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4.因式分解:
(1)$m^3-6m^2n+9mn^2=$
(2)$x^2y-4y=$
(3)$-ax^2+2axy-ay^2=$
(4)$6xy^2-9x^2y-y^3=$
(5)$a^2(a-1)+(1-a)=$
(1)$m^3-6m^2n+9mn^2=$
$m(m-3n)^{2}$
;(2)$x^2y-4y=$
$y(x+2)(x-2)$
;(3)$-ax^2+2axy-ay^2=$
$-a(x-y)^{2}$
;(4)$6xy^2-9x^2y-y^3=$
$-y(3x-y)^{2}$
;(5)$a^2(a-1)+(1-a)=$
$(a-1)^{2}(a+1)$
。答案
4.(1)$m(m-3n)^{2}$ (2)$y(x+2)(x-2)$ (3)$-a(x-y)^{2}$
(4)$-y(3x-y)^{2}$ (5)$(a-1)^{2}(a+1)$
(4)$-y(3x-y)^{2}$ (5)$(a-1)^{2}(a+1)$
解析
【分析】
这五道因式分解题的核心解题思路是“先提公因式，再用公式法”，逐步分解至不能再分解：
(1) 先观察到每一项都含公因式$m$，提取后剩余部分是符合完全平方公式的二次三项式，继续分解；
(2) 先提取公因式$y$，剩余部分是平方差形式，用平方差公式分解；
(3) 先提取公因式$-a$，剩余部分是完全平方形式，用完全平方公式分解；
(4) 先提取公因式$-y$，注意提取后各项符号变化，剩余部分是完全平方形式，再用公式分解；
(5) 先将$(1-a)$变形为$-(a-1)$，统一公因式形式后提取，剩余部分是平方差，继续分解。
【解析】
(1) $m^3-6m^2n+9mn^2$
$=m(m^2-6mn+9n^2)$ （提取公因式$m$）
$=m(m-3n)^2$ （利用完全平方公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=m$，$b=3n$）
(2) $x^2y-4y$
$=y(x^2-4)$ （提取公因式$y$）
$=y(x+2)(x-2)$ （利用平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=2$）
(3) $-ax^2+2axy-ay^2$
$=-a(x^2-2xy+y^2)$ （提取公因式$-a$）
$=-a(x-y)^2$ （利用完全平方公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=y$）
(4) $6xy^2-9x^2y-y^3$
$=-y(9x^2-6xy+y^2)$ （提取公因式$-y$）
$=-y(3x-y)^2$ （利用完全平方公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=3x$，$b=y$）
(5) $a^2(a-1)+(1-a)$
$=a^2(a-1)-(a-1)$ （将$(1-a)$变形为$-(a-1)$）
$=(a-1)(a^2-1)$ （提取公因式$(a-1)$）
$=(a-1)(a-1)(a+1)$ （利用平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=a$，$b=1$）
$=(a-1)^2(a+1)$
【答案】
(1)$m(m-3n)^{2}$；(2)$y(x+2)(x-2)$；(3)$-a(x-y)^{2}$；(4)$-y(3x-y)^{2}$；(5)$(a-1)^{2}(a+1)$
【知识点】
1. 提取公因式法；2. 完全平方公式；3. 平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，重点在于掌握“提公因式优先”的原则，以及公式法的灵活应用，同时要注意符号处理和分解的彻底性，避免出现分解不完整的情况。
【难度系数】
0.6
这五道因式分解题的核心解题思路是“先提公因式，再用公式法”，逐步分解至不能再分解：
(1) 先观察到每一项都含公因式$m$，提取后剩余部分是符合完全平方公式的二次三项式，继续分解；
(2) 先提取公因式$y$，剩余部分是平方差形式，用平方差公式分解；
(3) 先提取公因式$-a$，剩余部分是完全平方形式，用完全平方公式分解；
(4) 先提取公因式$-y$，注意提取后各项符号变化，剩余部分是完全平方形式，再用公式分解；
(5) 先将$(1-a)$变形为$-(a-1)$，统一公因式形式后提取，剩余部分是平方差，继续分解。
【解析】
(1) $m^3-6m^2n+9mn^2$
$=m(m^2-6mn+9n^2)$ （提取公因式$m$）
$=m(m-3n)^2$ （利用完全平方公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=m$，$b=3n$）
(2) $x^2y-4y$
$=y(x^2-4)$ （提取公因式$y$）
$=y(x+2)(x-2)$ （利用平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=2$）
(3) $-ax^2+2axy-ay^2$
$=-a(x^2-2xy+y^2)$ （提取公因式$-a$）
$=-a(x-y)^2$ （利用完全平方公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=y$）
(4) $6xy^2-9x^2y-y^3$
$=-y(9x^2-6xy+y^2)$ （提取公因式$-y$）
$=-y(3x-y)^2$ （利用完全平方公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=3x$，$b=y$）
(5) $a^2(a-1)+(1-a)$
$=a^2(a-1)-(a-1)$ （将$(1-a)$变形为$-(a-1)$）
$=(a-1)(a^2-1)$ （提取公因式$(a-1)$）
$=(a-1)(a-1)(a+1)$ （利用平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=a$，$b=1$）
