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1. 计算:
(1) $( \dfrac{x^3}{-y^2} )^4 =$ ;
(2) $( \dfrac{a^2b}{-c^3} )^3 =$ .
(1) $( \dfrac{x^3}{-y^2} )^4 =$ ;
(2) $( \dfrac{a^2b}{-c^3} )^3 =$ .
答案
(1) $\boldsymbol{\dfrac{x^{12}}{y^8}}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{a^6b^3}{c^9}}$
解析
【分析】
解决这道分式乘方的题目，可按以下思路思考：①首先回忆分式乘方的运算法则：分式的乘方，需将分子、分母分别乘方；②再运用积的乘方（每个因式分别乘方）、幂的乘方（底数不变，指数相乘）法则分别计算分子和分母的乘方结果；③最后处理符号：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，化简得到最简结果。
【解析】
(1) 根据分式乘方法则可得：
原式$=\dfrac{(x^3)^4}{(-y^2)^4}$
根据幂的乘方法则计算：$(x^3)^4=x^{3×4}=x^{12}$，$(-y^2)^4=(-1)^4×(y^2)^4=1× y^{2×4}=y^8$
因此结果为$\dfrac{x^{12}}{y^8}$。
(2) 根据分式乘方法则可得：
原式$=\dfrac{(a^2b)^3}{(-c^3)^3}$
分别计算分子分母：
分子：$(a^2b)^3=(a^2)^3× b^3=a^{2×3}b^3=a^6b^3$
分母：$(-c^3)^3=(-1)^3×(c^3)^3=-1× c^{3×3}=-c^9$
因此结果为$\dfrac{a^6b^3}{-c^9}=-\dfrac{a^6b^3}{c^9}$。
【答案】
(1) $\dfrac{x^{12}}{y^8}$；(2) $-\dfrac{a^6b^3}{c^9}$
【知识点】
分式乘方运算，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查分式乘方及幂的相关运算法则，解题时需特别注意负号的奇偶次幂对应的符号变化，熟练掌握基础运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解决这道分式乘方的题目，可按以下思路思考：①首先回忆分式乘方的运算法则：分式的乘方，需将分子、分母分别乘方；②再运用积的乘方（每个因式分别乘方）、幂的乘方（底数不变，指数相乘）法则分别计算分子和分母的乘方结果；③最后处理符号：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，化简得到最简结果。
【解析】
(1) 根据分式乘方法则可得：
原式$=\dfrac{(x^3)^4}{(-y^2)^4}$
根据幂的乘方法则计算：$(x^3)^4=x^{3×4}=x^{12}$，$(-y^2)^4=(-1)^4×(y^2)^4=1× y^{2×4}=y^8$
因此结果为$\dfrac{x^{12}}{y^8}$。
(2) 根据分式乘方法则可得：
原式$=\dfrac{(a^2b)^3}{(-c^3)^3}$
分别计算分子分母：
分子：$(a^2b)^3=(a^2)^3× b^3=a^{2×3}b^3=a^6b^3$
分母：$(-c^3)^3=(-1)^3×(c^3)^3=-1× c^{3×3}=-c^9$
因此结果为$\dfrac{a^6b^3}{-c^9}=-\dfrac{a^6b^3}{c^9}$。
【答案】
(1) $\dfrac{x^{12}}{y^8}$；(2) $-\dfrac{a^6b^3}{c^9}$
【知识点】
分式乘方运算，幂的乘方，积的乘方
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查分式乘方及幂的相关运算法则，解题时需特别注意负号的奇偶次幂对应的符号变化，熟练掌握基础运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2.计算：$8x^{2}y^{3}·(-\dfrac{3x}{4y^{3}})÷(-\dfrac{x^{2}y}{2})=$.
