1.(2025·南京建邺区期末)下列y关于x的函数中,是反比例函数的是 ()

A.$y=\frac{x}{2}$
B.$y=-\frac{1}{2x}$
C.$y=\frac{1}{2+x}$
D.$y=\frac{1}{x^2}$

1.B

【分析】
要解决这道题，我们首先要明确反比例函数的定义特征，再将各选项和定义逐一比对即可得到答案。反比例函数的核心判断标准有三点：①标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$是不为0的常数），也可变形为$y=kx^{-1}$、$xy=k$的形式；②自变量$x$在分母位置，且次数为1；③分母只能是单独的$x$，不能带有其他常数项。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数叫做反比例函数。
我们逐个分析选项：
A. $y=\frac{x}{2}$是正比例函数，不符合反比例函数的形式，排除；
B. $y=-\frac{1}{2x}$可变形为$y=\frac{-\frac{1}{2}}{x}$，其中$k=-\frac{1}{2}$是不为0的常数，完全符合反比例函数的定义，当选；
C. $y=\frac{1}{2+x}$的分母是$x+2$，不是单独的自变量$x$，不符合要求，排除；
D. $y=\frac{1}{x^2}$的分母是$x^2$，自变量$x$的次数为2，不符合反比例函数自变量次数为1的要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，解题关键是牢记反比例函数的形式特征，注意区分反比例函数与正比例函数、其他分式类函数的差异即可快速判断。
【难度系数】
0.8

2.已知$y$是关于$x$的反比例函数，且$x=2$时，$y=3$，则该函数表达式是（）

A.$y=6x$
B.$y=\dfrac{1}{6x}$
C.$y=\dfrac{6}{x}$
D.$y=-\dfrac{6}{x^{-1}}$

2.C

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的定义，其一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$），要求函数表达式只需求出常数$k$的值即可。题目给出了$x=2$时$y=3$的对应关系，我们可以用待定系数法，将这组对应值代入反比例函数的一般形式，求出$k$的值，即可得到函数表达式，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$x=2$，$y=3$代入上述表达式，可得：
$3=\frac{k}{2}$
解得$k=2×3=6$。
因此该反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查对反比例函数基本形式的掌握和待定系数法的运用，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85

3. 教材变式题 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数.
(1)三角形的面积为10，一边上的高h随此边长a的变化而变化；
(2)食堂每天用大米500 kg，用大米总量W(kg)随用大米天数t(天)的变化而变化；
(3)以$x$ L/min的速度向容积为20 L的水池内注水，注满水池需$y$ min.

3.解:(1)$h=\frac{20}{a}$,是反比例函数.
(2)$W=500t$,不是反比例函数.
(3)$y=\frac{20}{x}$,是反比例函数.

【分析】
解题时先明确两个核心要点：一是熟练掌握三角形面积、总量与单量和时间、工作总量与效率和时间这类常见实际问题的等量关系；二是牢记反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数。解题时先结合每个小题的情境写出对应的等量关系式，再变形为用自变量表示因变量的函数形式，最后对照反比例函数定义判断即可。
【解析】
(1) 由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S=10$，底为$a$，高为$h$，代入得：
$10=\frac{1}{2}ah$，
整理得$h=\frac{20}{a}$，符合反比例函数的形式，因此是反比例函数。
(2) 由大米总量=每天用量×使用天数，已知每天用大米500kg，使用天数为$t$，总量为$W$，代入得：
$W=500t$，属于正比例函数形式，因此不是反比例函数。
(3) 由水池容积=注水速度×注水时间，已知水池容积为20L，注水速度为$x$ L/min，注水时间为$y$ min，代入得：
$xy=20$，
整理得$y=\frac{20}{x}$，符合反比例函数的形式，因此是反比例函数。
【答案】
(1)$h=\frac{20}{a}$，是反比例函数.
(2)$W=500t$，不是反比例函数.
(3)$y=\frac{20}{x}$，是反比例函数.
【知识点】
1. 反比例函数定义
2. 实际问题列函数式
3. 常见数量关系应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查结合实际情境推导函数关系式的能力，以及对反比例函数定义的掌握情况，解题时要注意区分正比例和反比例函数的表达形式，熟练运用常见等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8

