3. 如图,在$\odot O$中,直径AB与弦CD相交于点E,连结AC,BD.
(1)求证:$△ AEC ∽ △ DEB$;
(2)连结AD,若$AD=3,∠ C=30°$,求$\odot O$的半径.

3. (1) 在$\odot O$中,$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD},\therefore ∠ C = ∠ B.$ 又$\because ∠ AEC = ∠ DEB,$
$\therefore △ AEC ∽ △ DEB.$
(2) $\because ∠ C = 30°,$ 由(1)可知, $∠ B = ∠ C = 30°. \because AB$ 为直径,
$\therefore ∠ ADB=90°,\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$AD=3,∠ B=30°,\therefore AB=2AD=6,$
$\therefore OA=\frac{1}{2}AB=3,$即$\odot O$的半径为3.

【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，可优先找两角对应相等的条件：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠C和∠B相等；再结合对顶角相等，即可满足相似三角形的判定条件。
(2) 求圆的半径，可先求直径AB的长度：由(1)的结论得到∠B=∠C=30°，再根据直径所对的圆周角是直角，可知△ADB是直角三角形，利用含30°角的直角三角形的边长关系求出直径，再除以2即可得到半径。
【解析】
(1) 在$\odot O$中，$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}$，$\therefore ∠C = ∠B$。
又$\because ∠AEC = ∠DEB$（对顶角相等），
$\therefore △AEC ∽ △DEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) $\because ∠C = 30°$，由(1)可知$∠B = ∠C = 30°$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$AD=3$，$∠B=30°$，
$\therefore AB=2AD=6$（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半），
$\therefore OA=\frac{1}{2}AB=3$，即$\odot O$的半径为3。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，难度较低，解题的关键是熟练掌握圆中角的等量关系，结合相似三角形、特殊直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

4. 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BE$是$AC$边上的中线，点$D$在射线$BC$上.
(1)如图①，点$D$在$BC$边上，$CD: BD=1:2$，$AD$与$BE$相交于点$P$，过点$A$作$AF// BC$，交$BE$的延长线于点$F$，则$\frac{AP}{PD}$的值为；
(2)如图②，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点$D$在$BC$的延长线上，$AD$与$AC$边上的中线$BE$的延长线交于点$P$，$DC: BC=1:2$，求$\frac{AP}{PD}$的值；
(3)在(2)的条件下，若$CD=2$，$AC=6$，则$BP=$.

4. (1) $\frac{3}{2}$ 解析: , $\because AF // BC,\therefore ∠ F = ∠ EBC.\because ∠ AEF = ∠ BEC,AE=EC,\therefore △ AEF ≌ △ CEB(\mathrm{AAS}),\therefore AF=BC.$
设$CD=k$,则$DB=2k,AF=BC=3k.\because AF // BC,\therefore △ APF ∽ △ DPB,$
$\therefore \frac{PA}{PD}=\frac{AF}{BD}=\frac{3}{2}.$
(2) ,过点$A$作$AF// DB$,交$BE$的延长线于点$F$,设$DC=k$,由$DC: BC=1: 2$得$BC=2k,DB=DC+BC=3k.\because E$是$AC$中点,$\therefore AE=CE.\because AF // DB,\therefore ∠ F=∠ 1.$在$△ AEF$和$△ CEB$中,
$\begin{cases}∠ F=∠ 1,\\∠ 2=∠ 3,\\AE=CE,\end{cases}$$\therefore △ AEF ≌ △ CEB,\therefore EF=BE,AF=BC=2k.\because AF // DB,$
$\therefore △ AFP ∽ △ DBP,\therefore \frac{AP}{DP}=\frac{FP}{BP}=\frac{AF}{BD}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}.$
(3) 6 解析: 当$CD=2$时,$BC=4.\because AC=6,\therefore EC=AE=3,\therefore EB=\sqrt{EC^2+BC^2}=5.\therefore EF=BE=5,BF=10.\because \frac{FP}{BP}=\frac{2}{3},\therefore \frac{BF}{BP}=\frac{5}{3},\therefore BP=\frac{3}{5}BF=\frac{3}{5}×10=6.$

【分析】
(1) 首先利用AF平行BC和E是AC中点的条件，证明△AEF和△CEB全等，得到AF=BC；再结合CD:BD=1:2设参数表示BD、AF的长度，最后由AF平行BC得到△APF和△DPB相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{AP}{PD}$的值。
(2) 思路与(1)类似，过A作AF平行DB，先通过AAS证明△AEF≌△CEB，得到AF=BC，结合DC:BC=1:2设参数表示AF、BD的长度，再由AF平行DB得到△AFP∽△DBP，根据相似比求出$\frac{AP}{PD}$的值。
(3) 先根据CD的长度和DC:BC的比例求出BC的长度，再结合AC的长度和E是AC中点得到EC的长度，用勾股定理求出BE的长，结合(2)中全等的结论可得BF的长，再利用(2)的比例关系即可求出BP的长度。
【解析】
(1) , $\because AF // BC,\therefore ∠ F = ∠ EBC$。$\because ∠ AEF = ∠ BEC,AE=EC,\therefore △ AEF ≌ △ CEB(\mathrm{AAS}),\therefore AF=BC$。
设$CD=k$，则$DB=2k,AF=BC=CD+BD=3k$。$\because AF // BC,\therefore △ APF ∽ △ DPB$，
$\therefore \frac{PA}{PD}=\frac{AF}{BD}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$。
(2) ,过点$A$作$AF// DB$，交$BE$的延长线于点$F$，设$DC=k$，由$DC: BC=1: 2$得$BC=2k,DB=DC+BC=3k$。$\because E$是$AC$中点，$\therefore AE=CE$。$\because AF // DB,\therefore ∠ F=∠ 1$。在$△ AEF$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ F=∠ 1,\\∠ 2=∠ 3,\\AE=CE,\end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ CEB(\mathrm{AAS}),\therefore EF=BE,AF=BC=2k$。$\because AF // DB$，
$\therefore △ AFP ∽ △ DBP,\therefore \frac{AP}{DP}=\frac{FP}{BP}=\frac{AF}{BD}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$。
(3) 当$CD=2$时，由$DC:BC=1:2$得$BC=4$。$\because AC=6$，$E$是$AC$中点，$\therefore EC=AE=3$。在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理得$EB=\sqrt{EC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。$\therefore EF=BE=5,BF=BE+EF=10$。
由(2)知$\frac{FP}{BP}=\frac{2}{3}$，$\therefore \frac{FP+BP}{BP}=\frac{2+3}{3}$，即$\frac{BF}{BP}=\frac{5}{3}$，$\therefore BP=\frac{3}{5}BF=\frac{3}{5}×10=6$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$
(2) $\frac{2}{3}$
(3) $6$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题围绕平行线构造全等、相似模型展开，解题的关键是利用中线的性质证明三角形全等得到等线段，再结合平行线得到相似三角形，通过比例转化求解对应线段的比值或长度，能够锻炼学生构造辅助线和转化比例的能力。
【难度系数】
0.65