答案
$\boldsymbol{\dfrac{12x}{y}}$
解析
【分析】
本题是分式乘除混合运算题，解题思路如下：① 分式乘除属于同级运算，按照从左到右的顺序计算，除法运算要先转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以它的倒数；② 先确定整个式子的符号，负因数的个数为偶数时结果为正，奇数时为负；③ 再分别对系数、相同字母的幂分别运算，最后通过约分得到最简结果。
【解析】
解：原式$=8x^{2}y^{3}·(-\dfrac{3x}{4y^{3}})·(-\dfrac{2}{x^{2}y})$
首先确定符号：式子中有2个负因数，乘积为正，因此
$=8x^{2}y^{3}·\dfrac{3x}{4y^{3}}·\dfrac{2}{x^{2}y}$
计算系数部分：$8×\dfrac{3}{4}×2 = 12$
计算字母幂部分：
$x$的运算：$x^{2}·x·\dfrac{1}{x^{2}}=x$
$y$的运算：$y^{3}·\dfrac{1}{y^{3}}·\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{y}$
合并系数与字母部分得：$\dfrac{12x}{y}$
【答案】
$\dfrac{12x}{y}$
【知识点】
分式乘除运算、同底数幂的乘除、约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是先将除法转化为乘法，注意先判断运算结果的符号，再分别对系数和字母的指数进行运算，计算过程中通过约分可以简化运算步骤，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
本题是分式乘除混合运算题，解题思路如下：① 分式乘除属于同级运算，按照从左到右的顺序计算，除法运算要先转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以它的倒数；② 先确定整个式子的符号，负因数的个数为偶数时结果为正，奇数时为负；③ 再分别对系数、相同字母的幂分别运算，最后通过约分得到最简结果。
【解析】
解：原式$=8x^{2}y^{3}·(-\dfrac{3x}{4y^{3}})·(-\dfrac{2}{x^{2}y})$
首先确定符号：式子中有2个负因数，乘积为正，因此
$=8x^{2}y^{3}·\dfrac{3x}{4y^{3}}·\dfrac{2}{x^{2}y}$
计算系数部分：$8×\dfrac{3}{4}×2 = 12$
计算字母幂部分：
$x$的运算：$x^{2}·x·\dfrac{1}{x^{2}}=x$
$y$的运算：$y^{3}·\dfrac{1}{y^{3}}·\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{y}$
合并系数与字母部分得：$\dfrac{12x}{y}$
【答案】
$\dfrac{12x}{y}$
【知识点】
分式乘除运算、同底数幂的乘除、约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是先将除法转化为乘法，注意先判断运算结果的符号，再分别对系数和字母的指数进行运算，计算过程中通过约分可以简化运算步骤，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
3.(1)计算: $\frac{1}{m^2 - 2m + 1} ÷ \frac{1+m}{1-m} · (m^2 -1) = \_\_\_\_\_\_;$
(2)若 $( \frac{a^2}{b} )^2 ÷ ( \frac{a}{b^2} )^2 = 3$, 则 $a^4b^4 = \_\_\_\_\_\_.$
(2)若 $( \frac{a^2}{b} )^2 ÷ ( \frac{a}{b^2} )^2 = 3$, 则 $a^4b^4 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{9}$
解析
【分析】
(1) 本题为分式乘除混合运算，解题思路如下：①首先根据“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”，将除法运算转化为乘法运算；②利用完全平方公式、平方差公式对式子中的多项式因式分解；③注意处理$1-m$和$m-1$的符号关系，最后通过约分化简得到结果。
(2) 本题考查分式乘方与乘除的混合运算，解题思路如下：①先按照分式乘方法则分别计算两个乘方项；②将除法转化为乘法后约分化简，结合已知等式得到$a^2b^2$的值；③利用幂的运算性质变形，即可求出$a^4b^4$的值。
【解析】
(1) 先因式分解并将除法转为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{(m-1)^2} × \frac{1-m}{1+m} × (m^2-1)\\&=\frac{1}{(m-1)^2} × \frac{1-m}{1+m} × (m-1)(m+1)\end{aligned}$
将$1-m$变形为$-(m-1)$后代入约分：
$\begin{aligned}&=\frac{1}{(m-1)^2} × \frac{-(m-1)}{m+1} × (m-1)(m+1)\\&=-1\end{aligned}$
(2) 先计算分式乘方，再化简：
$\begin{aligned}左边&=(\frac{a^2}{b})^2 ÷ (\frac{a}{b^2})^2\\&=\frac{a^4}{b^2} ÷ \frac{a^2}{b^4}\\&=\frac{a^4}{b^2} × \frac{b^4}{a^2}\\&=a^2b^2\end{aligned}$
