登录
1. 把抛物线$y=x^2$向下平移3个单位长度，所得抛物线的函数表达式为（
A.$y=(x+3)^2$
B.$y=x^2+3$
C.$y=(x-3)^2$
D.$y=x^2-3$
D
）A.$y=(x+3)^2$
B.$y=x^2+3$
C.$y=(x-3)^2$
D.$y=x^2-3$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先明确二次函数图象的平移规律：上下平移改变函数的常数项，遵循“上加下减”原则，即向上平移n个单位，常数项加n；向下平移n个单位，常数项减n；左右平移改变自变量，遵循“左加右减”原则。本题是向下平移3个单位，属于上下平移，无需改变自变量的形式，因此先排除自变量有加减的A、C选项；再结合向下平移需减3，可排除加3的B选项，即可得出正确答案。
【解析】
解：根据二次函数图象平移的“上加下减，左加右减”规律，将抛物线$y=x^2$向下平移3个单位长度，只需在原函数表达式的基础上整体减去3，因此所得抛物线的函数表达式为$y=x^2-3$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数图象相关的基础题型，主要考查二次函数的上下平移规则，牢记平移口诀即可快速解题，是该板块的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确二次函数图象的平移规律：上下平移改变函数的常数项，遵循“上加下减”原则，即向上平移n个单位，常数项加n；向下平移n个单位，常数项减n；左右平移改变自变量，遵循“左加右减”原则。本题是向下平移3个单位，属于上下平移，无需改变自变量的形式，因此先排除自变量有加减的A、C选项；再结合向下平移需减3，可排除加3的B选项，即可得出正确答案。
【解析】
解：根据二次函数图象平移的“上加下减，左加右减”规律，将抛物线$y=x^2$向下平移3个单位长度，只需在原函数表达式的基础上整体减去3，因此所得抛物线的函数表达式为$y=x^2-3$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数图象相关的基础题型，主要考查二次函数的上下平移规则，牢记平移口诀即可快速解题，是该板块的常考基础题。
【难度系数】
0.9
2. 若抛物线 $y=(x-1)^2 -9$ 经变换后得到抛物线 $y=(x+1)^2 -9$，则下列变换正确的是（
A.向上平移2个单位长度
B.向下平移2个单位长度
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度
C
）A.向上平移2个单位长度
B.向下平移2个单位长度
C.向左平移2个单位长度
D.向右平移2个单位长度
答案
2. C
解析
【分析】
解决这类二次函数图象平移问题，有两种常用思路：一是利用顶点式的性质，先找到平移前后两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的平移方向和距离确定图象的平移方式；二是直接利用二次函数平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”判断，注意“左加右减”是针对单独的自变量x进行操作，而非括号内的整体。我们可以先找两个抛物线的顶点，对比顶点变化即可快速得到答案。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$：
1. 求原抛物线顶点：抛物线$y=(x-1)^2-9$中，$h=1$，$k=-9$，因此顶点坐标为$(1,-9)$；
2. 求变换后抛物线顶点：抛物线$y=(x+1)^2-9$可变形为$y=(x-(-1))^2-9$，因此$h=-1$，$k=-9$，顶点坐标为$(-1,-9)$；
3. 对比顶点变化：两个顶点纵坐标相同，说明没有上下平移；横坐标从$1$变为$-1$，即横坐标减少了$2$，对应图象向左平移2个单位长度。
也可通过平移规律验证：将原抛物线向左平移2个单位时，把原式中$x$替换为$x+2$，代入得$y=(x+2-1)^2-9=(x+1)^2-9$，与变换后的抛物线一致，因此变换为向左平移2个单位长度。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象的平移变换，无论是通过顶点坐标变化判断，还是直接用平移规则推导，都能快速得出结果，熟练掌握平移规律是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.9
解决这类二次函数图象平移问题，有两种常用思路：一是利用顶点式的性质，先找到平移前后两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的平移方向和距离确定图象的平移方式；二是直接利用二次函数平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”判断，注意“左加右减”是针对单独的自变量x进行操作，而非括号内的整体。我们可以先找两个抛物线的顶点，对比顶点变化即可快速得到答案。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$：
1. 求原抛物线顶点：抛物线$y=(x-1)^2-9$中，$h=1$，$k=-9$，因此顶点坐标为$(1,-9)$；
2. 求变换后抛物线顶点：抛物线$y=(x+1)^2-9$可变形为$y=(x-(-1))^2-9$，因此$h=-1$，$k=-9$，顶点坐标为$(-1,-9)$；
