1.若分式$\frac{1}{a-4}$有意义，则实数$a$的取值范围是()

A.$a=4$
B.$a＞4$
C.$a＜4$
D.$a≠4$

D

【分析】
要确定分式有意义时字母的取值范围，需先明确分式有意义的核心规则：分式的分母不能为0。我们只需要找到题目中分式的分母，令分母不等于0，解对应的不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分母不为0。
本题中分式$\frac{1}{a-4}$的分母为$a-4$，因此可列不等式：
$a-4 ≠ 0$
解得$a ≠ 4$，即实数a的取值范围是$a ≠ 4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记分式有意义时分母不为0的规则，直接列简单不等式求解即可。
【难度系数】
0.9

2.若分式$\frac{2x-4}{x+1}$的值为0，则x的值为。

解：要使分式$\frac{2x-4}{x+1}$的值为0，需满足分子为0且分母不为0，即：
$\begin{cases}2x-4=0 \\x+1≠0\end{cases}$
解方程$2x-4=0$，得$x=2$，
当$x=2$时，$x+1=3≠0$，符合分母不为0的条件。
所以$x$的值为$\boldsymbol{2}$。

【分析】
要解决分式值为0的问题，需明确分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先根据分子为0列方程求出x的可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，即可得到正确结果。
【解析】
要使分式$\frac{2x-4}{x+1}$的值为0，需同时满足分子为0且分母不为0，即：
$\begin{cases}2x-4=0 \\x+1≠0\end{cases}$
解方程$2x-4=0$，移项得$2x=4$，解得$x=2$。
验证分母：当$x=2$时，$x+1=2+1=3≠0$，符合分母不为0的条件。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查分式值为0的判定规则，易错点是解题时忽略分母不为0的前提，仅求解分子等于0的方程导致出错，牢记两个条件需同时满足是解题的关键。
【难度系数】
0.8

1. 有下列各式：① $\frac{1}{2}(1 - x)$；② $\frac{2x}{π - 3}$；③ $\frac{x^2 - y^2}{2}$；④ $\frac{3}{x + y}$；⑤ $\frac{5y^2}{x}$。其中，是分式的有（填序号）。

解：
形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，且$B$中含有字母，$B≠0$）的式子叫做分式。
① $\frac{1}{2}(1-x)$ 分母不含字母，属于整式；
② $\frac{2x}{π-3}$ 中$π$是常数，分母$π-3$为常数，属于整式；
③ $\frac{x^2-y^2}{2}$ 分母是常数2，属于整式；
④ $\frac{3}{x+y}$ 分母中含有字母，是分式；
⑤ $\frac{5y^2}{x}$ 分母中含有字母，是分式。
因此是分式的有④⑤。

【分析】
要判断哪些式子是分式，首先需要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，且$B$中含有字母、$B≠0$）的式子叫做分式，判断的核心是看分母中是否含有字母，同时要注意$π$是固定的常数，不属于字母。接下来我们逐个分析每个式子的分母特征，即可筛选出符合要求的分式。
【解析】
首先明确分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，且$B$中含有字母，$B≠0$）的式子叫做分式。
① $\frac{1}{2}(1 - x)$的分母为2，不含字母，属于整式；
② $\frac{2x}{π - 3}$中$π$是常数，因此分母$π-3$是常数，不含字母，属于整式；
③ $\frac{x^2 - y^2}{2}$的分母为2，是常数，不含字母，属于整式；
④ $\frac{3}{x + y}$的分母为$x+y$，含有字母，符合分式定义，是分式；
⑤ $\frac{5y^2}{x}$的分母为$x$，含有字母，符合分式定义，是分式。
综上，是分式的为④⑤。
【答案】
④⑤
【知识点】
分式的定义；整式的判定；π的常量属性
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是紧扣分式的判定标准，易错点是容易误将常数$π$当作字母，错判式子②为分式，解题时需注意区分字母与固定常量。
【难度系数】
0.8

2.列式表示下列各量：
(1)王老师骑自行车用了$m$小时到达距离家$n$千米的学校，则王老师的平均速度是千米/小时；若乘公共汽车可少用0.2小时，则公共汽车的平均速度是千米/小时.
(2)某班在一次考试中，有$m$人得90分，有$n$人得80分，那么这两部分人合在一起的平均分是.