由题意得$a^2b^2=3$，因此：
$a^4b^4=(a^2b^2)^2=3^2=9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
分式乘除混合运算，分式乘方运算，幂的运算性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先将除法转化为乘法，再结合因式分解、约分规则化简，运算过程中要注意符号的处理，第二题用到整体代入思想，可有效简化计算。
【难度系数】
0.8
(1) 本题为分式乘除混合运算，解题思路如下：①首先根据“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”，将除法运算转化为乘法运算；②利用完全平方公式、平方差公式对式子中的多项式因式分解；③注意处理$1-m$和$m-1$的符号关系，最后通过约分化简得到结果。
(2) 本题考查分式乘方与乘除的混合运算，解题思路如下：①先按照分式乘方法则分别计算两个乘方项；②将除法转化为乘法后约分化简，结合已知等式得到$a^2b^2$的值；③利用幂的运算性质变形，即可求出$a^4b^4$的值。
【解析】
(1) 先因式分解并将除法转为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{(m-1)^2} × \frac{1-m}{1+m} × (m^2-1)\\&=\frac{1}{(m-1)^2} × \frac{1-m}{1+m} × (m-1)(m+1)\end{aligned}$
将$1-m$变形为$-(m-1)$后代入约分：
$\begin{aligned}&=\frac{1}{(m-1)^2} × \frac{-(m-1)}{m+1} × (m-1)(m+1)\\&=-1\end{aligned}$
(2) 先计算分式乘方，再化简：
$\begin{aligned}左边&=(\frac{a^2}{b})^2 ÷ (\frac{a}{b^2})^2\\&=\frac{a^4}{b^2} ÷ \frac{a^2}{b^4}\\&=\frac{a^4}{b^2} × \frac{b^4}{a^2}\\&=a^2b^2\end{aligned}$
由题意得$a^2b^2=3$，因此：
$a^4b^4=(a^2b^2)^2=3^2=9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
分式乘除混合运算，分式乘方运算，幂的运算性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先将除法转化为乘法，再结合因式分解、约分规则化简，运算过程中要注意符号的处理，第二题用到整体代入思想，可有效简化计算。
【难度系数】
0.8
4. 计算$4m^2 ÷ (\dfrac{2m}{n})^2$的结果为()
A.$\dfrac{16m^4}{n^2}$
B.$2n^2$
C.$n^2$
D.$-n^2$
A.$\dfrac{16m^4}{n^2}$
B.$2n^2$
C.$n^2$
D.$-n^2$
答案
C
解析
【分析】
本题是分式的混合运算题，解题需遵循“先乘方，再乘除”的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则计算括号内的乘方，分子、分母分别乘方；第二步将分式除法转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；第三步对分子、分母中的公因式进行约分，即可得到化简结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：1. 先计算乘方运算：
根据分式乘方法则，$(\dfrac{2m}{n})^2=\dfrac{(2m)^2}{n^2}=\dfrac{4m^2}{n^2}$
2. 将除法转化为乘法：
原式$=4m^2 ÷ \dfrac{4m^2}{n^2}=4m^2 × \dfrac{n^2}{4m^2}$
3. 约分计算：
分子分母的公因式$4m^2$约去后，可得结果为$n^2$
【答案】
C
【知识点】
分式的乘方运算、分式的除法运算、约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式混合运算的顺序和运算法则，解题时注意运算顺序不要颠倒，约分要彻底，避免因粗心看错运算符号或者漏算系数、字母出错。
【难度系数】
0.8
本题是分式的混合运算题，解题需遵循“先乘方，再乘除”的运算顺序：第一步先根据分式乘方法则计算括号内的乘方，分子、分母分别乘方；第二步将分式除法转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；第三步对分子、分母中的公因式进行约分，即可得到化简结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：1. 先计算乘方运算：
根据分式乘方法则，$(\dfrac{2m}{n})^2=\dfrac{(2m)^2}{n^2}=\dfrac{4m^2}{n^2}$
2. 将除法转化为乘法：
原式$=4m^2 ÷ \dfrac{4m^2}{n^2}=4m^2 × \dfrac{n^2}{4m^2}$
3. 约分计算：
分子分母的公因式$4m^2$约去后，可得结果为$n^2$
【答案】
C
【知识点】
分式的乘方运算、分式的除法运算、约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式混合运算的顺序和运算法则，解题时注意运算顺序不要颠倒，约分要彻底，避免因粗心看错运算符号或者漏算系数、字母出错。