3. 对比顶点变化：两个顶点纵坐标相同，说明没有上下平移；横坐标从$1$变为$-1$，即横坐标减少了$2$，对应图象向左平移2个单位长度。
也可通过平移规律验证：将原抛物线向左平移2个单位时，把原式中$x$替换为$x+2$，代入得$y=(x+2-1)^2-9=(x+1)^2-9$，与变换后的抛物线一致，因此变换为向左平移2个单位长度。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象的平移变换，无论是通过顶点坐标变化判断，还是直接用平移规则推导，都能快速得出结果，熟练掌握平移规律是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.9
3. 下列二次函数中,其图象的对称轴为直线$x=2$的是 (
A.$y=x^2 - 2$
B.$y=-x^2 + 2$
C.$y=-(x-2)^2$
D.$y=(x+2)^2$
C
)A.$y=x^2 - 2$
B.$y=-x^2 + 2$
C.$y=-(x-2)^2$
D.$y=(x+2)^2$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次函数不同表达形式对应的对称轴计算方法：①对于一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$；②对于顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，对称轴为直线$x=h$。接下来只需依次计算四个选项对应函数的对称轴，选出对称轴为直线$x=2$的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$y=x^2-2$为一般式，其中$a=1,b=0$，对称轴为$x=-\frac{0}{2×1}=0$，不符合要求；
选项B：$y=-x^2+2$为一般式，其中$a=-1,b=0$，对称轴为$x=-\frac{0}{2×(-1)}=0$，不符合要求；
选项C：$y=-(x-2)^2$为顶点式，对应$h=2$，对称轴为直线$x=2$，符合要求；
选项D：$y=(x+2)^2$为顶点式，可变形为$y=(x-(-2))^2$，对应$h=-2$，对称轴为直线$x=-2$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴求解；二次函数顶点式性质
【点评】
本题是二次函数图象部分的基础常考题，核心考察不同形式二次函数对称轴的计算，只要牢记对应公式、注意顶点式中$h$的符号，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确二次函数不同表达形式对应的对称轴计算方法：①对于一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$；②对于顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，对称轴为直线$x=h$。接下来只需依次计算四个选项对应函数的对称轴，选出对称轴为直线$x=2$的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$y=x^2-2$为一般式，其中$a=1,b=0$，对称轴为$x=-\frac{0}{2×1}=0$，不符合要求；
选项B：$y=-x^2+2$为一般式，其中$a=-1,b=0$，对称轴为$x=-\frac{0}{2×(-1)}=0$，不符合要求；
选项C：$y=-(x-2)^2$为顶点式，对应$h=2$，对称轴为直线$x=2$，符合要求；
选项D：$y=(x+2)^2$为顶点式，可变形为$y=(x-(-2))^2$，对应$h=-2$，对称轴为直线$x=-2$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴求解；二次函数顶点式性质
【点评】
本题是二次函数图象部分的基础常考题，核心考察不同形式二次函数对称轴的计算，只要牢记对应公式、注意顶点式中$h$的符号，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
4. 在同一直角坐标系中，抛物线$y=3x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2 -1$有相同的 （
A.开口方向
B.形状
C.对称轴
D.顶点
C
）A.开口方向
B.形状
C.对称轴
D.顶点
答案
4. C
解析
【分析】
本题考查二次函数的图象与性质，解题思路是先明确二次函数的开口方向、形状、对称轴、顶点分别对应的判断依据，再逐一分析两个抛物线的对应性质，比对选项得出答案。相关判断依据：开口方向由二次项系数a的正负决定，a＞0开口向上，a＜0开口向下；形状由|a|决定，|a|相等则形状相同；对于形如$y=ax^2+k$的二次函数，对称轴均为y轴（直线$x=0$）；顶点坐标为$(0,k)$。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 开口方向：抛物线$y=3x^2$的二次项系数$a=3＞0$，开口向上；抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2 -1$的二次项系数$a=-\frac{1}{3}＜0$，开口向下，二者开口方向不同，排除A；
B. 形状：抛物线形状由$|a|$决定，$|3|=3$，$|-\frac{1}{3}|=\frac{1}{3}$，二者$|a|$不相等，形状不同，排除B；
