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例2 已知 $ y = (k - 3)x^{k^2 - 8} $ 是关于 $ x $ 的正比例函数。
(1)写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
(2)求当 $ x = -4 $ 时,$ y $ 的值。
解：(1)当 $ k^2 - 8 = 1 $,且 $ k - 3 \neq 0 $ 时,$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数,
故 $ k = -3 $ 时,$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数,所以 $ y = -6x $。
(2)当 $ x = -4 $ 时,$ y = -6×(-4) = 24 $。
(1)写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
(2)求当 $ x = -4 $ 时,$ y $ 的值。
解：(1)当 $ k^2 - 8 = 1 $,且 $ k - 3 \neq 0 $ 时,$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数,
故 $ k = -3 $ 时,$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数,所以 $ y = -6x $。
(2)当 $ x = -4 $ 时,$ y = -6×(-4) = 24 $。
答案
(1) 因为 $ y = (k - 3)x^{k^2 - 8} $ 是正比例函数，所以 $ k^2 - 8 = 1 $ 且 $ k - 3 \neq 0 $。
由 $ k^2 - 8 = 1 $，得 $ k^2 = 9 $，解得 $ k = \pm 3 $。
又因为 $ k - 3 \neq 0 $，所以 $ k \neq 3 $，故 $ k = -3 $。
所以函数表达式为 $ y = (-3 - 3)x = -6x $。
(2) 当 $ x = -4 $ 时，$ y = -6×(-4) = 24 $。
由 $ k^2 - 8 = 1 $，得 $ k^2 = 9 $，解得 $ k = \pm 3 $。
又因为 $ k - 3 \neq 0 $，所以 $ k \neq 3 $，故 $ k = -3 $。
所以函数表达式为 $ y = (-3 - 3)x = -6x $。
(2) 当 $ x = -4 $ 时，$ y = -6×(-4) = 24 $。
1. 下列函数：① $ y = x $；② $ y = 2x + 1 $；③ $ y = \dfrac{1}{x} $；④ $ y = \dfrac{x + 1}{2} - x $；⑤ $ s = 12t $；⑥ $ y = 30 - 4x $。其中是一次函数的有(
A.$ 2 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.$ 5 $ 个
D
)。A.$ 2 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.$ 5 $ 个
答案
D
解析
一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k$、$b$为常数，$k \neq 0$）。
①$y = x$，可写成$y = 1x + 0$，$k = 1 \neq 0$，是一次函数。
②$y = 2x + 1$，符合$y = kx + b$形式，$k = 2 \neq 0$，是一次函数。
③$y = \dfrac{1}{x}$，是反比例函数，不是一次函数。
④$y = \dfrac{x + 1}{2} - x = \dfrac{x + 1 - 2x}{2} = \dfrac{-x + 1}{2} = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$，符合$y = kx + b$形式，$k = -\dfrac{1}{2} \neq 0$，是一次函数。
⑤$s = 12t$，可写成$s = 12t + 0$，$k = 12 \neq 0$，是一次函数。
⑥$y = 30 - 4x$，可写成$y = -4x + 30$，$k = -4 \neq 0$，是一次函数。
综上，①②④⑤⑥是一次函数，共5个。
D
①$y = x$，可写成$y = 1x + 0$，$k = 1 \neq 0$，是一次函数。
②$y = 2x + 1$，符合$y = kx + b$形式，$k = 2 \neq 0$，是一次函数。
③$y = \dfrac{1}{x}$，是反比例函数，不是一次函数。
④$y = \dfrac{x + 1}{2} - x = \dfrac{x + 1 - 2x}{2} = \dfrac{-x + 1}{2} = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$，符合$y = kx + b$形式，$k = -\dfrac{1}{2} \neq 0$，是一次函数。
⑤$s = 12t$，可写成$s = 12t + 0$，$k = 12 \neq 0$，是一次函数。
⑥$y = 30 - 4x$，可写成$y = -4x + 30$，$k = -4 \neq 0$，是一次函数。
综上，①②④⑤⑥是一次函数，共5个。
D
2. 有一本书,每 $ 20 $ 页厚 $ 1 $ mm,设从第 $ 1 $ 页到第 $ x $ 页的厚度为 $ y $ mm,则(
A.$ y = \dfrac{1}{20}x $
B.$ y = 20x $
C.$ y = \dfrac{1}{20} + x $
D.$ y = \dfrac{20}{x} $
A
)。A.$ y = \dfrac{1}{20}x $
B.$ y = 20x $
C.$ y = \dfrac{1}{20} + x $
D.$ y = \dfrac{20}{x} $
答案
A
解析
每20页厚1mm，则每页厚度为$\frac{1}{20}$mm，从第1页到第x页的厚度$y = \frac{1}{20}x$。
A
A
