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7. 为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长35 m)的空地上修建一块矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为60 m的栅栏围住，如图. 若设绿化带的边BC的长为x m，绿化带的面积为y m².
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少？
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大面积是多少？
答案
1. （1）
已知$BC = xm$，因为栅栏总长为$60m$，所以$AB=\frac{60 - x}{2}m$。
根据矩形面积公式$y = AB× BC$，可得$y=\frac{60 - x}{2}× x$。
化简$y=\frac{60x - x^{2}}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+30x$。
又因为墙长$35m$，且$x\gt0$，$AB=\frac{60 - x}{2}\gt0$，同时$x\leqslant35$（$BC$的长不能超过墙的长度），由$\frac{60 - x}{2}\gt0$得$60−x\gt0$，即$x\lt60$。所以自变量$x$的取值范围是$0\lt x\leqslant35$。
2. （2）
对于二次函数$y =-\frac{1}{2}x^{2}+30x$，其中$a =-\frac{1}{2}$，$b = 30$，$c = 0$。
根据二次函数的顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$x =-\frac{30}{2×(-\frac{1}{2})}=30$。
因为$a =-\frac{1}{2}\lt0$，二次函数图象开口向下，在对称轴$x = 30$处取得最大值。
把$x = 30$代入$y=-\frac{1}{2}x^{2}+30x$得：$y=-\frac{1}{2}×30^{2}+30×30$。
先计算$-\frac{1}{2}×30^{2}=-\frac{1}{2}×900=-450$，$30×30 = 900$，则$y=-450 + 900=450$。
综上，（1）$y =-\frac{1}{2}x^{2}+30x$，$x$的取值范围是$0\lt x\leqslant35$；（2）当$x = 30$时，绿化带面积最大，最大面积是$450m^{2}$。
已知$BC = xm$，因为栅栏总长为$60m$，所以$AB=\frac{60 - x}{2}m$。
根据矩形面积公式$y = AB× BC$，可得$y=\frac{60 - x}{2}× x$。
化简$y=\frac{60x - x^{2}}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+30x$。
又因为墙长$35m$，且$x\gt0$，$AB=\frac{60 - x}{2}\gt0$，同时$x\leqslant35$（$BC$的长不能超过墙的长度），由$\frac{60 - x}{2}\gt0$得$60−x\gt0$，即$x\lt60$。所以自变量$x$的取值范围是$0\lt x\leqslant35$。
2. （2）
对于二次函数$y =-\frac{1}{2}x^{2}+30x$，其中$a =-\frac{1}{2}$，$b = 30$，$c = 0$。
根据二次函数的顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$x =-\frac{30}{2×(-\frac{1}{2})}=30$。
因为$a =-\frac{1}{2}\lt0$，二次函数图象开口向下，在对称轴$x = 30$处取得最大值。
把$x = 30$代入$y=-\frac{1}{2}x^{2}+30x$得：$y=-\frac{1}{2}×30^{2}+30×30$。
先计算$-\frac{1}{2}×30^{2}=-\frac{1}{2}×900=-450$，$30×30 = 900$，则$y=-450 + 900=450$。
综上，（1）$y =-\frac{1}{2}x^{2}+30x$，$x$的取值范围是$0\lt x\leqslant35$；（2）当$x = 30$时，绿化带面积最大，最大面积是$450m^{2}$。
**8. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA = 12 cm，OB = 6 cm，点P从点O开始沿边OA向点A以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿边BO向点O以1 cm/s的速度移动. 现在点P，Q同时移动，用t表示移动的时间($0 \leq t \leq 6$).
（1）设△POQ的面积为y，求y(单位：cm²)关于t(单位：s)的函数解析式.
（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由.
（1）设△POQ的面积为y，求y(单位：cm²)关于t(单位：s)的函数解析式.
（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由.
答案
1. （1）
已知$OP=t$，$OQ = 6 - t$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = OP$，$h = OQ$），则$y=\frac{1}{2}OP\cdot OQ$。
把$OP=t$，$OQ = 6 - t$代入可得：$y=\frac{1}{2}t(6 - t)=-\frac{1}{2}t^{2}+3t$，$(0\leq t\leq6)$。
2. （2）
对于二次函数$y =-\frac{1}{2}t^{2}+3t$，由二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的对称轴公式$x =-\frac{b}{2a}$，这里$a =-\frac{1}{2}$，$b = 3$，对称轴$t=-\frac{3}{2×(-\frac{1}{2})}=3$。
当$t = 3$时，$y$有最大值。此时$OP = 3$，$OQ=6 - 3 = 3$。
先求直线$AB$的解析式：
设直线$AB$的解析式为$y=kx + b$，已知$A(12,0)$，$B(0,6)$，把$x = 12$，$y = 0$和$x = 0$，$y = 6$代入$y=kx + b$得$\begin{cases}12k + b=0\\b = 6\end{cases}$。
将$b = 6$代入$12k + b=0$，得$12k+6 = 0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，所以直线$AB$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x + 6$。
再求点$C$的坐标：
因为$\triangle POQ$沿直线$PQ$翻折得到$\triangle PCQ$，$OP = 3$，$OQ = 3$，$\angle POQ = 90^{\circ}$，所以四边形$OPCQ$是正方形，所以$C(3,3)$。
然后判断点$C$是否在直线$AB$上：
把$x = 3$代入$y=-\frac{1}{2}x + 6$，得$y=-\frac{1}{2}×3 + 6=\frac{-3 + 12}{2}=\frac{9}{2}\neq3$。
所以：
（1）$y =-\frac{1}{2}t^{2}+3t(0\leq t\leq6)$；
（2）点$C$不落在直线$AB$上。
已知$OP=t$，$OQ = 6 - t$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = OP$，$h = OQ$），则$y=\frac{1}{2}OP\cdot OQ$。
把$OP=t$，$OQ = 6 - t$代入可得：$y=\frac{1}{2}t(6 - t)=-\frac{1}{2}t^{2}+3t$，$(0\leq t\leq6)$。
2. （2）
对于二次函数$y =-\frac{1}{2}t^{2}+3t$，由二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的对称轴公式$x =-\frac{b}{2a}$，这里$a =-\frac{1}{2}$，$b = 3$，对称轴$t=-\frac{3}{2×(-\frac{1}{2})}=3$。
当$t = 3$时，$y$有最大值。此时$OP = 3$，$OQ=6 - 3 = 3$。
先求直线$AB$的解析式：
设直线$AB$的解析式为$y=kx + b$，已知$A(12,0)$，$B(0,6)$，把$x = 12$，$y = 0$和$x = 0$，$y = 6$代入$y=kx + b$得$\begin{cases}12k + b=0\\b = 6\end{cases}$。
将$b = 6$代入$12k + b=0$，得$12k+6 = 0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，所以直线$AB$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x + 6$。
再求点$C$的坐标：
因为$\triangle POQ$沿直线$PQ$翻折得到$\triangle PCQ$，$OP = 3$，$OQ = 3$，$\angle POQ = 90^{\circ}$，所以四边形$OPCQ$是正方形，所以$C(3,3)$。
然后判断点$C$是否在直线$AB$上：
把$x = 3$代入$y=-\frac{1}{2}x + 6$，得$y=-\frac{1}{2}×3 + 6=\frac{-3 + 12}{2}=\frac{9}{2}\neq3$。
所以：
（1）$y =-\frac{1}{2}t^{2}+3t(0\leq t\leq6)$；
（2）点$C$不落在直线$AB$上。