【难度系数】
0.8
5. 下列计算正确的是()
A.$(\frac{x}{3y})^2 = \frac{x^2}{6y^2}$
B.$(\frac{-2x}{y})^3 = \frac{2x^3}{y^3}$
C.$(-\frac{x}{3y})^3 = -\frac{x^3}{27y}$
D.$(\frac{b}{a})^2 ÷ (\frac{a}{b})^2 = \frac{b^4}{a^4}$
A.$(\frac{x}{3y})^2 = \frac{x^2}{6y^2}$
B.$(\frac{-2x}{y})^3 = \frac{2x^3}{y^3}$
C.$(-\frac{x}{3y})^3 = -\frac{x^3}{27y}$
D.$(\frac{b}{a})^2 ÷ (\frac{a}{b})^2 = \frac{b^4}{a^4}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查分式的乘方及除法运算，解题思路是根据分式乘方、除法的运算法则，逐一验证每个选项的运算结果是否正确，排除错误选项后即可得到正确答案。首先要牢记：分式乘方时，要把分子、分母分别乘方；负数的奇次幂为负、偶次幂为正；分式除法运算需转化为乘法运算，乘以除式的倒数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据分式乘方法则，$(\frac{x}{3y})^2=\frac{x^2}{(3y)^2}=\frac{x^2}{9y^2}≠\frac{x^2}{6y^2}$，故A错误；
B选项：$(\frac{-2x}{y})^3=\frac{(-2x)^3}{y^3}=\frac{-8x^3}{y^3}≠\frac{2x^3}{y^3}$，符号和系数计算均错误，故B错误；
C选项：$(-\frac{x}{3y})^3=\frac{(-x)^3}{(3y)^3}=-\frac{x^3}{27y^3}≠-\frac{x^3}{27y}$，分母y未进行乘方运算，故C错误；
D选项：先算乘方再算除法，$(\frac{b}{a})^2÷(\frac{a}{b})^2=\frac{b^2}{a^2}÷\frac{a^2}{b^2}$，将除法转化为乘法得$\frac{b^2}{a^2}×\frac{b^2}{a^2}=\frac{b^4}{a^4}$，运算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式乘方运算、分式除法运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对分式乘除、乘方运算法则的掌握程度，解题时要特别注意符号判断、系数乘方以及字母的指数变化，避免因粗心算错系数、漏算字母乘方导致失分。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的乘方及除法运算，解题思路是根据分式乘方、除法的运算法则，逐一验证每个选项的运算结果是否正确，排除错误选项后即可得到正确答案。首先要牢记：分式乘方时，要把分子、分母分别乘方；负数的奇次幂为负、偶次幂为正；分式除法运算需转化为乘法运算，乘以除式的倒数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据分式乘方法则，$(\frac{x}{3y})^2=\frac{x^2}{(3y)^2}=\frac{x^2}{9y^2}≠\frac{x^2}{6y^2}$，故A错误；
B选项：$(\frac{-2x}{y})^3=\frac{(-2x)^3}{y^3}=\frac{-8x^3}{y^3}≠\frac{2x^3}{y^3}$，符号和系数计算均错误，故B错误；
C选项：$(-\frac{x}{3y})^3=\frac{(-x)^3}{(3y)^3}=-\frac{x^3}{27y^3}≠-\frac{x^3}{27y}$，分母y未进行乘方运算，故C错误；
D选项：先算乘方再算除法，$(\frac{b}{a})^2÷(\frac{a}{b})^2=\frac{b^2}{a^2}÷\frac{a^2}{b^2}$，将除法转化为乘法得$\frac{b^2}{a^2}×\frac{b^2}{a^2}=\frac{b^4}{a^4}$，运算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式乘方运算、分式除法运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对分式乘除、乘方运算法则的掌握程度，解题时要特别注意符号判断、系数乘方以及字母的指数变化，避免因粗心算错系数、漏算字母乘方导致失分。
【难度系数】
0.8
6.计算下列算式:①$\frac{a}{y} · \frac{x}{b}$, ②$(\frac{n}{m})^2 · (\frac{2m}{n})^2$, ③$\frac{4}{x} ÷ \frac{8}{x}$, ④$\frac{a}{b^2} ÷ \frac{3a^2}{b^2}$, 其结果是分式的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心：一是分式乘除法的运算法则，乘法是分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，除法要先转化为乘以除数的倒数再按乘法计算，计算过程中能约分的要约分；二是判断结果是否为分式的依据：化简后的结果分母中含有字母的就是分式。接下来我们逐个计算4个算式，再统计符合要求的个数即可。
【解析】
我们依次计算每个算式：