(1) $\boldsymbol{\frac{n}{m}}$；$\boldsymbol{\frac{n}{m-0.2}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{90m+80n}{m+n}}$ 分

【分析】
本题考查根据实际问题列代数式，解题时先找准对应问题的等量关系，再代入对应字母列式即可：
(1) 行程问题的核心等量关系是“速度=路程÷时间”，先找到骑自行车的路程和对应时间，代入即可得到骑自行车的平均速度；公共汽车的行驶路程和骑自行车相同，行驶时间比骑自行车少0.2小时，先算出公共汽车的行驶时间，再代入等量关系列式即可。
(2) 计算平均分的核心等量关系是“平均分=总得分÷总人数”，先分别算出两部分人的总得分，求和得到所有人的总得分，再算出两部分的总人数，最后代入等量关系列式即可。
【解析】
(1) 根据行程问题公式“速度=路程÷时间”：
① 骑自行车的路程为$n$千米，用时$m$小时，因此平均速度为$\frac{n}{m}$千米/小时；
② 乘公共汽车少用0.2小时，因此公共汽车的行驶时间为$(m-0.2)$小时，行驶路程同样为$n$千米，因此公共汽车的平均速度为$\frac{n}{m-0.2}$千米/小时。
(2) 根据平均分计算公式“平均分=总得分÷总人数”：
得90分的$m$人总得分是$90m$分，得80分的$n$人总得分是$80n$分，两部分人的总得分是$(90m+80n)$分，总人数是$(m+n)$人，因此合在一起的平均分为$\frac{90m+80n}{m+n}$分。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{n}{m}}$；$\boldsymbol{\frac{n}{m-0.2}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{90m+80n}{m+n}}$ 分
【知识点】
1. 列代数式
2. 行程问题数量关系
3. 平均数计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题关键是熟练掌握常见实际问题的等量关系，列式时注意明确各个量的含义，保证代数式的运算顺序正确，此类题型也是后续学习分式概念的基础素材。
【难度系数】
0.9

3.(1)当x满足条件时，分式$\frac{1}{2x+1}$有意义；
(2)当x=时，分式$\frac{5}{x^2 -1}$没有意义。

(1) $\boldsymbol{x ≠ -\frac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{\pm1}$

【分析】
解决分式有无意义的问题，需牢记核心判定规则：分式有意义的条件是分母不等于0，分式无意义的条件是分母等于0。第一问只需令$\frac{1}{2x+1}$的分母不为0，解不等式即可得到x的取值范围；第二问令$\frac{5}{x^2 -1}$的分母为0，解方程即可得到对应x的值。
【解析】
(1) 要使分式$\frac{1}{2x+1}$有意义，则分母不能为0，即：
$2x + 1 ≠ 0$
移项得：$2x ≠ -1$
两边同时除以2得：$x ≠ -\frac{1}{2}$
(2) 要使分式$\frac{5}{x^2 -1}$没有意义，则分母为0，即：
$x^2 - 1 = 0$
移项得：$x^2 = 1$
解得：$x = \pm1$
【答案】
(1) $x ≠ -\frac{1}{2}$；(2) $\pm1$
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式、解简单一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查分式有无意义的判定规则，掌握“分母不为0时分式有意义，分母为0时分式无意义”是解题的核心，计算难度低，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.9

4.下列各式中,无论x为何实数,分式都有意义的是()

A.$\frac{1}{2x+1}$
B.$\frac{x+1}{x^2+1}$
C.$\frac{3x+1}{x^2}$
D.$\frac{x^2-1}{x-1}$

B

【分析】
要判断无论x为何实数分式都有意义，核心依据是分式有意义的条件：分式的分母不能为0。因此我们只需要逐一分析每个选项的分母，是否存在x的取值使得分母等于0，若不存在这样的x，就符合要求。
【解析】
分式有意义的条件是：分母不为0。
A. 分母为$2x+1$，当$x=-\frac{1}{2}$时，$2x+1=0$，分式无意义，不符合要求；
B. 分母为$x^2+1$，根据平方的非负性，对任意实数$x$都有$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，即无论x取何实数，分母都不为0，分式始终有意义，符合要求；
C. 分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，分式无意义，不符合要求；
D. 分母为$x-1$，当$x=1$时，$x-1=0$，分式无意义，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式有意义的条件 2. 平方的非负性
【点评】
本题是分式意义相关的基础题，解题关键是掌握分式有意义需分母不为0，结合平方的非负性即可快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.85

5.若分式$\frac{b^2 -1}{b^2 -2b -3}$的值为0，则b的值为（）

A.1
B.－1
C.$\pm1$
D.2

A

【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记两个必须同时满足的条件：一是分式的分子值为0，二是分式的分母不能为0（分母为0时分式无意义）。解题时先求出使分子为0的b的所有可能值，再代入分母验证，排除让分母为0的取值，剩下的就是正确结果。
【解析】
解：若分式的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子等于0：
$b^2 -1 = 0$
因式分解得$(b+1)(b-1)=0$
解得$b=1$或$b=-1$
2. 分母不等于0：
$b^2 -2b -3 ≠ 0$
先解方程$b^2 -2b -3 = 0$，因式分解得$(b-3)(b+1)=0$
解得$b=3$或$b=-1$，因此当$b ≠ 3$且$b ≠ -1$时分母不为0。
结合两个条件，排除$b=-1$，得$b=1$。
【答案】
A
【知识点】
分式值为0的条件、因式分解解方程
【点评】
本题是分式部分的基础易错题，易错点是仅考虑分子为0就直接选答案，忽略分母不为0的前提条件，解题时要注意两个条件需同时验证，避免掉入出题陷阱。
【难度系数】
0.7

