一、选择题
1. 数学老师对小明在参加中考前的 5 次数学模拟考试进行了统计分析，若要判断小明的数学成绩是否稳定，则老师需要知道小明这 5 次数学成绩的().
A.平均数或中位数
B.方差
C.众数或中位数
D.平均数或众数

1. B

【分析】
要判断小明的数学成绩是否稳定，核心是看成绩的波动程度。首先回忆各统计量的作用：平均数、中位数、众数主要用于描述数据的集中趋势（分别反映平均水平、中间水平、出现频次最高的水平），无法体现数据的波动情况；而方差是专门衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。因此要判断成绩是否稳定，需要知道方差，对应选项B。
【解析】
逐一分析各统计量的意义：
1. 平均数：反映一组数据的平均水平，体现集中趋势；
2. 中位数：反映一组数据的中间水平，体现集中趋势；
3. 众数：反映一组数据中出现次数最多的数值，体现集中趋势；
4. 方差：衡量一组数据的波动大小，方差越大，数据波动越明显，成绩越不稳定；方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。
题目要求判断成绩是否稳定，即需了解数据的波动情况，因此需要知道方差。故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义、统计量的作用
【点评】
本题考查对统计量意义的理解，属于基础题型。解题关键是区分反映数据集中趋势的统计量（平均数、中位数、众数）与反映数据波动程度的统计量（方差）的不同作用，避免混淆各统计量的适用场景。
【难度系数】
0.8

2. 已知一组数据$-1$，$x$，$0$，$1$，$-2$的平均数为 0，那么这组数据的方差为().

A.$\sqrt{2}$
B.2
C.4
D.10

2. B

解：由平均数为0可得，$\frac{-1 + x + 0 + 1 - 2}{5} = 0$，解得$x = 2$。
这组数据为$-1$，$2$，$0$，$1$，$-2$。
方差$s^2 = \frac{1}{5}[(-1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2]$
$= \frac{1}{5}[1 + 4 + 0 + 1 + 4] = \frac{10}{5} = 2$。
B

3. 一组数据的方差为$s^{2}=\frac{1}{20}[(x_{1}-5)^{2}+(x_{2}-5)^{2}+···+(x_{20}-5)^{2}]$，那么这组数据的平均数和个数分别是().

A.5 和 20
B.5 和 10
C.10 和 20
D.5 和 5

3. A

方差公式为$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，其中$\overline{x}$为平均数，$n$为数据个数。对比题目中$s^{2}=\frac{1}{20}[(x_{1}-5)^{2}+(x_{2}-5)^{2}+···+(x_{20}-5)^{2}]$，可得$\overline{x}=5$，$n=20$。
A

二、填空题
4. 已知一组数据 2，3，$x$，4 的平均数为 3，则这组数据的方差为.

4. 0.5

由题意得，$\frac{2 + 3 + x + 4}{4}=3$，解得$x=3$。
这组数据为2，3，3，4。
平均数$\bar{x}=3$。
方差$s^{2}=\frac{1}{4}[(2 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(4 - 3)^{2}]=\frac{1}{4}(1 + 0 + 0 + 1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0.5$。
0.5

5. 一个样本的方差$s^{2}=\frac{1}{12}[(x_{1}-3)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+···+(x_{n}-3)^{2}]$，则样本容量是，样本平均数是.

5. 12 3

【分析】
要解决这道题，需先明确方差的标准计算公式：$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，其中$n$表示样本容量，$\overline{x}$表示样本平均数。将题目给出的方差表达式与标准公式对比，即可直接找出对应的样本容量和样本平均数：公式中$\frac{1}{n}$的分母$n$对应题目中的12，括号里的减数值$\overline{x}$对应题目中的3。
【解析】
根据方差的标准计算公式：
$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，
其中$n$为样本容量，$\overline{x}$为样本平均数。
对比题目中的方差表达式$s^{2}=\frac{1}{12}[(x_{1}-3)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+···+(x_{n}-3)^{2}]$：
1. 由$\frac{1}{n}=\frac{1}{12}$，可得样本容量$n=12$；
2. 由括号内的$(x_i - 3)^2$，可得样本平均数$\overline{x}=3$。
【答案】
12；3
【知识点】
方差计算公式、样本容量、样本平均数
【点评】
本题为统计基础题，核心考查方差公式的结构与各参数含义，只需牢记方差公式并进行直接对比，即可快速得出结果，侧重对统计基本概念的理解与记忆。
【难度系数】
0.9

6. 已知$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$的方差是 2，则数据$2x_{1}+3$，$2x_{2}+3$，$2x_{3}+3$的方差是.

6. 8

设$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$的平均数为$\overline{x}$，则方差$s^{2}=\frac{1}{3}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+(x_{3}-\overline{x})^{2}]=2$。
数据$2x_{1}+3$，$2x_{2}+3$，$2x_{3}+3$的平均数为$\overline{y}=\frac{1}{3}[(2x_{1}+3)+(2x_{2}+3)+(2x_{3}+3)]=2\overline{x}+3$。
其方差为：
$\begin{aligned}s'^{2}&=\frac{1}{3}[(2x_{1}+3-(2\overline{x}+3))^{2}+(2x_{2}+3-(2\overline{x}+3))^{2}+(2x_{3}+3-(2\overline{x}+3))^{2}]\\&=\frac{1}{3}[(2(x_{1}-\overline{x}))^{2}+(2(x_{2}-\overline{x}))^{2}+(2(x_{3}-\overline{x}))^{2}]\\&=\frac{1}{3}[4(x_{1}-\overline{x})^{2}+4(x_{2}-\overline{x})^{2}+4(x_{3}-\overline{x})^{2}]\\&=4×\frac{1}{3}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+(x_{3}-\overline{x})^{2}]\\&=4s^{2}\\&=4×2\\&=8\end{aligned}$
8

三、解答题
7. 某同学参加一项体育训练的近 5 次测试成绩(单位：分)如下：10，13，12，14.5，15.5.计算这位同学这项体育成绩的方差.

7. 3.7

首先计算平均数：$\bar{x} = \frac{10 + 13 + 12 + 14.5 + 15.5}{5} = \frac{65}{5} = 13$
然后计算方差：$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}[(10 - 13)^2 + (13 - 13)^2 + (12 - 13)^2 + (14.5 - 13)^2 + (15.5 - 13)^2]\\&=\frac{1}{5}[(-3)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 1.5^2 + 2.5^2]\\&=\frac{1}{5}[9 + 0 + 1 + 2.25 + 6.25]\\&=\frac{1}{5} × 18.5\\&= 3.7\end{aligned}$
3.7