① $\frac{a}{y} · \frac{x}{b} = \frac{a·x}{y·b} = \frac{ax}{by}$，化简后分母含有字母$b、y$，属于分式；
② $(\frac{n}{m})^2 · (\frac{2m}{n})^2 = \frac{n^2}{m^2} · \frac{4m^2}{n^2} = \frac{4n^2m^2}{m^2n^2} = 4$，化简后是整数，不属于分式；
③ $\frac{4}{x} ÷ \frac{8}{x} = \frac{4}{x} · \frac{x}{8} = \frac{4x}{8x} = \frac{1}{2}$，化简后是分数，分母不含字母，不属于分式；
④ $\frac{a}{b^2} ÷ \frac{3a^2}{b^2} = \frac{a}{b^2} · \frac{b^2}{3a^2} = \frac{ab^2}{3a^2b^2} = \frac{1}{3a}$，化简后分母含有字母$a$，属于分式。
综上，结果是分式的有①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.分式的乘除运算
2.分式的定义
3.分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题的易错点是未将算式化简就直接判断是否为分式，计算时优先约分可以简化运算步骤，判断分式的核心是看化简后的分母是否含有字母。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心：一是分式乘除法的运算法则，乘法是分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，除法要先转化为乘以除数的倒数再按乘法计算，计算过程中能约分的要约分；二是判断结果是否为分式的依据：化简后的结果分母中含有字母的就是分式。接下来我们逐个计算4个算式，再统计符合要求的个数即可。
【解析】
我们依次计算每个算式：
① $\frac{a}{y} · \frac{x}{b} = \frac{a·x}{y·b} = \frac{ax}{by}$，化简后分母含有字母$b、y$，属于分式；
② $(\frac{n}{m})^2 · (\frac{2m}{n})^2 = \frac{n^2}{m^2} · \frac{4m^2}{n^2} = \frac{4n^2m^2}{m^2n^2} = 4$，化简后是整数，不属于分式；
③ $\frac{4}{x} ÷ \frac{8}{x} = \frac{4}{x} · \frac{x}{8} = \frac{4x}{8x} = \frac{1}{2}$，化简后是分数，分母不含字母，不属于分式；
④ $\frac{a}{b^2} ÷ \frac{3a^2}{b^2} = \frac{a}{b^2} · \frac{b^2}{3a^2} = \frac{ab^2}{3a^2b^2} = \frac{1}{3a}$，化简后分母含有字母$a$，属于分式。
综上，结果是分式的有①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.分式的乘除运算
2.分式的定义
3.分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题的易错点是未将算式化简就直接判断是否为分式，计算时优先约分可以简化运算步骤，判断分式的核心是看化简后的分母是否含有字母。
【难度系数】
0.7
7.化简$(\dfrac{a-b}{a})^4 · (\dfrac{a}{b-a})^5$的结果是（）
A.$-1$
B.$\dfrac{a}{a-b}$
C.$\dfrac{1}{a}$
D.$\dfrac{a}{b-a}$
A.$-1$
B.$\dfrac{a}{a-b}$
C.$\dfrac{1}{a}$
D.$\dfrac{a}{b-a}$
答案
D
解析
【分析】
化简该式可按以下思路思考：首先观察式子是两个分式乘方的乘积，需先依据分式乘方法则将乘方展开；其次发现两个分子的底数a-b和b-a互为相反数，根据偶次幂的性质，互为相反数的偶次幂相等，可将$(a-b)^4$转化为$(b-a)^4$统一底数；最后按照分式乘法规则，对同底数幂和公因式约分即可得到结果，计算时注意不要弄错符号。
【解析】
解：根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a-b)^4}{a^4} · \dfrac{a^5}{(b-a)^5}\\\because &\mathrm{4是偶数，}\therefore (a-b)^4=(b-a)^4，\mathrm{代入得：}\\&=\dfrac{(b-a)^4 · a^5}{a^4 · (b-a)^5}\\&\mathrm{约分：}a^5÷ a^4=a，(b-a)^4÷ (b-a)^5=\dfrac{1}{b-a}\\&=\dfrac{a}{b-a}\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式的乘方运算
2. 同底数幂的运算
3. 分式约分
【点评】
本题考查分式乘方与乘法的混合运算，解题核心是利用互为相反数的偶次幂相等的性质统一底数，再约分求解，计算时需注意幂的奇偶性对符号的影响，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
化简该式可按以下思路思考：首先观察式子是两个分式乘方的乘积，需先依据分式乘方法则将乘方展开；其次发现两个分子的底数a-b和b-a互为相反数，根据偶次幂的性质，互为相反数的偶次幂相等，可将$(a-b)^4$转化为$(b-a)^4$统一底数；最后按照分式乘法规则，对同底数幂和公因式约分即可得到结果，计算时注意不要弄错符号。
