1. 下列二次函数中,图象以直线$x = 2$为对称轴,且经过点$(0, 1)$的是()。
A.$y = (x - 2)^2 + 1$
B.$y = (x + 2)^2 + 1$
C.$y = (x - 2)^2 - 3$
D.$y = (x + 2)^2 - 3$

【解析】：
本题主要考察二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的图象和性质，特别是对称轴和函数图像上点的坐标特征。
对于选项A，函数$y = (x - 2)^2 + 1$，其对称轴为$x = 2$，将点$(0, 1)$代入得：$y = (0 - 2)^2 + 1 = 5$，因为$y$值不等于$1$，所以点$(0, 1)$不在此函数图象上，故A选项错误。
对于选项B，函数$y = (x + 2)^2 + 1$，其对称轴为$x = -2$，由于题目要求对称轴为$x = 2$，所以B选项错误。
对于选项C，函数$y = (x - 2)^2 - 3$，其对称轴为$x = 2$，将点$(0, 1)$代入得：$y = (0 - 2)^2 - 3 = 1$，因为$y$值等于$1$，所以点$(0, 1)$在此函数图象上，故C选项正确。
对于选项D，函数$y = (x + 2)^2 - 3$，其对称轴为$x = -2$，由于题目要求对称轴为$x = 2$，所以D选项错误。
【答案】：
C

2. 若抛物线$y = 2(x - m)^{m^2 - 4m - 3}$的顶点在$x$轴的正半轴上,则$m$的值为()。
A.5
B.-1
C.5或-1
D.-5

解：因为函数为抛物线，所以是二次函数，可得：
1. $m^2 - 4m - 3 = 2$
即$m^2 - 4m - 5 = 0$
因式分解得$(m - 5)(m + 1) = 0$
解得$m = 5$或$m = -1$
2. 抛物线顶点坐标为$(m, 0)$，且顶点在$x$轴正半轴上，所以$m ＞ 0$
当$m = 5$时，$5 ＞ 0$，符合条件；当$m = -1$时，$-1 ＜ 0$，不符合条件
综上，$m = 5$
答案：A

3. 抛物线$y = 3(x + 1)^2 - 2$可由抛物线$y = 3x^2$先向平移个单位长度,再向平移个单位长度得到。

【解析】：
题目考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像变换，需要通过对比两个函数的形式，分析出图像变换的过程。
首先，观察原函数$y=3x^2$和目标函数$y=3(x+1)^2-2$，可以看出，$x$变成了$x+1$，这意味着图像在$x$轴上进行了平移，平移长度为$1$，方向为向左（因为$x$是加上$1$，所以是向左平移）。
其次，函数值整体减去了$2$，这意味着图像在$y$轴方向上进行了平移，平移长度为$2$，方向为向下（因为函数值减小，所以是向下平移）。
综合以上分析，抛物线$y=3(x+1)^2-2$可以由抛物线$y=3x^2$先向左平移$1$个单位长度，再向下平移$2$个单位长度得到。
【答案】：
左；$1$；下；$2$。

4. 在平面直角坐标系中,点$A(1, 4)关于抛物线y = a(x + 2)^2$的对称轴对称的点的坐标是。

解：抛物线$y = a(x + 2)^2$的对称轴为直线$x = -2$。
设点$A(1, 4)$关于直线$x = -2$的对称点为$A'(m, 4)$。
则$\frac{1 + m}{2} = -2$，解得$m = -5$。
所以对称点的坐标是$(-5, 4)$。
答案：$(-5, 4)$

5. 已知抛物线$y = -2(x + 1)^2 - 3$,如果$y随x$的增大而减小,那么$x$的取值范围是。

解：抛物线$y = -2(x + 1)^2 - 3$的开口向下（因为$a=-2＜0$），对称轴为直线$x=-1$。
当抛物线开口向下时，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小。
所以$x$的取值范围是$x ＞ -1$。
答案：$x ＞ -1$

6. 用配方法把下列函数化成$y = a(x - h)^2 (a \neq 0)$的形式,并指出图象的开口方向、顶点和对称轴。
(1) $y = x^2 + 4x + 4$。
(2) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{9}{2}$。