6. $m$元/千克的糖果$x$千克，与$n$元/千克的糖果$y$千克混合成杂拌糖果，这样混合后的杂拌糖果的价格为()

A.$\frac{nx+my}{x+y}$元/千克
B.$\frac{mx+ny}{x+y}$元/千克
C.$\frac{m+n}{x+y}$元/千克
D.$\frac{1}{2}(\frac{x}{m}+\frac{y}{n})$元/千克

B

【分析】
要计算混合后杂拌糖果的单价，需牢记“单价=总售价÷总质量”的数量关系。解题时先分别算出两种糖果的总售价，求和得到混合糖果的总售价，再计算两种糖果的总质量，最后用总售价除以总质量即可得到混合后的单价，再匹配对应选项。
【解析】
1. 计算两种糖果的总售价：
m元/千克的糖果x千克，总售价为$mx$元；n元/千克的糖果y千克，总售价为$ny$元，因此混合糖果的总售价为$(mx+ny)$元。
2. 计算混合糖果的总质量：
两种糖果质量相加，总质量为$(x+y)$千克。
3. 计算混合后单价：
根据单价公式，可得混合后杂拌糖果的价格为$\frac{mx+ny}{x+y}$元/千克，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；分式的实际应用
【点评】
本题是分式在生活场景中的基础应用题，核心是掌握总价、单价、数量三者的关系，计算时注意不要混淆两类糖果的售价和对应质量，是常见的基础题型。
【难度系数】
0.8

7. 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1) $\dfrac{x - 2}{x^2 - 4}$；
(2) $\dfrac{x^2}{x - 1} + \dfrac{2x}{x + 3}$；
(3) $\dfrac{5 - x^2}{5|x| - 1}$。

解：
(1) 要使分式$\dfrac{x-2}{x^2-4}$有意义，需分母不为0，即
$x^2 - 4 ≠ 0$
解得 $x ≠ 2$ 且 $x ≠ -2$。
即当$x≠\pm2$时，该分式有意义。
(2) 要使$\dfrac{x^2}{x-1}+\dfrac{2x}{x+3}$有意义，需两个分式的分母同时不为0，即
$\begin{cases}x - 1 ≠ 0 \\x + 3 ≠ 0\end{cases}$
解得 $x ≠ 1$ 且 $x ≠ -3$。
即当$x≠1$且$x≠-3$时，该式有意义。
(3) 要使分式$\dfrac{5-x^2}{5|x|-1}$有意义，需分母不为0，即
$5|x| - 1 ≠ 0$
得$|x| ≠ \dfrac{1}{5}$
解得 $x ≠ \dfrac{1}{5}$ 且 $x ≠ -\dfrac{1}{5}$。
即当$x≠\pm\dfrac{1}{5}$时，该分式有意义。

【分析】
分式有意义的核心判定规则是分母不能为0，我们可按以下思路逐个求解：1. 单个分式直接令其分母不等于0，求解对应不等式即可；2. 多个分式相加的式子，需要保证每一个分式的分母都不为0，即所有分母不为0的条件同时满足，列不等式组求解；3. 若分母含绝对值，求解绝对值不等式时要注意绝对值等于正数的数有正负两个对应值，不要漏解。
【解析】
(1) 要使分式$\dfrac{x-2}{x^2-4}$有意义，需分母不为0，即
$x^2 - 4 ≠ 0$
因式分解得$(x-2)(x+2)≠0$，解得 $x ≠ 2$ 且 $x ≠ -2$。
即当$x≠\pm2$时，该分式有意义。
(2) 要使$\dfrac{x^2}{x-1}+\dfrac{2x}{x+3}$有意义，需两个分式的分母同时不为0，即
$\begin{cases}x - 1 ≠ 0 \\x + 3 ≠ 0\end{cases}$
解得 $x ≠ 1$ 且 $x ≠ -3$。
即当$x≠1$且$x≠-3$时，该式有意义。
(3) 要使分式$\dfrac{5-x^2}{5|x|-1}$有意义，需分母不为0，即
$5|x| - 1 ≠ 0$
移项得$|x| ≠ \dfrac{1}{5}$，解得 $x ≠ \dfrac{1}{5}$ 且 $x ≠ -\dfrac{1}{5}$。
即当$x≠\pm\dfrac{1}{5}$时，该分式有意义。
【答案】
(1)$x≠\pm2$；(2)$x≠1$且$x≠-3$；(3)$x≠\pm\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式有意义的条件，解不等式（组），绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考察分式有意义的判定规则，解题易错点为：单个分式化简时忽略原分母不为0的限制、多个分式组合时漏看部分分母的限制、含绝对值的分母漏解负数值的情况，解题时需逐一排查限制条件。
【难度系数】
0.8