$=(a-1)^2(a+1)$
【答案】
(1)$m(m-3n)^{2}$；(2)$y(x+2)(x-2)$；(3)$-a(x-y)^{2}$；(4)$-y(3x-y)^{2}$；(5)$(a-1)^{2}(a+1)$
【知识点】
1. 提取公因式法；2. 完全平方公式；3. 平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，重点在于掌握“提公因式优先”的原则，以及公式法的灵活应用，同时要注意符号处理和分解的彻底性，避免出现分解不完整的情况。
【难度系数】
0.6
1.下列因式分解正确的是(
A.$x^2-9=(x+9)(x-9)$
B.$9x^2-4y^2=(9x+4y)(9x-4y)$
C.$x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{4})^2$
D.$-x^2-4xy-4y^2=-(x+2y)^2$
D
)。A.$x^2-9=(x+9)(x-9)$
B.$9x^2-4y^2=(9x+4y)(9x-4y)$
C.$x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{4})^2$
D.$-x^2-4xy-4y^2=-(x+2y)^2$
答案
1.D
解析
【分析】
解题思路：首先回忆因式分解的平方差公式和完全平方公式的结构特征，再逐一分析每个选项，对照公式判断其因式分解是否正确。
1. 对于选项A，需明确$x^2-9$是$x^2$与$3^2$的差，应使用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行分解；
2. 选项B中$9x^2-4y^2$是$(3x)^2$与$(2y)^2$的差，同样用平方差公式验证；
3. 选项C是二次三项式，需对照完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，判断中间项是否符合；
4. 选项D先提取负号，再看括号内的式子是否符合完全平方公式。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$，而选项中写成$(x+9)(x-9)$，分解错误；
选项B：$9x^2-4y^2=(3x)^2-(2y)^2=(3x+2y)(3x-2y)$，选项中写成$(9x+4y)(9x-4y)$，分解错误；
选项C：$x^2-x+\frac{1}{4}=x^2-2· x·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})^2$，选项中写成$(x-\frac{1}{4})^2$，展开后与原式不符，分解错误；
选项D：$-x^2-4xy-4y^2=-(x^2+4xy+4y^2)=-(x+2y)^2$，分解正确。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解公式的应用，重点在于准确把握平方差公式和完全平方公式的结构，同时注意符号处理与公式的正确匹配，是对因式分解基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆因式分解的平方差公式和完全平方公式的结构特征，再逐一分析每个选项，对照公式判断其因式分解是否正确。
1. 对于选项A，需明确$x^2-9$是$x^2$与$3^2$的差，应使用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行分解；
2. 选项B中$9x^2-4y^2$是$(3x)^2$与$(2y)^2$的差，同样用平方差公式验证；
3. 选项C是二次三项式，需对照完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，判断中间项是否符合；
4. 选项D先提取负号，再看括号内的式子是否符合完全平方公式。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$，而选项中写成$(x+9)(x-9)$，分解错误；
选项B：$9x^2-4y^2=(3x)^2-(2y)^2=(3x+2y)(3x-2y)$，选项中写成$(9x+4y)(9x-4y)$，分解错误；
选项C：$x^2-x+\frac{1}{4}=x^2-2· x·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})^2$，选项中写成$(x-\frac{1}{4})^2$，展开后与原式不符，分解错误；
选项D：$-x^2-4xy-4y^2=-(x^2+4xy+4y^2)=-(x+2y)^2$，分解正确。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解公式的应用，重点在于准确把握平方差公式和完全平方公式的结构，同时注意符号处理与公式的正确匹配，是对因式分解基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
2.下列各式中,能用公式法因式分解的有(
①$-x^2-y^2$;②$-\frac{1}{4}a^2b^2+1$;③$a^2+ab+b^2$;④$-x^2+2x-y^2$;⑤$\frac{1}{4}-mn+m^2n^2$
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
)。①$-x^2-y^2$;②$-\frac{1}{4}a^2b^2+1$;③$a^2+ab+b^2$;④$-x^2+2x-y^2$;⑤$\frac{1}{4}-mn+m^2n^2$
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2.A
解析
【分析】
