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8. 某中学开展演讲比赛，九(1)班和九(2)班根据初赛成绩各选出 5 名选手参加复赛，两个班各选出的 5 名选手的复赛成绩(满分为 100 分)如图所示.
(1) 分别求出两班复赛成绩的平均数和方差；
(2) 根据(1)的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩比较稳定.
(1) 分别求出两班复赛成绩的平均数和方差；
(2) 根据(1)的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩比较稳定.
答案
8. (1) 九(1)班平均数为 85 分，方差为 70；九(2)班平均数为 85 分，方差为 160 (2) 平均数相同的情况下，九(1)班的方差小于九(2)班的方差，所以九(1)班的成绩更加稳定
解析
(1) 九(1)班复赛成绩为：85, 75, 80, 85, 100
平均数：$\bar{x}_1 = \frac{85 + 75 + 80 + 85 + 100}{5} = 85$
方差：$s_1^2 = \frac{(85-85)^2 + (75-85)^2 + (80-85)^2 + (85-85)^2 + (100-85)^2}{5} = 70$
九(2)班复赛成绩为：70, 100, 100, 75, 80
平均数：$\bar{x}_2 = \frac{70 + 100 + 100 + 75 + 80}{5} = 85$
方差：$s_2^2 = \frac{(70-85)^2 + (100-85)^2 + (100-85)^2 + (75-85)^2 + (80-85)^2}{5} = 160$
(2) 因为$\bar{x}_1 = \bar{x}_2$且$s_1^2 ＜ s_2^2$，所以九(1)班的复赛成绩比较稳定。
平均数：$\bar{x}_1 = \frac{85 + 75 + 80 + 85 + 100}{5} = 85$
方差：$s_1^2 = \frac{(85-85)^2 + (75-85)^2 + (80-85)^2 + (85-85)^2 + (100-85)^2}{5} = 70$
九(2)班复赛成绩为：70, 100, 100, 75, 80
平均数：$\bar{x}_2 = \frac{70 + 100 + 100 + 75 + 80}{5} = 85$
方差：$s_2^2 = \frac{(70-85)^2 + (100-85)^2 + (100-85)^2 + (75-85)^2 + (80-85)^2}{5} = 160$
(2) 因为$\bar{x}_1 = \bar{x}_2$且$s_1^2 ＜ s_2^2$，所以九(1)班的复赛成绩比较稳定。
9. 甲、乙两人参加学校组织的理化实验操作测试，甲、乙近期的 5 次测试成绩如图所示.
(1) 请你根据图中的数据补全表格：
(2) 从平均数和方差来看，谁的成绩更好？从发展趋势来看，谁的成绩更好？
(1) 请你根据图中的数据补全表格：
(2) 从平均数和方差来看，谁的成绩更好？从发展趋势来看，谁的成绩更好？
答案
9. (1) 甲：8 0.4；乙：8 (2) 从平均数和方差来看，甲的成绩更好；从发展趋势来看，乙的成绩更好
解析
【分析】
（1）首先从统计图中提取甲、乙两人的5次测试成绩，再根据中位数、平均数、方差的定义分别计算：将甲的成绩排序后找中间数得到中位数，先计算甲的平均数，再利用方差公式求出甲的方差；利用平均数公式计算乙的平均数，进而补全表格。
（2）比较平均数和方差时，在平均数相同的情况下，方差越小成绩越稳定；分析发展趋势时，观察两人成绩的变化规律，根据成绩的升降趋势判断。
【解析】
（1）从统计图可知，甲的5次成绩为7，8，8，8，9；乙的5次成绩为6，7，8，9，10。
① 甲的中位数：将甲的成绩从小到大排列为7，8，8，8，9，中间的数为8，故甲的中位数是8；
甲的平均数$\bar{x}_甲=\frac{7+8+8+8+9}{5}=8$，
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(7-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2]=\frac{1}{5}×(1+0+0+0+1)=0.4$；
② 乙的平均数$\bar{x}_乙=\frac{6+7+8+9+10}{5}=8$。
因此补全表格：甲的中位数为8，方差为0.4；乙的平均数为8。
（2）甲、乙的平均数均为8，甲的方差0.4小于乙的方差（计算得乙的方差为2），说明甲的成绩更稳定，故从平均数和方差来看，甲的成绩更好；
观察成绩变化，乙的成绩依次为6，7，8，9，10，呈逐渐上升趋势，而甲的成绩波动较小但无明显上升趋势，故从发展趋势来看，乙的成绩更好。
【答案】
(1) 甲：8 0.4；乙：8
(2) 从平均数和方差来看，甲的成绩更好；从发展趋势来看，乙的成绩更好
【知识点】
平均数、方差、中位数
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需熟练掌握平均数、中位数、方差的计算方法，理解方差反映数据的波动程度，同时能结合成绩变化趋势分析数据，提升数据分析能力。
【难度系数】
0.8
（1）首先从统计图中提取甲、乙两人的5次测试成绩，再根据中位数、平均数、方差的定义分别计算：将甲的成绩排序后找中间数得到中位数，先计算甲的平均数，再利用方差公式求出甲的方差；利用平均数公式计算乙的平均数，进而补全表格。
（2）比较平均数和方差时，在平均数相同的情况下，方差越小成绩越稳定；分析发展趋势时，观察两人成绩的变化规律，根据成绩的升降趋势判断。
【解析】
（1）从统计图可知，甲的5次成绩为7，8，8，8，9；乙的5次成绩为6，7，8，9，10。
① 甲的中位数：将甲的成绩从小到大排列为7，8，8，8，9，中间的数为8，故甲的中位数是8；
甲的平均数$\bar{x}_甲=\frac{7+8+8+8+9}{5}=8$，
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(7-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2]=\frac{1}{5}×(1+0+0+0+1)=0.4$；
② 乙的平均数$\bar{x}_乙=\frac{6+7+8+9+10}{5}=8$。
因此补全表格：甲的中位数为8，方差为0.4；乙的平均数为8。
（2）甲、乙的平均数均为8，甲的方差0.4小于乙的方差（计算得乙的方差为2），说明甲的成绩更稳定，故从平均数和方差来看，甲的成绩更好；
观察成绩变化，乙的成绩依次为6，7，8，9，10，呈逐渐上升趋势，而甲的成绩波动较小但无明显上升趋势，故从发展趋势来看，乙的成绩更好。
【答案】
(1) 甲：8 0.4；乙：8
(2) 从平均数和方差来看，甲的成绩更好；从发展趋势来看，乙的成绩更好
【知识点】
平均数、方差、中位数
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需熟练掌握平均数、中位数、方差的计算方法，理解方差反映数据的波动程度，同时能结合成绩变化趋势分析数据，提升数据分析能力。
【难度系数】
0.8