【解析】
解：根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a-b)^4}{a^4} · \dfrac{a^5}{(b-a)^5}\\\because &\mathrm{4是偶数，}\therefore (a-b)^4=(b-a)^4，\mathrm{代入得：}\\&=\dfrac{(b-a)^4 · a^5}{a^4 · (b-a)^5}\\&\mathrm{约分：}a^5÷ a^4=a，(b-a)^4÷ (b-a)^5=\dfrac{1}{b-a}\\&=\dfrac{a}{b-a}\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式的乘方运算
2. 同底数幂的运算
3. 分式约分
【点评】
本题考查分式乘方与乘法的混合运算，解题核心是利用互为相反数的偶次幂相等的性质统一底数，再约分求解，计算时需注意幂的奇偶性对符号的影响，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
8. 先化简,再求值: $( \dfrac{2ab^2}{a+b} )^3 ÷ ( \dfrac{ab^3}{a^2 - b^2} )^2 · [ \dfrac{1}{2(a - b)} ]^2$,其中$a = -\dfrac{1}{2},b = \dfrac{2}{3}.$
答案
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(2ab^2)^3}{(a+b)^3} ÷ \frac{(ab^3)^2}{(a^2-b^2)^2} · \frac{1}{[2(a-b)]^2}\\&=\frac{8a^3b^6}{(a+b)^3} · \frac{(a^2-b^2)^2}{a^2b^6} · \frac{1}{4(a-b)^2}\\&=\frac{8a^3b^6}{(a+b)^3} · \frac{[(a+b)(a-b)]^2}{a^2b^6} · \frac{1}{4(a-b)^2}\\&=\frac{8a^3b^6 · (a+b)^2(a-b)^2}{(a+b)^3 · a^2b^6 · 4(a-b)^2}\\&=\frac{2a}{a+b}\end{aligned}$
当$a=-\frac{1}{2}, b=\frac{2}{3}$时，
$a+b=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$
$\mathrm{原式}=\frac{2×(-\frac{1}{2})}{\frac{1}{6}}=-6$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(2ab^2)^3}{(a+b)^3} ÷ \frac{(ab^3)^2}{(a^2-b^2)^2} · \frac{1}{[2(a-b)]^2}\\&=\frac{8a^3b^6}{(a+b)^3} · \frac{(a^2-b^2)^2}{a^2b^6} · \frac{1}{4(a-b)^2}\\&=\frac{8a^3b^6}{(a+b)^3} · \frac{[(a+b)(a-b)]^2}{a^2b^6} · \frac{1}{4(a-b)^2}\\&=\frac{8a^3b^6 · (a+b)^2(a-b)^2}{(a+b)^3 · a^2b^6 · 4(a-b)^2}\\&=\frac{2a}{a+b}\end{aligned}$
当$a=-\frac{1}{2}, b=\frac{2}{3}$时，
$a+b=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$
$\mathrm{原式}=\frac{2×(-\frac{1}{2})}{\frac{1}{6}}=-6$
解析
【分析】
这是分式乘方、乘除混合运算的化简求值题，解题遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序：第一步先分别计算每个分式的乘方，分子分母各自独立乘方；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；第三步对多项式$a^2-b^2$用平方差公式因式分解，为后续约分做准备；第四步约掉分子分母中相同的公因式，得到最简分式；最后将$a、b$的值代入最简分式计算结果，比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先计算各分式的乘方，再将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(2ab^2)^3}{(a+b)^3} ÷ \frac{(ab^3)^2}{(a^2-b^2)^2} · \frac{1}{[2(a-b)]^2}\\&=\frac{8a^3b^6}{(a+b)^3} · \frac{(a^2-b^2)^2}{a^2b^6} · \frac{1}{4(a-b)^2}\end{aligned}$
利用平方差公式分解$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{8a^3b^6}{(a+b)^3} · \frac{[(a+b)(a-b)]^2}{a^2b^6} · \frac{1}{4(a-b)^2}\\&=\frac{8a^3b^6 · (a+b)^2(a-b)^2}{(a+b)^3 · a^2b^6 · 4(a-b)^2}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$4a^2b^6(a+b)^2(a-b)^2$，化简得：