(1)解：$y=x^2 + 4x + 4=(x + 2)^2$
开口方向：向上
顶点：$(-2, 0)$
对称轴：直线$x=-2$
(2)解：$y=-\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{9}{2}$
$=-\frac{1}{2}(x^2 - 6x) - \frac{9}{2}$
$=-\frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9 - 9) - \frac{9}{2}$
$=-\frac{1}{2}[(x - 3)^2 - 9] - \frac{9}{2}$
$=-\frac{1}{2}(x - 3)^2 + \frac{9}{2} - \frac{9}{2}$
$=-\frac{1}{2}(x - 3)^2$
开口方向：向下
顶点：$(3, 0)$
对称轴：直线$x=3$

7. 如图,已知抛物线的顶点坐标为$(-1, 9)$,且经过$x轴上一点(-4, 0)$。
(1) 求该抛物线对应的函数解析式。
(2) 求抛物线与$y$轴的交点坐标。
(3) 试说明：当$x ＞ -1$时,函数值$y随x$的增大而变化的情况。

【解析】：
(1)要求抛物线对应的函数解析式，我们可以设抛物线的顶点式为$y = a(x - h)^2 + k$，其中顶点坐标为$(-1, 9)$，所以$h = -1$，$k = 9$。
再利用抛物线经过点$(-4, 0)$，代入求解$a$。
(2)抛物线与$y$轴的交点坐标，即当$x = 0$时，求$y$的值。
(3)当$x \gt -1$时，由于抛物线的对称轴为$x = -1$，且抛物线开口向下，所以函数值$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：
(1)解：设抛物线的解析式为$y = a(x + 1)^2 + 9$。
把$(-4, 0)$代入，得$0 = a(-4 + 1)^2 + 9$，
即$0 = 9a + 9$，
解得$a = -1$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y = -(x + 1)^2 + 9$，
即$y = -x^2 - 2x + 8$。
(2)解：把$x = 0$代入$y = -x^2 - 2x + 8$，
得$y = 8$。
$\therefore$抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0, 8)$。
(3)解：$\because a = -1 \lt 0$，
$\therefore$抛物线开口向下。
又$\because$对称轴为$x = -1$，
$\therefore$当$x \gt -1$时，函数值$y$随$x$的增大而减小。

8. 如图,已知经过原点的抛物线$y = 2x^2 + mx与x轴交于点A(2, 0)$。
(1) 求$m的值和抛物线的顶点M$。
(2) 求直线$AM$对应的函数解析式。

【解析】：
(1) 要求$m$的值和抛物线的顶点$M$。
首先，由于抛物线经过点$A(2, 0)$，可以将这个点的坐标代入抛物线方程$y = 2x^2 + mx$来求解$m$。
即，代入$x = 2, y = 0$，得到$0 = 2 × 2^2 + 2m$；
化简后得到$0 = 8 + 2m$；
进一步化简，得到$m = -4$。
接着，利用二次函数的顶点公式$x = -\frac{b}{2a}$和$y = c - \frac{b^2}{4a}$（其中$a = 2, b = m, c = 0$）来求解顶点$M$的坐标。
将$m = -4$代入公式，得到顶点的$x$坐标为$x = -\frac{-4}{2 × 2} = 1$；
顶点的$y$坐标为$y = 0 - \frac{(-4)^2}{4 × 2} = -2$。
所以，顶点$M$的坐标为$(1, -2)$。
(2) 要求直线$AM$对应的函数解析式。
首先，设直线$AM$的解析式为$y = kx + b$（其中$k \neq 0$）。
然后，利用点$A(2, 0)$和点$M(1, -2)$的坐标来求解$k$和$b$。
将点$A$的坐标代入解析式，得到$0 = 2k + b$；
将点$M$的坐标代入解析式，得到$-2 = k + b$。
接下来，我们解这个二元一次方程组：
从$0 = 2k + b$中，我们可以得到$b = -2k$。
将这个表达式代入$-2 = k + b$，得到$-2 = k - 2k$，即$k = 2$。
再将$k = 2$代入$b = -2k$，得到$b = -4$。
所以，直线$AM$的解析式为$y = 2x - 4$。
【答案】：
(1) $m = -4$；顶点$M$的坐标为$(1, -2)$。
(2) 直线$AM$的解析式为$y = 2x - 4$。