出$∠BED=∠BCE$，搭配公共角$∠EBD=∠CBE$证得$△ EBD∽△ CBE$，整理对应边比例关系即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because CE ⊥ AD$，$\therefore ∠ CED = ∠ ACD = 90°$，
$\because ∠ CDE = ∠ ADC$（公共角），
$\therefore △ CDE ∽ △ ADC$，
$\therefore \frac{CD}{AD}=\frac{DE}{CD}$，即$CD^2 = DE · AD$，
$\because$ 点$D$是边$BC$的中点，$\therefore DB=CD$，
$\therefore BD^2 = DE · AD$。
(2) 证明：
由(1)得$BD^2 = DE · AD$，$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{DE}{BD}$，
$\because ∠ BDE = ∠ ADB$（公共角），
$\therefore △ BDE ∽ △ ADB$，
$\therefore ∠ DEB = ∠ ABC$，
$\because ∠ ABC = ∠ DCE$，$\therefore ∠ BED = ∠ BCE$，
$\because ∠ EBD = ∠ CBE$（公共角），
$\therefore △ EBD ∽ △ CBE$，
$\therefore \frac{BE}{BD}=\frac{CE}{DE}$，
$\therefore BD · CE = BE · DE$。
【答案】
(1) $BD^2 = DE · AD$得证；
(2) $BD · CE = BE · DE$得证。
【知识点】
1.相似三角形判定与性质
2.等积式比例式转化
3.中点的性质
【点评】
本题是相似三角形证明的常规题型，解题核心是将待证等积式转化为比例式，通过寻找角的等量关系证明三角形相似，解题时可优先利用前一问的结论简化推导过程。
【难度系数】
0.65