4.已知函数$y=(m-2)x^{m^2 -5}$是反比例函数，则$m$的值为（）

A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.任意实数

4.B

【分析】
要解决这道题，需结合反比例函数的定义推导$m$的取值，思考步骤如下：首先回忆反比例函数的标准形式，反比例函数可写成$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此题目中的函数需要同时满足两个条件：①$x$的指数等于$-1$；②$x$的系数不为0。先根据指数条件求解$m$的可能值，再代入系数条件排除不符合要求的取值，即可得到最终结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，该函数需同时满足两个条件：
1. $x$的指数为$-1$，即：
$m^2 -5 = -1$
移项计算得$m^2=4$，解得$m=2$或$m=-2$。
2. 比例系数不为0，即：
$m-2 ≠ 0$
解得$m≠ 2$。
结合两个条件，排除$m=2$，因此$m=-2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义、解一元二次方程
【点评】
本题是反比例函数定义的基础考查题，解题的易错点是容易忽略“比例系数不为0”的限制条件，误选C选项，求解此类问题时要注意两个限制条件需同时满足，不要漏项。
【难度系数】
0.7

5.(南京玄武区期末)如图,在矩形ABCD中,AB=x,AD=y,顺次连接AB,BC,CD,DA的中点得到四边形EFGH,若四边形EFGH的面积为7,则y关于x的函数表达式为.

5.$y=\frac{14}{x}$

【分析】
要推导y关于x的函数表达式，需先找到四边形EFGH的面积和矩形ABCD边长的关系。首先可先计算矩形ABCD的面积，再减去四个角处直角三角形的面积得到四边形EFGH的面积，结合已知面积为7的条件建立等式，整理即可得到函数表达式。也可利用矩形中点四边形为菱形，用菱形面积公式（对角线乘积的一半）直接计算四边形EFGH的面积，再建立等式求解。
【解析】
解：已知矩形ABCD中，AB=x，AD=y，则矩形ABCD的面积为$S_{矩形ABCD}=AB· AD=xy$。
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴$AE=EB=\frac{x}{2}$，$BF=FC=\frac{y}{2}$，$CG=GD=\frac{x}{2}$，$DH=HA=\frac{y}{2}$，
四个角的$△ AEH$、$△ BEF$、$△ CFG$、$△ DGH$均为直角三角形，且每个三角形的面积为：
$S_{△ AEH}=\frac{1}{2}· AE· AH=\frac{1}{2}×\frac{x}{2}×\frac{y}{2}=\frac{xy}{8}$，
四个三角形的总面积为：$4×\frac{xy}{8}=\frac{xy}{2}$，
∴四边形EFGH的面积为：$S_{四边形EFGH}=S_{矩形ABCD}-4S_{△ AEH}=xy-\frac{xy}{2}=\frac{xy}{2}$，
由题意得$\frac{xy}{2}=7$，整理得$xy=14$，即$y=\frac{14}{x}$（$x＞0$）。
【答案】
$y=\frac{14}{x}$
【知识点】
矩形的性质；中点四边形；反比例函数
【点评】
本题主要考查矩形性质和面积计算，解题关键是明确矩形的中点四边形面积等于原矩形面积的一半，结合已知面积建立等量关系即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

6.(常州溧阳期末)若梯形的下底长为$x$，上底长为下底长的$\frac{1}{3}$，高为$y$，面积为20，则$y$与$x$的函数表达式是。

6.$y=\frac{30}{x}$

【分析】
解题时首先回忆梯形的面积计算公式，先根据题目给出的上底与下底的数量关系表示出上底的长度，再将上底、下底、高、面积的已知值或对应表达式代入梯形面积公式，最后通过等式变形整理即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
根据题意可知，梯形下底长为$x$，上底长为下底长的$\frac{1}{3}$，因此上底长为$\frac{1}{3}x$，高为$y$，面积为20。
梯形面积公式为：$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，将各量代入公式得：
$20=\frac{1}{2}×(x+\frac{1}{3}x)× y$
先计算括号内的和：$x+\frac{1}{3}x=\frac{4}{3}x$，代入后化简右边：
$20=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}x× y=\frac{2}{3}xy$
对等式变形求解$y$：两边同时乘3得$60=2xy$，再两边同时除以$2x$（$x＞0$，梯形底长为正数），可得：
$y=\frac{30}{x}$
【答案】
$y=\frac{30}{x}$
【知识点】
梯形面积计算，列函数解析式，反比例函数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查梯形面积公式的应用和函数关系式的推导，只要准确提取题干中的数量关系，代入公式化简即可得出结果，不易出错。
【难度系数】
0.8