要判断每个式子能否用公式法因式分解，需明确公式法主要指平方差公式（$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$）和完全平方公式（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$），逐个分析如下：
1. 对于$-x^2-y^2$，提取负号得$-(x^2+y^2)$，$x^2+y^2$不符合平方差或完全平方公式的形式，无法用公式法分解；
2. 对于$-\frac{1}{4}a^2b^2+1$，可变形为$1^2 - (\frac{1}{2}ab)^2$，符合平方差公式的形式，能用公式法分解；
3. 对于$a^2+ab+b^2$，完全平方公式要求中间项为$\pm2ab$，此处是$ab$，不符合公式形式，无法用公式法分解；
4. 对于$-x^2+2x-y^2$，整理为$-(x^2-2x+y^2)$，括号内的式子既不是平方差形式，也不符合完全平方公式的结构，无法用公式法分解；
5. 对于$\frac{1}{4}-mn+m^2n^2$，可变形为$(mn)^2 - 2· mn·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式的形式，能用公式法分解。
综上，能用公式法因式分解的式子有2个，对应选项A。
【解析】
逐个判断各选项：
①$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，$x^2+y^2$不能用公式法分解，故①不符合；
②$-\frac{1}{4}a^2b^2+1=1^2 - (\frac{1}{2}ab)^2=(1+\frac{1}{2}ab)(1-\frac{1}{2}ab)$，符合平方差公式，故②符合；
③$a^2+ab+b^2$，不满足完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2$的结构，故③不符合；
④$-x^2+2x-y^2=-(x^2-2x+y^2)$，括号内式子无法用公式法分解，故④不符合；
⑤$\frac{1}{4}-mn+m^2n^2=(mn)^2 - 2· mn·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(mn-\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式，故⑤符合。
因此，能用公式法因式分解的有②和⑤，共2个。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题主要考查公式法因式分解的应用，关键是准确掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，注意对式子进行适当变形后再判断是否符合公式形式，避免因忽略符号或变形错误导致判断失误。
【难度系数】
0.6
要判断每个式子能否用公式法因式分解，需明确公式法主要指平方差公式（$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$）和完全平方公式（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$），逐个分析如下：
1. 对于$-x^2-y^2$，提取负号得$-(x^2+y^2)$，$x^2+y^2$不符合平方差或完全平方公式的形式，无法用公式法分解；
2. 对于$-\frac{1}{4}a^2b^2+1$，可变形为$1^2 - (\frac{1}{2}ab)^2$，符合平方差公式的形式，能用公式法分解；
3. 对于$a^2+ab+b^2$，完全平方公式要求中间项为$\pm2ab$，此处是$ab$，不符合公式形式，无法用公式法分解；
4. 对于$-x^2+2x-y^2$，整理为$-(x^2-2x+y^2)$，括号内的式子既不是平方差形式，也不符合完全平方公式的结构，无法用公式法分解；
5. 对于$\frac{1}{4}-mn+m^2n^2$，可变形为$(mn)^2 - 2· mn·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式的形式，能用公式法分解。
综上，能用公式法因式分解的式子有2个，对应选项A。
【解析】
逐个判断各选项：
①$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，$x^2+y^2$不能用公式法分解，故①不符合；
②$-\frac{1}{4}a^2b^2+1=1^2 - (\frac{1}{2}ab)^2=(1+\frac{1}{2}ab)(1-\frac{1}{2}ab)$，符合平方差公式，故②符合；
③$a^2+ab+b^2$，不满足完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2$的结构，故③不符合；
④$-x^2+2x-y^2=-(x^2-2x+y^2)$，括号内式子无法用公式法分解，故④不符合；
⑤$\frac{1}{4}-mn+m^2n^2=(mn)^2 - 2· mn·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(mn-\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式，故⑤符合。
因此，能用公式法因式分解的有②和⑤，共2个。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题主要考查公式法因式分解的应用，关键是准确掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，注意对式子进行适当变形后再判断是否符合公式形式，避免因忽略符号或变形错误导致判断失误。
【难度系数】
0.6
3.代数式$(a-3b)^2-4(a-3b)c+4c^2$可以写成(
A.$(a-3b+2c)^2$
B.$(a-3b-2c)^2$
C.$(a+3b+2c)^2$
D.$(a+3b-2c)^2$
B
)。A.$(a-3b+2c)^2$
B.$(a-3b-2c)^2$
C.$(a+3b+2c)^2$