C. 对称轴：两个抛物线均为$y=ax^2+k$的形式，不含一次项，对称轴都是直线$x=0$（即y轴），二者对称轴相同，符合要求；
D. 顶点：$y=3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=-\frac{1}{3}x^2 -1$的顶点坐标为$(0,-1)$，二者顶点不同，排除D。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴判断；二次函数顶点判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数各项性质与参数的对应关系，解题关键是牢记二次函数开口方向、形状、对称轴、顶点的判断方法，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的图象与性质，解题思路是先明确二次函数的开口方向、形状、对称轴、顶点分别对应的判断依据，再逐一分析两个抛物线的对应性质，比对选项得出答案。相关判断依据：开口方向由二次项系数a的正负决定，a＞0开口向上，a＜0开口向下；形状由|a|决定，|a|相等则形状相同；对于形如$y=ax^2+k$的二次函数，对称轴均为y轴（直线$x=0$）；顶点坐标为$(0,k)$。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 开口方向：抛物线$y=3x^2$的二次项系数$a=3＞0$，开口向上；抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2 -1$的二次项系数$a=-\frac{1}{3}＜0$，开口向下，二者开口方向不同，排除A；
B. 形状：抛物线形状由$|a|$决定，$|3|=3$，$|-\frac{1}{3}|=\frac{1}{3}$，二者$|a|$不相等，形状不同，排除B；
C. 对称轴：两个抛物线均为$y=ax^2+k$的形式，不含一次项，对称轴都是直线$x=0$（即y轴），二者对称轴相同，符合要求；
D. 顶点：$y=3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=-\frac{1}{3}x^2 -1$的顶点坐标为$(0,-1)$，二者顶点不同，排除D。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴判断；二次函数顶点判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数各项性质与参数的对应关系，解题关键是牢记二次函数开口方向、形状、对称轴、顶点的判断方法，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 二次函数 $y=3(x-2)^2$ 的大致图象是 （
D
）答案
5. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步筛选正确图象：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，排除错误选项；第二步再结合顶点式的特征确定抛物线的对称轴和顶点位置，最终选出符合要求的图象。首先，二次函数$y=a(x-m)^2$中，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，本题$a=3＞0$，可先排除开口向下的选项；再根据顶点式的性质，该形式的抛物线对称轴为直线$x=m$，顶点为$(m,0)$，本题$m=2$，即可对应到正确图象。
【解析】
解：对二次函数$y=3(x-2)^2$进行分析：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的A、C选项；
2. 判断对称轴与顶点：该函数为顶点式$y=a(x-m)^2$，其中$m=2$，因此抛物线的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$。
观察剩余选项：B选项对称轴为直线$x=-2$，不符合要求；D选项开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点在$(2,0)$，符合函数图象特征。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质、抛物线开口方向判断、抛物线对称轴判断
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，熟练掌握顶点式二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标的判断规律，就能快速锁定正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以分两步筛选正确图象：第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，排除错误选项；第二步再结合顶点式的特征确定抛物线的对称轴和顶点位置，最终选出符合要求的图象。首先，二次函数$y=a(x-m)^2$中，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，本题$a=3＞0$，可先排除开口向下的选项；再根据顶点式的性质，该形式的抛物线对称轴为直线$x=m$，顶点为$(m,0)$，本题$m=2$，即可对应到正确图象。
【解析】