$\mathrm{原式}=\frac{2a}{a+b}$
将$a=-\frac{1}{2}, b=\frac{2}{3}$代入最简式：
先计算$a+b=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$
则$\mathrm{原式}=\frac{2×(-\frac{1}{2})}{\frac{1}{6}}=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，化简求值
【点评】
本题重点考察分式的运算规则和因式分解的应用，运算时需严格遵循先乘方后乘除的顺序，通过因式分解拆分多项式是约分的关键，熟练掌握相关规则可简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.65
这是分式乘方、乘除混合运算的化简求值题，解题遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序：第一步先分别计算每个分式的乘方，分子分母各自独立乘方；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；第三步对多项式$a^2-b^2$用平方差公式因式分解，为后续约分做准备；第四步约掉分子分母中相同的公因式，得到最简分式；最后将$a、b$的值代入最简分式计算结果，比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先计算各分式的乘方，再将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(2ab^2)^3}{(a+b)^3} ÷ \frac{(ab^3)^2}{(a^2-b^2)^2} · \frac{1}{[2(a-b)]^2}\\&=\frac{8a^3b^6}{(a+b)^3} · \frac{(a^2-b^2)^2}{a^2b^6} · \frac{1}{4(a-b)^2}\end{aligned}$
利用平方差公式分解$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{8a^3b^6}{(a+b)^3} · \frac{[(a+b)(a-b)]^2}{a^2b^6} · \frac{1}{4(a-b)^2}\\&=\frac{8a^3b^6 · (a+b)^2(a-b)^2}{(a+b)^3 · a^2b^6 · 4(a-b)^2}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$4a^2b^6(a+b)^2(a-b)^2$，化简得：
$\mathrm{原式}=\frac{2a}{a+b}$
将$a=-\frac{1}{2}, b=\frac{2}{3}$代入最简式：
先计算$a+b=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$
则$\mathrm{原式}=\frac{2×(-\frac{1}{2})}{\frac{1}{6}}=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，化简求值
【点评】
本题重点考察分式的运算规则和因式分解的应用，运算时需严格遵循先乘方后乘除的顺序，通过因式分解拆分多项式是约分的关键，熟练掌握相关规则可简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.65
9.已知$|3a - b + 1| + (3a - \frac{3}{2}b)^2 = 0$，求$\frac{b^2}{a + b} ÷ ( \frac{b}{a - b} · \frac{ab}{a + b} )$的值。
答案
解：
∵ $|3a - b + 1| ≥ 0$，$(3a - \frac{3}{2}b)^2 ≥ 0$，且$|3a - b + 1| + (3a - \frac{3}{2}b)^2 = 0$
∴ $\begin{cases}3a - b + 1 = 0 \\3a - \frac{3}{2}b = 0 \end{cases}$
解方程组得：$\begin{cases}a = -1 \\b = -2 \end{cases}$
先化简所求式子：
$\begin{aligned}\frac{b^2}{a + b} ÷ ( \frac{b}{a - b} · \frac{ab}{a + b} )&= \frac{b^2}{a + b} ÷ \frac{ab^2}{(a - b)(a + b)} \\&= \frac{b^2}{a + b} · \frac{(a - b)(a + b)}{ab^2} \\&= \frac{a - b}{a}\end{aligned}$
将$a=-1$，$b=-2$代入：
$\mathrm{原式} = \frac{-1 - (-2)}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$
最终值为$\boldsymbol{-1}$。
∵ $|3a - b + 1| ≥ 0$，$(3a - \frac{3}{2}b)^2 ≥ 0$，且$|3a - b + 1| + (3a - \frac{3}{2}b)^2 = 0$
∴ $\begin{cases}3a - b + 1 = 0 \\3a - \frac{3}{2}b = 0 \end{cases}$
解方程组得：$\begin{cases}a = -1 \\b = -2 \end{cases}$