D.$(a+3b-2c)^2$
答案
3.B
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的逆用，解题时可采用整体思想，把$(a-3b)$看作一个整体，观察代数式结构是否符合完全平方公式形式。回忆完全平方差公式：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，对比原式：$(a-3b)^2$对应$m^2$，$4c^2=(2c)^2$对应$n^2$，中间项$-4(a-3b)c=-2×(a-3b)×2c$，正好对应$-2mn$，因此原式可写成$(m-n)^2$的形式，代回$m$、$n$即可得到结果。
【解析】
设$m=a-3b$，$n=2c$，则原式转化为：
$m^2 - 2mn + n^2$
根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，可得：
$m^2 - 2mn + n^2=(m-n)^2$
将$m=a-3b$，$n=2c$代入上式：
$(m-n)^2=(a-3b-2c)^2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，整体思想
【点评】
本题主要考查完全平方公式的逆运用，解题关键是运用整体思想将$(a-3b)$看作一个整体，准确识别完全平方公式的结构特征。题目注重对基础公式的理解与应用，有助于提升学生对整式变形的掌握能力。
【难度系数】
0.8
这道题考查完全平方公式的逆用，解题时可采用整体思想，把$(a-3b)$看作一个整体，观察代数式结构是否符合完全平方公式形式。回忆完全平方差公式：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，对比原式：$(a-3b)^2$对应$m^2$，$4c^2=(2c)^2$对应$n^2$，中间项$-4(a-3b)c=-2×(a-3b)×2c$，正好对应$-2mn$，因此原式可写成$(m-n)^2$的形式，代回$m$、$n$即可得到结果。
【解析】
设$m=a-3b$，$n=2c$，则原式转化为：
$m^2 - 2mn + n^2$
根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，可得：
$m^2 - 2mn + n^2=(m-n)^2$
将$m=a-3b$，$n=2c$代入上式：
$(m-n)^2=(a-3b-2c)^2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，整体思想
【点评】
本题主要考查完全平方公式的逆运用，解题关键是运用整体思想将$(a-3b)$看作一个整体，准确识别完全平方公式的结构特征。题目注重对基础公式的理解与应用，有助于提升学生对整式变形的掌握能力。
【难度系数】
0.8
4.若关于$x$的二次三项式$4x^2-kx+1$能用完全平方公式因式分解,则$k$的值是(
A.4
B.-4或4
C.8
D.-8或8
B
)。A.4
B.-4或4
C.8
D.-8或8
答案
4.B
解析
【分析】
首先回忆完全平方公式的结构：$(a±b)²=a²±2ab+b²$。题目中的二次三项式$4x²-kx+1$是完全平方式，先将$4x²$转化为$(2x)²$，$1$转化为$1²$，根据完全平方公式的中间项特征，中间项应为$±2×a×b$，也就是$±2×2x×1=±4x$。题目中的中间项是$-kx$，因此$-kx=±4x$，由此可解出$k$的值。需注意完全平方公式有和的平方与差的平方两种形式，$k$有两个可能值，不要遗漏。
【解析】
根据完全平方公式：$(a±b)²=a²±2ab+b²$，
对于二次三项式$4x²-kx+1$，可变形为$(2x)² -kx +1²$，
对比完全平方公式的结构，中间项需满足：
$-kx = ±2×2x×1$
即 $-kx = ±4x$
两边同时除以$x$（$x≠0$），可得：
$-k = ±4$
解得$k = -4$或$4$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式应用
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，解题关键是准确识别完全平方式中的$a$和$b$，同时要牢记完全平方公式的两种形式，避免因忽略符号导致漏解。
【难度系数】
0.7
首先回忆完全平方公式的结构：$(a±b)²=a²±2ab+b²$。题目中的二次三项式$4x²-kx+1$是完全平方式，先将$4x²$转化为$(2x)²$，$1$转化为$1²$，根据完全平方公式的中间项特征，中间项应为$±2×a×b$，也就是$±2×2x×1=±4x$。题目中的中间项是$-kx$，因此$-kx=±4x$，由此可解出$k$的值。需注意完全平方公式有和的平方与差的平方两种形式，$k$有两个可能值，不要遗漏。
【解析】
根据完全平方公式：$(a±b)²=a²±2ab+b²$，
对于二次三项式$4x²-kx+1$，可变形为$(2x)² -kx +1²$，
对比完全平方公式的结构，中间项需满足：
$-kx = ±2×2x×1$
即 $-kx = ±4x$
两边同时除以$x$（$x≠0$），可得：
$-k = ±4$
解得$k = -4$或$4$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式应用
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，解题关键是准确识别完全平方式中的$a$和$b$，同时要牢记完全平方公式的两种形式，避免因忽略符号导致漏解。
【难度系数】
0.7
5.若$3x-2y=a,x-4y=b$,则$(x+y)^2-(2x-3y)^2$的值是(
A.$ab$
B.$-ab$
C.$a^2+b^2$
D.$a^2-b^2$
B
)。A.$ab$
B.$-ab$
C.$a^2+b^2$
D.$a^2-b^2$
答案
5.B
解析
【分析】