解：对二次函数$y=3(x-2)^2$进行分析：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的A、C选项；
2. 判断对称轴与顶点：该函数为顶点式$y=a(x-m)^2$，其中$m=2$，因此抛物线的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$。
观察剩余选项：B选项对称轴为直线$x=-2$，不符合要求；D选项开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点在$(2,0)$，符合函数图象特征。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质、抛物线开口方向判断、抛物线对称轴判断
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，熟练掌握顶点式二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标的判断规律，就能快速锁定正确答案。
【难度系数】
0.9
6. 把下表补充完整：
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-5x^2$ | | | |
| $y=\frac{1}{2}x^2+5$ |
| | |
| $y=-3(x+4)^2$ | | | |
| $y=4(x+2)^2-7$ | | | |
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-5x^2$ | | | |
| $y=\frac{1}{2}x^2+5$ |
| | || $y=-3(x+4)^2$ | | | |
| $y=4(x+2)^2-7$ | | | |
答案
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-5x^2$ | 向下 | y轴 | (0,0) |
| $y=\frac{1}{2}x^2+5$ | 向上 | y轴 | (0,5) |
| $y=-3(x+4)^2$ | 向下 | 直线$x=-4$ | (-4,0) |
| $y=4(x+2)^2-7$ | 向上 | 直线$x=-2$ | (-2,-7) |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-5x^2$ | 向下 | y轴 | (0,0) |
| $y=\frac{1}{2}x^2+5$ | 向上 | y轴 | (0,5) |
| $y=-3(x+4)^2$ | 向下 | 直线$x=-4$ | (-4,0) |
| $y=4(x+2)^2-7$ | 向上 | 直线$x=-2$ | (-2,-7) |
解析
【分析】
解题前先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的基本性质：1. 开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 对称轴为直线$x=h$；3. 顶点坐标为$(h,k)$。我们只需将每个抛物线解析式整理为标准顶点式，对应找到$a、h、k$的值，就能依次得出对应的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【解析】
1. 对于$y=-5x^2$，可写成$y=-5(x-0)^2+0$：
$a=-5＜0$，故开口向下；$h=0,k=0$，故对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
2. 对于$y=\frac{1}{2}x^2+5$，可写成$y=\frac{1}{2}(x-0)^2+5$：
$a=\frac{1}{2}＞0$，故开口向上；$h=0,k=5$，故对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,5)$。
3. 对于$y=-3(x+4)^2$，可写成$y=-3(x-(-4))^2+0$：
$a=-3＜0$，故开口向下；$h=-4,k=0$，故对称轴为直线$x=-4$，顶点坐标为$(-4,0)$。
4. 对于$y=4(x+2)^2-7$，可写成$y=4(x-(-2))^2+(-7)$：
$a=4＞0$，故开口向上；$h=-2,k=-7$，故对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,-7)$。
【答案】
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-5x^2$ | 向下 | y轴 | $(0,0)$ |
| $y=\frac{1}{2}x^2+5$ | 向上 | y轴 | $(0,5)$ |
| $y=-3(x+4)^2$ | 向下 | 直线$x=-4$ | $(-4,0)$ |
| $y=4(x+2)^2-7$ | 向上 | 直线$x=-2$ | $(-2,-7)$ |
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次函数顶点式的应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中参数$a、h、k$对应的几何意义，熟练后可直接从解析式读出对应特征，是学习二次函数后续知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