先化简所求式子：
$\begin{aligned}\frac{b^2}{a + b} ÷ ( \frac{b}{a - b} · \frac{ab}{a + b} )&= \frac{b^2}{a + b} ÷ \frac{ab^2}{(a - b)(a + b)} \\&= \frac{b^2}{a + b} · \frac{(a - b)(a + b)}{ab^2} \\&= \frac{a - b}{a}\end{aligned}$
将$a=-1$，$b=-2$代入：
$\mathrm{原式} = \frac{-1 - (-2)}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$
最终值为$\boldsymbol{-1}$。
解析
【分析】
首先，根据绝对值和平方数的非负性，两个非负数相加等于0，说明这两个非负数各自为0，据此可以列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值。其次，对于所求的分式运算式，按照分式运算顺序，先计算括号内的乘法，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后将a、b的值代入化简后的式子计算结果即可，先化简再代值能有效减少计算量，避免出错。
【解析】
∵ 绝对值和偶次平方均为非负数，即$|3a - b + 1| ≥ 0$，$(3a - \frac{3}{2}b)^2 ≥ 0$，且两者之和为0
∴ 可得方程组：$\begin{cases}3a - b + 1 = 0 \\3a - \frac{3}{2}b = 0 \end{cases}$
解方程组：
由第二个方程可得$3a=\frac{3}{2}b$，即$b=2a$，代入第一个方程得$3a - 2a +1=0$，解得$a=-1$，则$b=2×(-1)=-2$，即$\begin{cases}a = -1 \\b = -2 \end{cases}$
接下来化简所求分式：
$\begin{aligned}\frac{b^2}{a + b} ÷ ( \frac{b}{a - b} · \frac{ab}{a + b} )&= \frac{b^2}{a + b} ÷ \frac{ab^2}{(a - b)(a + b)} \\&= \frac{b^2}{a + b} · \frac{(a - b)(a + b)}{ab^2} \\&= \frac{a - b}{a}\end{aligned}$
将$a=-1$，$b=-2$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式} = \frac{-1 - (-2)}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$
【答案】
-1
【知识点】
非负数的性质，分式的乘除运算，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是代数综合类基础题，结合了非负性、分式运算和解方程组三类知识，解题时优先化简分式再代值计算，可大幅降低计算复杂度，需要注意分式运算中约分的规则以及代入负数计算时的符号处理。
【难度系数】
0.6
首先，根据绝对值和平方数的非负性，两个非负数相加等于0，说明这两个非负数各自为0，据此可以列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值。其次，对于所求的分式运算式，按照分式运算顺序，先计算括号内的乘法，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后将a、b的值代入化简后的式子计算结果即可，先化简再代值能有效减少计算量，避免出错。
【解析】
∵ 绝对值和偶次平方均为非负数，即$|3a - b + 1| ≥ 0$，$(3a - \frac{3}{2}b)^2 ≥ 0$，且两者之和为0
∴ 可得方程组：$\begin{cases}3a - b + 1 = 0 \\3a - \frac{3}{2}b = 0 \end{cases}$
解方程组：
由第二个方程可得$3a=\frac{3}{2}b$，即$b=2a$，代入第一个方程得$3a - 2a +1=0$，解得$a=-1$，则$b=2×(-1)=-2$，即$\begin{cases}a = -1 \\b = -2 \end{cases}$
接下来化简所求分式：
$\begin{aligned}\frac{b^2}{a + b} ÷ ( \frac{b}{a - b} · \frac{ab}{a + b} )&= \frac{b^2}{a + b} ÷ \frac{ab^2}{(a - b)(a + b)} \\&= \frac{b^2}{a + b} · \frac{(a - b)(a + b)}{ab^2} \\&= \frac{a - b}{a}\end{aligned}$
将$a=-1$，$b=-2$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式} = \frac{-1 - (-2)}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$
【答案】
-1
【知识点】
非负数的性质，分式的乘除运算，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是代数综合类基础题，结合了非负性、分式运算和解方程组三类知识，解题时优先化简分式再代值计算，可大幅降低计算复杂度，需要注意分式运算中约分的规则以及代入负数计算时的符号处理。
【难度系数】
0.6