首先观察待求式$(x+y)^2-(2x-3y)^2$，它符合平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$的形式，优先考虑用平方差公式分解因式。接下来需要将分解后的式子与已知条件$3x-2y=a$、$x-4y=b$建立联系：分别计算$(x+y)-(2x-3y)$和$(x+y)+(2x-3y)$，化简后发现这两个结果可直接用$a$和$b$表示，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 利用平方差公式分解待求式：
$(x+y)^2-(2x-3y)^2=[(x+y)-(2x-3y)][(x+y)+(2x-3y)]$
2. 分别化简两个括号内的式子：
计算$(x+y)-(2x-3y)$：
$x+y-2x+3y=-x+4y=-(x-4y)$，已知$x-4y=b$，因此该式等于$-b$；
计算$(x+y)+(2x-3y)$：
$x+y+2x-3y=3x-2y$，已知$3x-2y=a$，因此该式等于$a$；
3. 将化简结果代入分解后的式子：
原式$=a×(-b)=-ab$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整体代入法
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活运用以及整体代入思想的应用。解题关键是识别待求式的平方差结构，通过化简将其转化为已知条件的形式，计算过程中需注意符号的处理，避免出错。
【难度系数】
0.6
首先观察待求式$(x+y)^2-(2x-3y)^2$，它符合平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$的形式，优先考虑用平方差公式分解因式。接下来需要将分解后的式子与已知条件$3x-2y=a$、$x-4y=b$建立联系：分别计算$(x+y)-(2x-3y)$和$(x+y)+(2x-3y)$，化简后发现这两个结果可直接用$a$和$b$表示，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 利用平方差公式分解待求式：
$(x+y)^2-(2x-3y)^2=[(x+y)-(2x-3y)][(x+y)+(2x-3y)]$
2. 分别化简两个括号内的式子：
计算$(x+y)-(2x-3y)$：
$x+y-2x+3y=-x+4y=-(x-4y)$，已知$x-4y=b$，因此该式等于$-b$；
计算$(x+y)+(2x-3y)$：
$x+y+2x-3y=3x-2y$，已知$3x-2y=a$，因此该式等于$a$；
3. 将化简结果代入分解后的式子：
原式$=a×(-b)=-ab$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整体代入法
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活运用以及整体代入思想的应用。解题关键是识别待求式的平方差结构，通过化简将其转化为已知条件的形式，计算过程中需注意符号的处理，避免出错。
【难度系数】
0.6
6.将下列多项式进行因式分解,结果中不含有因式$a+1$的是(
A.$a^2-1$
B.$a^2+a$
C.$(a+1)^2-a-1$
D.$(a-2)^2+2(a-2)+1$
D
)。A.$a^2-1$
B.$a^2+a$
C.$(a+1)^2-a-1$
D.$(a-2)^2+2(a-2)+1$
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要对每个选项中的多项式进行因式分解，然后判断结果是否含有因式$a+1$。解题思路如下：
1. 回忆因式分解的常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式；
2. 逐个对选项进行因式分解：
选项A是平方差形式，用平方差公式分解；
选项B有公因式$a$，用提公因式法分解；
选项C可将$-a-1$变形为$-(a+1)$，再提公因式$(a+1)$；
选项D把$(a-2)$看作整体，符合完全平方公式的形式，用完全平方公式分解；
3. 最后对比各选项的分解结果，找出不含$a+1$的选项。
【解析】
A选项：根据平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，可得
$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$，含有因式$a+1$；
B选项：提取公因式$a$，可得
$a^2 + a = a(a+1)$，含有因式$a+1$；
C选项：先将$-a-1$变形为$-(a+1)$，再提取公因式$(a+1)$，可得
$(a+1)^2 - a - 1 = (a+1)^2 - (a+1) = (a+1)(a+1 - 1) = a(a+1)$，含有因式$a+1$；
D选项：把$(a-2)$看作一个整体，根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，可得
$(a-2)^2 + 2(a-2) + 1 = [(a-2) + 1]^2 = (a-1)^2$，不含有因式$a+1$。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，重点考查对提公因式法和公式法的运用，同时涉及整体思想的应用。解题时需仔细观察多项式的结构，选择合适的分解方法，避免因变形错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要对每个选项中的多项式进行因式分解，然后判断结果是否含有因式$a+1$。解题思路如下：
1. 回忆因式分解的常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式；
2. 逐个对选项进行因式分解：
选项A是平方差形式，用平方差公式分解；
选项B有公因式$a$，用提公因式法分解；
选项C可将$-a-1$变形为$-(a+1)$，再提公因式$(a+1)$；
