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3. 当$x$为何值时,代数式$x^{2}-13x - 13的值等于1$？
答案
$x_{1}=14$,$x_{2}=-1$
解析
由题意得$x^{2}-13x - 13=1$，
移项得$x^{2}-13x - 14=0$，
因式分解得$(x - 14)(x + 1)=0$，
则$x - 14=0$或$x + 1=0$，
解得$x_{1}=14$，$x_{2}=-1$。
移项得$x^{2}-13x - 14=0$，
因式分解得$(x - 14)(x + 1)=0$，
则$x - 14=0$或$x + 1=0$，
解得$x_{1}=14$，$x_{2}=-1$。
4. 关于$x的一元二次方程x^{2}+(2k + 1)x + k - 1 = 0$根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法判定
A
)A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法判定
答案
A
解析
$\Delta=(2k+1)^{2}-4×1×(k-1)=4k^{2}+4k+1-4k+4=4k^{2}+5$，因为$4k^{2}\geq0$，所以$4k^{2}+5＞0$，即$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。A
5. 关于$x的方程kx^{2}+3x - 1 = 0$有实数根,则$k$的取值范围是
$k\geqslant-\dfrac{9}{4}$
.答案
$k\geqslant-\dfrac{9}{4}$
解析
当$k = 0$时，方程为$3x - 1 = 0$，解得$x=\dfrac{1}{3}$，有实数根；
当$k \neq 0$时，方程为一元二次方程，$\Delta = 3^2 - 4k×(-1)=9 + 4k$，由$\Delta \geqslant 0$得$9 + 4k\geqslant 0$，解得$k\geqslant-\dfrac{9}{4}$；
综上，$k$的取值范围是$k\geqslant-\dfrac{9}{4}$。
当$k \neq 0$时，方程为一元二次方程，$\Delta = 3^2 - 4k×(-1)=9 + 4k$，由$\Delta \geqslant 0$得$9 + 4k\geqslant 0$，解得$k\geqslant-\dfrac{9}{4}$；
综上，$k$的取值范围是$k\geqslant-\dfrac{9}{4}$。
6. 已知关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0$,$b$,$c的值分别为4$,$2$,且$b^{2}-4ac = 0$,则$a= $
2
,$x= $-1
.答案
2,$-1$
解析
已知方程为$ax^{2}+4x + 2 = 0$，$b^{2}-4ac = 0$，即$4^{2}-4× a×2=0$，$16 - 8a=0$，$8a=16$，解得$a=2$。方程为$2x^{2}+4x + 2 = 0$，化简为$x^{2}+2x + 1 = 0$，$(x + 1)^{2}=0$，解得$x=-1$。
$2$，$-1$
$2$，$-1$
7. 已知$a$,$b$,$c$是三角形三条边的长,那么方程$cx^{2}+(a + b)x+\frac{c}{4}= 0$的根的情况是(
A.没有实数根
B.有两个不相等的正实数根
C.有两个不相等的负实数根
D.有两个异号实数根
C
)A.没有实数根
B.有两个不相等的正实数根
C.有两个不相等的负实数根
D.有两个异号实数根
答案
C
解析
$\Delta=(a+b)^2-4× c×\frac{c}{4}=(a+b)^2-c^2=(a+b+c)(a+b-c)$
∵$a$,$b$,$c$是三角形三边，
∴$a+b+c＞0$，$a+b-c＞0$，
∴$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
设方程两根为$x_1$,$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{a+b}{c}＜0$，$x_1x_2=\frac{\frac{c}{4}}{c}=\frac{1}{4}＞0$，
∴方程有两个不相等的负实数根。
C
∵$a$,$b$,$c$是三角形三边，
∴$a+b+c＞0$，$a+b-c＞0$，
∴$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根。
设方程两根为$x_1$,$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{a+b}{c}＜0$，$x_1x_2=\frac{\frac{c}{4}}{c}=\frac{1}{4}＞0$，
∴方程有两个不相等的负实数根。
C
8. 用公式法解方程$3x^{2}+4 = 12x$,下列代入公式正确的是(
A.$x= \frac{12\pm\sqrt{12^{2}-3×4}}{2}$
B.$x= \frac{-12\pm\sqrt{12^{2}-3×4}}{2}$
C.$x= \frac{-12\pm\sqrt{-(-12)^{2}-4×3×4}}{2×3}$
D.$x= \frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^{2}-4×3×4}}{2×3}$
D
)A.$x= \frac{12\pm\sqrt{12^{2}-3×4}}{2}$
B.$x= \frac{-12\pm\sqrt{12^{2}-3×4}}{2}$
C.$x= \frac{-12\pm\sqrt{-(-12)^{2}-4×3×4}}{2×3}$
D.$x= \frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^{2}-4×3×4}}{2×3}$
答案
D
解析
将方程化为一般形式：$3x^{2}-12x + 4=0$，其中$a = 3$，$b=-12$，$c = 4$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^{2}-4×3×4}}{2×3}$
D
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^{2}-4×3×4}}{2×3}$
D
9. 若关于$x的方程(m - 5)x^{2}+4x - 2 = 0$有实数根,则$m$的取值范围是(
A.$m＞0$
B.$m\geqslant3$
C.$m\geqslant3且m\neq5$
D.$m＞3且m\neq5$
B
)A.$m＞0$
B.$m\geqslant3$
C.$m\geqslant3且m\neq5$
D.$m＞3且m\neq5$
答案
B
解析
当$m - 5 = 0$，即$m = 5$时，方程为$4x - 2 = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$，有实数根；
当$m - 5 \neq 0$，即$m \neq 5$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta = 4^2 - 4(m - 5)(-2) = 16 + 8(m - 5) = 8m - 24$，由$\Delta \geq 0$得$8m - 24 \geq 0$，解得$m \geq 3$。
综上，$m$的取值范围是$m \geq 3$。
B
当$m - 5 \neq 0$，即$m \neq 5$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta = 4^2 - 4(m - 5)(-2) = 16 + 8(m - 5) = 8m - 24$，由$\Delta \geq 0$得$8m - 24 \geq 0$，解得$m \geq 3$。
综上，$m$的取值范围是$m \geq 3$。
B