解题前先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的基本性质：1. 开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 对称轴为直线$x=h$；3. 顶点坐标为$(h,k)$。我们只需将每个抛物线解析式整理为标准顶点式，对应找到$a、h、k$的值，就能依次得出对应的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【解析】
1. 对于$y=-5x^2$，可写成$y=-5(x-0)^2+0$：
$a=-5＜0$，故开口向下；$h=0,k=0$，故对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
2. 对于$y=\frac{1}{2}x^2+5$，可写成$y=\frac{1}{2}(x-0)^2+5$：
$a=\frac{1}{2}＞0$，故开口向上；$h=0,k=5$，故对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,5)$。
3. 对于$y=-3(x+4)^2$，可写成$y=-3(x-(-4))^2+0$：
$a=-3＜0$，故开口向下；$h=-4,k=0$，故对称轴为直线$x=-4$，顶点坐标为$(-4,0)$。
4. 对于$y=4(x+2)^2-7$，可写成$y=4(x-(-2))^2+(-7)$：
$a=4＞0$，故开口向上；$h=-2,k=-7$，故对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,-7)$。
【答案】
| 抛物线 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y=-5x^2$ | 向下 | y轴 | $(0,0)$ |
| $y=\frac{1}{2}x^2+5$ | 向上 | y轴 | $(0,5)$ |
| $y=-3(x+4)^2$ | 向下 | 直线$x=-4$ | $(-4,0)$ |
| $y=4(x+2)^2-7$ | 向上 | 直线$x=-2$ | $(-2,-7)$ |
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 二次函数顶点式的应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中参数$a、h、k$对应的几何意义，熟练后可直接从解析式读出对应特征，是学习二次函数后续知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
7. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线$y=2x^2 -3$相同，开口方向相反，且它的顶点坐标是$(-2,5)$，则这个二次函数的表达式为
$y=-2(x+2)^2+5$
。答案
7. $y=-2(x+2)^2+5$
解析
【分析】
解题时已知二次函数顶点坐标，优先选择顶点式求解更简便。第一步先确定二次项系数$a$的值：两个二次函数图象形状相同，说明二次项系数的绝对值相等；开口方向相反，说明$a$的符号与已知抛物线的二次项系数符号相反，据此可求出$a$的取值。第二步将顶点坐标代入顶点式，整理即可得到最终的函数表达式。
【解析】
设该二次函数的表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$为函数的顶点坐标。
1. 求$a$的值：
已知抛物线$y=2x^2-3$的二次项系数为2，所求函数图象和它形状相同、开口方向相反，因此$a=-2$。
2. 代入顶点坐标化简：
已知顶点坐标为$(-2,5)$，即$h=-2$，$k=5$，将$a=-2$、$h=-2$、$k=5$代入顶点式：
$y=-2[x-(-2)]^2+5$，化简得$y=-2(x+2)^2+5$。
【答案】
$y=-2(x+2)^2+5$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象与系数的关系，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是明确二次项系数对图象形状、开口方向的影响，结合给出的顶点坐标代入顶点式即可快速求解，熟练掌握顶点式的适用场景能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时已知二次函数顶点坐标，优先选择顶点式求解更简便。第一步先确定二次项系数$a$的值：两个二次函数图象形状相同，说明二次项系数的绝对值相等；开口方向相反，说明$a$的符号与已知抛物线的二次项系数符号相反，据此可求出$a$的取值。第二步将顶点坐标代入顶点式，整理即可得到最终的函数表达式。
【解析】
设该二次函数的表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$为函数的顶点坐标。
1. 求$a$的值：
已知抛物线$y=2x^2-3$的二次项系数为2，所求函数图象和它形状相同、开口方向相反，因此$a=-2$。
2. 代入顶点坐标化简：
已知顶点坐标为$(-2,5)$，即$h=-2$，$k=5$，将$a=-2$、$h=-2$、$k=5$代入顶点式：
$y=-2[x-(-2)]^2+5$，化简得$y=-2(x+2)^2+5$。
【答案】
$y=-2(x+2)^2+5$