选项D把$(a-2)$看作整体，符合完全平方公式的形式，用完全平方公式分解；
3. 最后对比各选项的分解结果，找出不含$a+1$的选项。
【解析】
A选项：根据平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，可得
$a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$，含有因式$a+1$；
B选项：提取公因式$a$，可得
$a^2 + a = a(a+1)$，含有因式$a+1$；
C选项：先将$-a-1$变形为$-(a+1)$，再提取公因式$(a+1)$，可得
$(a+1)^2 - a - 1 = (a+1)^2 - (a+1) = (a+1)(a+1 - 1) = a(a+1)$，含有因式$a+1$；
D选项：把$(a-2)$看作一个整体，根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，可得
$(a-2)^2 + 2(a-2) + 1 = [(a-2) + 1]^2 = (a-1)^2$，不含有因式$a+1$。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，重点考查对提公因式法和公式法的运用，同时涉及整体思想的应用。解题时需仔细观察多项式的结构，选择合适的分解方法，避免因变形错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7
7.因式分解:
(1)$9x^2-16y^4=$
(2)$\frac{1}{4}m^2n^2-5mn+25=$
(3)$(x+2)(x-6)+16=$
(1)$9x^2-16y^4=$
$(3x+4y^{2})(3x-4y^{2})$
;(2)$\frac{1}{4}m^2n^2-5mn+25=$
$(\dfrac{1}{2}mn-5)^{2}$
;(3)$(x+2)(x-6)+16=$
$(x-2)^{2}$
。答案
7.(1)$(3x+4y^{2})(3x-4y^{2})$ (2)$(\dfrac{1}{2}mn-5)^{2}$
(3)$(x-2)^{2}$
(3)$(x-2)^{2}$
解析
【分析】
这三道因式分解题需结合式子特征选择对应公式求解：
1. 第(1)题：式子是两个平方项的差，符合平方差公式形式，先确定两项的底数，再套用平方差公式分解。
2. 第(2)题：式子为三项式，首末项是平方项，中间项是首末项底数乘积的2倍的相反数，符合完全平方差公式特征，直接套用公式分解。
3. 第(3)题：式子含多项式乘法，先展开乘法运算，合并同类项后得到二次三项式，再观察其是否符合完全平方公式完成分解。
【解析】
(1) $9x^2-16y^4$
$=(3x)^2-(4y^2)^2$
$=(3x+4y^2)(3x-4y^2)$（依据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$）
(2) $\frac{1}{4}m^2n^2-5mn+25$
$=(\frac{1}{2}mn)^2-2×\frac{1}{2}mn×5+5^2$
$=(\frac{1}{2}mn-5)^2$（依据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$）
(3) $(x+2)(x-6)+16$
$=x^2-6x+2x-12+16$（展开多项式乘法）
$=x^2-4x+4$（合并同类项）
$=(x-2)^2$（依据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$）
【答案】
(1)$(3x+4y^{2})(3x-4y^{2})$；(2)$(\dfrac{1}{2}mn-5)^{2}$；(3)$(x-2)^{2}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，多项式乘法
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，需准确识别平方差公式与完全平方公式的形式，含多项式乘法的式子要先整理再分解，解题时注意公式的正确应用，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
这三道因式分解题需结合式子特征选择对应公式求解：
1. 第(1)题：式子是两个平方项的差，符合平方差公式形式，先确定两项的底数，再套用平方差公式分解。
2. 第(2)题：式子为三项式，首末项是平方项，中间项是首末项底数乘积的2倍的相反数，符合完全平方差公式特征，直接套用公式分解。
3. 第(3)题：式子含多项式乘法，先展开乘法运算，合并同类项后得到二次三项式，再观察其是否符合完全平方公式完成分解。
【解析】
(1) $9x^2-16y^4$
$=(3x)^2-(4y^2)^2$
$=(3x+4y^2)(3x-4y^2)$（依据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$）
(2) $\frac{1}{4}m^2n^2-5mn+25$
$=(\frac{1}{2}mn)^2-2×\frac{1}{2}mn×5+5^2$
$=(\frac{1}{2}mn-5)^2$（依据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$）
(3) $(x+2)(x-6)+16$
$=x^2-6x+2x-12+16$（展开多项式乘法）
$=x^2-4x+4$（合并同类项）
$=(x-2)^2$（依据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$）
【答案】
(1)$(3x+4y^{2})(3x-4y^{2})$；(2)$(\dfrac{1}{2}mn-5)^{2}$；(3)$(x-2)^{2}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，多项式乘法
