10. 已知关于$x的方程(m - 2)x^{2}-2(m - 1)x + m + 1 = 0$.
(1)当$m$为何值时,方程只有一个实数根？
(2)当$m$为何值时,方程有两个相等的实数根？
(3)当$m$为何非负整数时,方程有两个不相等的实数根？

(1)$m=2$
(2)$m=3$
(3)$m=0$或$1$

11. 已知关于$x的方程mx^{2}-2(m + 2)x + m + 5 = 0$没有实数根,试判断关于$x的方程(m - 5)x^{2}-2(m - 1)x + m = 0$的根的情况.

解:$\because$方程$mx^{2}-2(m+2)x+m+5=0$没有实数根,$\therefore[-2(m+2)]^{2}-4m(m+5)=4(m^{2}+4m+4-m^{2}-5m)=4(4-m)＜0$,$\therefore m＞4$.对于方程$(m-5)x^{2}-2(m-1)x+m=0$,当$m=5$时,方程有一个实数根;当$m\neq5$时,$[-2(m-1)]^{2}-4m(m-5)=12m+4$.$\because m＞4$,$\therefore12m+4＞0$,此时方程有两个不相等的实数根.

解：$\because$方程$mx^{2}-2(m + 2)x + m + 5 = 0$没有实数根，
$\therefore [-2(m+2)]^{2}-4m(m+5)=4(m^{2}+4m+4-m^{2}-5m)=4(4-m)＜0$，
$\therefore m＞4$。
对于方程$(m - 5)x^{2}-2(m - 1)x + m = 0$：
当$m=5$时，方程化为$-8x+5=0$，有一个实数根；
当$m\neq5$时，$\Delta=[-2(m-1)]^{2}-4m(m-5)=4(m^{2}-2m+1)-4m^{2}+20m=12m+4$。
$\because m＞4$，$\therefore12m+4＞0$，此时方程有两个不相等的实数根。
综上，当$m=5$时，方程有一个实数根；当$m＞4$且$m\neq5$时，方程有两个不相等的实数根。

12. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-mx - 2 = 0$.
(1)若$x= -1$是方程的一个根,求$m$的值和方程的另一个根.
(2)对于任意实数$m$,判断方程的根的情况,并说明理由.

(1)$m=1$;方程的另一根为$2$.
(2)对于方程$x^{2}-mx-2=0$,因为$(-m)^{2}-4×1×(-2)=m^{2}+8＞0$,所以对于任意实数$m$该方程均有两个不相等的实数根.