3. 若函数 $ y = (m - 1)x^{|m|} + 2 $ 是一次函数,则 $ m $ 的值为(
A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ ±1 $
D.$ 2 $
B
)。A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ ±1 $
D.$ 2 $
答案
B
解析
因为函数$y=(m - 1)x^{|m|} + 2$是一次函数，所以需满足：
1. $|m|=1$，解得$m=\pm1$；
2. $m - 1\neq0$，即$m\neq1$。
综上，$m=-1$。
B
1. $|m|=1$，解得$m=\pm1$；
2. $m - 1\neq0$，即$m\neq1$。
综上，$m=-1$。
B
4. 若 $ y = mx + m - 1 $ 是正比例函数,则 $ m $ 的值为(
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ -1 $
D.$ 2 $
B
)。A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ -1 $
D.$ 2 $
答案
B
解析
因为正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k\neq0$），所以对于函数$y = mx + m - 1$，需满足：
1. 常数项为$0$，即$m - 1=0$，解得$m=1$；
2. 一次项系数不为$0$，当$m=1$时，$m=1\neq0$，符合条件。
综上，$m$的值为$1$。
B
1. 常数项为$0$，即$m - 1=0$，解得$m=1$；
2. 一次项系数不为$0$，当$m=1$时，$m=1\neq0$，符合条件。
综上，$m$的值为$1$。
B
5. 当 $ m = $
-2
时,$ y = -(m - 2)x^{m^2 - 3} + (m - 4) $ 是关于 $ x $ 的一次函数。答案
-2
解析
要使$y = -(m - 2)x^{m^2 - 3} + (m - 4)$是关于$x$的一次函数，需满足：
1. 自变量$x$的次数为$1$，即$m^2 - 3 = 1$，解得$m = \pm 2$；
2. 一次项系数不为$0$，即$-(m - 2) \neq 0$，解得$m \neq 2$。
综上，$m = -2$。
$-2$
1. 自变量$x$的次数为$1$，即$m^2 - 3 = 1$，解得$m = \pm 2$；
2. 一次项系数不为$0$，即$-(m - 2) \neq 0$，解得$m \neq 2$。
综上，$m = -2$。
$-2$
6. 据测试,拧不紧的水龙头每秒钟会滴下 $ 2 $ 滴水,每滴水约 $ 0.05 $ mL。小明同学在洗手后,没有把水龙头拧紧,当小明离开 $ x $ h 后水龙头滴了 $ y $ mL 水,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数关系式为
y=360x
。答案
y=360x
解析
1小时=3600秒，x小时=3600x秒，每秒钟滴2滴水，每滴水0.05mL，所以y=2×0.05×3600x=360x，即y=360x。
7. 某乡镇企业现在年产值是 $ 15 $ 万元,如果每增加 $ 100 $ 万元投资,一年就增加 $ 250 $ 万元产值,则总产值 $ y $(万元)与新增加的投资额 $ x $(万元)之间的函数关系式为
y=2.5x+15
。答案
y=2.5x+15
8. 若函数 $ y = (m - 2)x + 5 - m $ 是一次函数,则 $ m $ 应满足的条件是
m≠2
；若该函数为正比例函数,则 $ m $ 的值为5
,此时的函数关系式为y=3x
。答案
m≠2 5 y=3x
解析
m≠2；5；$y=3x$
9. 在下列函数中,哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
(1)$ y = -\dfrac{1}{2}x $； (2)$ y = -\dfrac{2}{x} $；
(3)$ y = -3 - 5x $；(4)$ y = -5x^2 $；
(5)$ y = 6x - \dfrac{1}{2} $； (6)$ y = x(x - 4) - x^2 $。
(1)$ y = -\dfrac{1}{2}x $； (2)$ y = -\dfrac{2}{x} $；
(3)$ y = -3 - 5x $；(4)$ y = -5x^2 $；
(5)$ y = 6x - \dfrac{1}{2} $； (6)$ y = x(x - 4) - x^2 $。
答案
一次函数：
(1)
(3)
(5)
(6)；正比例函数：
(1)
(6)。
(1)
(3)
(5)
(6)；正比例函数：
(1)
(6)。
10. 已知关于 $ x $ 的函数 $ y = (m + 1)x + (m^2 - 1) $。
(1)当 $ m $ 取什么值时,$ y $ 是 $ x $ 的一次函数？
(2)当 $ m $ 取什么值时,$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数？
(3)当 $ m $ 取什么值时,该函数与函数 $ y = -x + 3 $ 是同一个函数？
(1)当 $ m $ 取什么值时,$ y $ 是 $ x $ 的一次函数？
(2)当 $ m $ 取什么值时,$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数？
(3)当 $ m $ 取什么值时,该函数与函数 $ y = -x + 3 $ 是同一个函数？
答案
解：
(1)根据一次函数的定义可知，m+1≠0，解得m≠-1。
(2)因为函数y=(m+1)x+(m²-1)是正比例函数，所以m+1≠0，且m²-1=0，解得m=1。
(3)因为该函数与函数y=-x+3是同一个函数，所以m+1=-1，且m²-1=3，解得m=-2。
(1)根据一次函数的定义可知，m+1≠0，解得m≠-1。
(2)因为函数y=(m+1)x+(m²-1)是正比例函数，所以m+1≠0，且m²-1=0，解得m=1。
(3)因为该函数与函数y=-x+3是同一个函数，所以m+1=-1，且m²-1=3，解得m=-2。