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，需准确识别平方差公式与完全平方公式的形式，含多项式乘法的式子要先整理再分解，解题时注意公式的正确应用，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
8.把下列各式因式分解:
(1)$2x^2y-8xy+8y$;
(2)$-\frac{1}{4}m^2-m-1$;
(3)$(x^2-5)^2+8(x^2-5)+16$。
(1)$2x^2y-8xy+8y$;
(2)$-\frac{1}{4}m^2-m-1$;
(3)$(x^2-5)^2+8(x^2-5)+16$。
答案
8.(1)$2y(x-2)^{2}$ (2)$-(\dfrac{1}{2}m+1)^{2}$
(3)$(x+1)^{2}(x-1)^{2}$
(3)$(x+1)^{2}(x-1)^{2}$
解析
【分析】
本题考查因式分解，需根据不同式子的特点，结合提公因式法和公式法（完全平方公式、平方差公式）进行分解：
(1) 首先观察到各项都含有公因式$2y$，先提取公因式，再看剩余部分是否符合完全平方公式的形式，若符合则继续用完全平方公式分解；
(2) 先提取负号，将式子转化为括号内的二次三项式，再观察括号内的式子是否符合完全平方公式的特征，进而进行分解；
(3) 把$(x^2-5)$看作一个整体，利用完全平方公式分解，得到的结果中还有可分解的因式，再利用平方差公式继续分解，直到不能分解为止。
【解析】
(1) $2x^2y - 8xy + 8y$
$=2y(x^2 - 4x + 4)$ （提取公因式$2y$）
$=2y(x - 2)^2$ （利用完全平方公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=2$）
(2) $-\frac{1}{4}m^2 - m - 1$
$=-(\frac{1}{4}m^2 + m + 1)$ （提取负号）
$=-[(\frac{1}{2}m)^2 + 2×\frac{1}{2}m×1 + 1^2]$ （将括号内式子变形为完全平方公式的形式）
$=-(\frac{1}{2}m + 1)^2$ （利用完全平方公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=\frac{1}{2}m$，$b=1$）
(3) $(x^2 - 5)^2 + 8(x^2 - 5) + 16$
$=[(x^2 - 5) + 4]^2$ （把$x^2-5$看作整体，利用完全平方公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x^2-5$，$b=4$）
$=(x^2 - 1)^2$ （化简括号内的式子）
$=[(x+1)(x-1)]^2$ （利用平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=1$）
$=(x+1)^2(x-1)^2$ （根据积的乘方法则变形）
【答案】
(1)$2y(x-2)^{2}$；(2)$-(\dfrac{1}{2}m+1)^{2}$；(3)$(x+1)^{2}(x-1)^{2}$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查因式分解的综合应用，解题关键是熟练掌握提公因式法和公式法的特点，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止，对于整体换元的思路要灵活运用。
【难度系数】
0.6
本题考查因式分解，需根据不同式子的特点，结合提公因式法和公式法（完全平方公式、平方差公式）进行分解：
(1) 首先观察到各项都含有公因式$2y$，先提取公因式，再看剩余部分是否符合完全平方公式的形式，若符合则继续用完全平方公式分解；
(2) 先提取负号，将式子转化为括号内的二次三项式，再观察括号内的式子是否符合完全平方公式的特征，进而进行分解；
(3) 把$(x^2-5)$看作一个整体，利用完全平方公式分解，得到的结果中还有可分解的因式，再利用平方差公式继续分解，直到不能分解为止。
【解析】
(1) $2x^2y - 8xy + 8y$
$=2y(x^2 - 4x + 4)$ （提取公因式$2y$）
$=2y(x - 2)^2$ （利用完全平方公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=2$）
(2) $-\frac{1}{4}m^2 - m - 1$
$=-(\frac{1}{4}m^2 + m + 1)$ （提取负号）
$=-[(\frac{1}{2}m)^2 + 2×\frac{1}{2}m×1 + 1^2]$ （将括号内式子变形为完全平方公式的形式）
$=-(\frac{1}{2}m + 1)^2$ （利用完全平方公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=\frac{1}{2}m$，$b=1$）
(3) $(x^2 - 5)^2 + 8(x^2 - 5) + 16$
$=[(x^2 - 5) + 4]^2$ （把$x^2-5$看作整体，利用完全平方公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x^2-5$，$b=4$）
$=(x^2 - 1)^2$ （化简括号内的式子）
$=[(x+1)(x-1)]^2$ （利用平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=1$）
$=(x+1)^2(x-1)^2$ （根据积的乘方法则变形）
【答案】
(1)$2y(x-2)^{2}$；(2)$-(\dfrac{1}{2}m+1)^{2}$；(3)$(x+1)^{2}(x-1)^{2}$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题主要考查因式分解的综合应用，解题关键是熟练掌握提公因式法和公式法的特点，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止，对于整体换元的思路要灵活运用。