7.(1)若$y-3$与$x+2$成反比例，且当$x=2$时，$y=7$，求$y$与$x$的函数表达式.
(2)(2025·苏州姑苏区期中)已知$y=y_1+y_2$，$y_1$与$(x-1)$成正比例，$y_2$与$(x+1)$成反比例，当$x=0$时，$y=-3$，当$x=1$时，$y=-1$.
求:①$y$的表达式；
②当$x=-\dfrac{1}{2}$时$y$的值.

7.解:(1)设$y-3=\frac{k}{x+2}$.
$\because x=2$时,$y=7$,$\therefore 7-3=\frac{k}{2+2}$,
$\therefore k=16$,$\therefore y$与$x$的函数表达式为$y-3=\frac{16}{x+2}$,
即$y=\frac{16}{x+2}+3$.
(2)①$\because y_1$与$(x-1)$成正比例,$y_2$与$(x+1)$成反比例,
$\therefore y_1=k_1(x-1),y_2=\frac{k_2}{x+1}$.
$\because y=y_1+y_2$,当$x=0$时,$y=-3$,
当$x=1$时,$y=-1$,
$\therefore \begin{cases} -3=-k_1+k_2, \\ -1=\frac{1}{2}k_2, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} k_1=1, \\ k_2=-2, \end{cases}$ $\therefore y=x-1-\frac{2}{x+1}$.
②当$x=-\frac{1}{2}$,$y=x-1-\frac{2}{x+1}=-\frac{1}{2}-1-\frac{2}{-\frac{1}{2}+1}=-\frac{11}{2}$.

【分析】
(1) 若两个量成反比例，可表示为“一个量=不为0的常数÷另一个量”的形式，本题中y-3与x+2成反比例，因此先设$y-3=\frac{k}{x+2}(k≠0)$，再将已知的x=2、y=7代入表达式求出常数k，最后整理得到y与x的函数表达式即可。
(2) ① 先根据正比例、反比例的定义分别设出$y_1$、$y_2$的含参表达式，再结合$y=y_1+y_2$，将两组x、y的对应值代入，得到关于参数的二元一次方程组，解方程组求出参数，即可得到y的表达式；② 将$x=-\frac{1}{2}$代入①中求出的表达式，直接计算即可得到y的值。
【解析】
(1) 设$y-3=\frac{k}{x+2}(k≠0)$，
∵当$x=2$时，$y=7$，
∴代入得$7-3=\frac{k}{2+2}$，
解得$k=16$，
∴y与x的函数表达式为$y-3=\frac{16}{x+2}$，即$y=\frac{16}{x+2}+3$。
(2) ①
∵$y_1$与$(x-1)$成正比例，$y_2$与$(x+1)$成反比例，
∴设$y_1=k_1(x-1)(k_1≠0)$，$y_2=\frac{k_2}{x+1}(k_2≠0)$，
又
∵$y=y_1+y_2$，且当$x=0$时，$y=-3$；当$x=1$时，$y=-1$，
∴代入得$\begin{cases}-3=-k_1+k_2 \\ -1=\frac{k_2}{1+1} \end{cases}$，
解得$\begin{cases}k_1=1 \\ k_2=-2 \end{cases}$，
∴y的表达式为$y=x-1-\frac{2}{x+1}$。
② 把$x=-\frac{1}{2}$代入$y=x-1-\frac{2}{x+1}$得：
$y=-\frac{1}{2}-1-\frac{2}{-\frac{1}{2}+1}=-\frac{11}{2}$。
【答案】
(1) $y=\frac{16}{x+2}+3$
(2) ① $y=x-1-\frac{2}{x+1}$；② $-\frac{11}{2}$
【知识点】
反比例函数定义，正比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数基础题型，核心考查对正比例、反比例定义的理解，以及用待定系数法求函数解析式的方法，解题时要注意区分正比例和反比例的表达式形式，代入计算时注意分母不能为0，避免运算错误。
【难度系数】
0.8