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象与系数的关系，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是明确二次项系数对图象形状、开口方向的影响，结合给出的顶点坐标代入顶点式即可快速求解，熟练掌握顶点式的适用场景能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
8. 下列函数的图象可由怎样的抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过怎样的平移得到？
(1)$y=-(x-1)^2$。
(2)$y=2x^2+3$。
(3)$y=(x+\sqrt{2})^2-2$。
(1)$y=-(x-1)^2$。
(2)$y=2x^2+3$。
(3)$y=(x+\sqrt{2})^2-2$。
答案
8. 解:(1)$y=-(x-1)^2$ 的图象可由抛物线 $y=-x^2$ 向右平移 1 个单位长度得到。
(2)$y=2x^2+3$ 的图象可由抛物线 $y=2x^2$ 向上平移 3个单位长度得到。
(3)$y=(x+\sqrt{2})^2-2$ 的图象可由抛物线 $y=x^2$ 先向左平移$\sqrt{2}$个单位长度,再向下平移 2 个单位长度得到。
(2)$y=2x^2+3$ 的图象可由抛物线 $y=2x^2$ 向上平移 3个单位长度得到。
(3)$y=(x+\sqrt{2})^2-2$ 的图象可由抛物线 $y=x^2$ 先向左平移$\sqrt{2}$个单位长度,再向下平移 2 个单位长度得到。
解析
【分析】解决本题的核心思路是利用抛物线平移的基本性质：平移仅改变抛物线的位置，不改变开口大小和方向，即二次项系数a不变。首先从待分析的函数中提取a的值，确定对应的原始抛物线$y=ax^2$；再结合二次函数平移规律“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”，对比顶点式$y=a(x-m)^2+k$与$y=ax^2$的差异，判断平移的方向和距离即可。
【解析】
(1) 函数$y=-(x-1)^2$的二次项系数为$-1$，对应原始抛物线为$y=-x^2$，对比顶点式可得$m=1$，因此将$y=-x^2$向右平移1个单位长度即可得到$y=-(x-1)^2$的图象。
(2) 函数$y=2x^2+3$的二次项系数为$2$，对应原始抛物线为$y=2x^2$，对比可得常数项增加了3，因此将$y=2x^2$向上平移3个单位长度即可得到$y=2x^2+3$的图象。
(3) 函数$y=(x+\sqrt{2})^2-2$的二次项系数为$1$，对应原始抛物线为$y=x^2$，变形为$y=(x-(-\sqrt{2}))^2-2$，对比顶点式可得$m=-\sqrt{2}$，$k=-2$，因此将$y=x^2$先向左平移$\sqrt{2}$个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到该函数图象。
【答案】
(1)$y=-(x-1)^2$ 的图象可由抛物线 $y=-x^2$ 向右平移 1 个单位长度得到。
(2)$y=2x^2+3$ 的图象可由抛物线 $y=2x^2$ 向上平移 3个单位长度得到。
(3)$y=(x+\sqrt{2})^2-2$ 的图象可由抛物线 $y=x^2$ 先向左平移$\sqrt{2}$个单位长度,再向下平移 2 个单位长度得到。
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式；抛物线平移性质
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，重点考查对二次函数平移法则的理解和运用，解题时抓住平移前后a不变的特征，结合“左加右减、上加下减”的规律即可快速求解，需熟练掌握该类题型的解题方法。
【难度系数】
0.8
【解析】
(1) 函数$y=-(x-1)^2$的二次项系数为$-1$，对应原始抛物线为$y=-x^2$，对比顶点式可得$m=1$，因此将$y=-x^2$向右平移1个单位长度即可得到$y=-(x-1)^2$的图象。
(2) 函数$y=2x^2+3$的二次项系数为$2$，对应原始抛物线为$y=2x^2$，对比可得常数项增加了3，因此将$y=2x^2$向上平移3个单位长度即可得到$y=2x^2+3$的图象。
(3) 函数$y=(x+\sqrt{2})^2-2$的二次项系数为$1$，对应原始抛物线为$y=x^2$，变形为$y=(x-(-\sqrt{2}))^2-2$，对比顶点式可得$m=-\sqrt{2}$，$k=-2$，因此将$y=x^2$先向左平移$\sqrt{2}$个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到该函数图象。
【答案】
(1)$y=-(x-1)^2$ 的图象可由抛物线 $y=-x^2$ 向右平移 1 个单位长度得到。
(2)$y=2x^2+3$ 的图象可由抛物线 $y=2x^2$ 向上平移 3个单位长度得到。
(3)$y=(x+\sqrt{2})^2-2$ 的图象可由抛物线 $y=x^2$ 先向左平移$\sqrt{2}$个单位长度,再向下平移 2 个单位长度得到。
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式；抛物线平移性质
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，重点考查对二次函数平移法则的理解和运用，解题时抓住平移前后a不变的特征，结合“左加右减、上加下减”的规律即可快速求解，需熟练掌握该类题型的解题方法。
【难度系数】
0.8