【难度系数】
0.6
9.阅读下列材料,并解答相应问题:
教科书中这样写道:“形如 $a^2\pm2ab+b^2$ 的式子称为完全平方式。”如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题。
例如:因式分解:$x^2+2x-3$。
解:原式$=x^2+2x+1-1-3=(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$。
再如:求代数式$x^2+6x-1$的最小值。
解:$x^2+6x-1=x^2+6x+9-9-1=(x+3)^2-10$,
因为$(x+3)^2≥0$,可知当$x=-3$时,$x^2+6x-1$有最小值,最小值是-10。
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)因式分解:$x^2-6x-7$;
(2)当$x$为何值时,多项式$x^2-4x+3$有最小值?并求出这个最小值。
教科书中这样写道:“形如 $a^2\pm2ab+b^2$ 的式子称为完全平方式。”如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题。
例如:因式分解:$x^2+2x-3$。
解:原式$=x^2+2x+1-1-3=(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$。
再如:求代数式$x^2+6x-1$的最小值。
解:$x^2+6x-1=x^2+6x+9-9-1=(x+3)^2-10$,
因为$(x+3)^2≥0$,可知当$x=-3$时,$x^2+6x-1$有最小值,最小值是-10。
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)因式分解:$x^2-6x-7$;
(2)当$x$为何值时,多项式$x^2-4x+3$有最小值?并求出这个最小值。
答案
9.解:(1)原式$=x^{2}-6x+9-9-7=(x-3)^{2}-16=(x-3$
$+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7);$
(2)原式$=x^{2}-4x+4-4+3=(x-2)^{2}-1,$
因为$(x-2)^{2}≥0,$
所以当$x=2$时,$x^{2}-4x+3$有最小值,最小值是-1。
$+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7);$
(2)原式$=x^{2}-4x+4-4+3=(x-2)^{2}-1,$
因为$(x-2)^{2}≥0,$
所以当$x=2$时,$x^{2}-4x+3$有最小值,最小值是-1。
解析
【分析】
（1）对于因式分解$x^2 - 6x - 7$，参照材料中的配方法思路：先添加一次项系数一半的平方，凑出完全平方式，再减去该平方项保证式子值不变，将式子转化为平方差形式后，利用平方差公式完成因式分解。
（2）对于求多项式$x^2 - 4x + 3$的最小值，用配方法将多项式凑成完全平方式与常数的和的形式，结合完全平方式的非负性（$(a\pm b)^2≥0$），当完全平方式的值为0时，整个多项式取得最小值，据此确定x的值和最小值。
【解析】
(1) 因式分解$x^2 - 6x - 7$：
原式$=x^2 - 6x + 9 - 9 - 7$
$=(x - 3)^2 - 16$
$=(x - 3 + 4)(x - 3 - 4)$
$=(x + 1)(x - 7)$
(2) 求多项式$x^2 - 4x + 3$的最小值：
原式$=x^2 - 4x + 4 - 4 + 3$
$=(x - 2)^2 - 1$
因为$(x - 2)^2≥0$，所以当$(x - 2)^2=0$，即$x=2$时，$x^2 - 4x + 3$有最小值，最小值为$-1$。
【答案】
(1) $(x + 1)(x - 7)$；
(2) 当$x=2$时，多项式$x^2 - 4x + 3$有最小值，最小值是$-1$。
【知识点】
配方法的应用、因式分解（公式法）、非负数的性质
【点评】
本题考查配方法的实际应用，通过配方法将多项式转化为完全平方式，既可以利用平方差公式进行因式分解，又能借助完全平方式的非负性求代数式的最值，解题关键是熟练掌握配方法的步骤，理解完全平方式的结构特征和非负性。
【难度系数】
0.8
（1）对于因式分解$x^2 - 6x - 7$，参照材料中的配方法思路：先添加一次项系数一半的平方，凑出完全平方式，再减去该平方项保证式子值不变，将式子转化为平方差形式后，利用平方差公式完成因式分解。
（2）对于求多项式$x^2 - 4x + 3$的最小值，用配方法将多项式凑成完全平方式与常数的和的形式，结合完全平方式的非负性（$(a\pm b)^2≥0$），当完全平方式的值为0时，整个多项式取得最小值，据此确定x的值和最小值。
【解析】
(1) 因式分解$x^2 - 6x - 7$：
原式$=x^2 - 6x + 9 - 9 - 7$
$=(x - 3)^2 - 16$
$=(x - 3 + 4)(x - 3 - 4)$
$=(x + 1)(x - 7)$
(2) 求多项式$x^2 - 4x + 3$的最小值：
原式$=x^2 - 4x + 4 - 4 + 3$
$=(x - 2)^2 - 1$
因为$(x - 2)^2≥0$，所以当$(x - 2)^2=0$，即$x=2$时，$x^2 - 4x + 3$有最小值，最小值为$-1$。
【答案】
(1) $(x + 1)(x - 7)$；
(2) 当$x=2$时，多项式$x^2 - 4x + 3$有最小值，最小值是$-1$。
【知识点】
配方法的应用、因式分解（公式法）、非负数的性质
【点评】
本题考查配方法的实际应用，通过配方法将多项式转化为完全平方式，既可以利用平方差公式进行因式分解，又能借助完全平方式的非负性求代数式的最值，解题关键是熟练掌握配方法的步骤，理解完全平方式的结构特征和非负性。
【难度系数】
0.8
