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[例题1]某水果批发商销售每箱进价为
40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高
于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价
格销售,平均每天销售90箱,价格每提高
1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与
销售价x(单位;元/箱)之间的函数解析式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润
uw(单位:元)与销售价x(单位:元/箱)之间
的函数解析式.
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可
以获得最大利润？最大利润是多少?
40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高
于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价
格销售,平均每天销售90箱,价格每提高
1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与
销售价x(单位;元/箱)之间的函数解析式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润
uw(单位:元)与销售价x(单位:元/箱)之间
的函数解析式.
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可
以获得最大利润？最大利润是多少?
答案
思路导引 (1)平均每天的销售量y= 90
-3×(销售价x-50).(2)平均每天的销售
利润w= 每箱的销售利润×平均每天的销售量
y.(3)利用二次函数的顶点可求出最大利润.
解:(1)由题意,得y= 90-3(x-50).
化简,得y= -3x+240.
(2)由题意,得w= (x-40)(-3x+240).
整理,得w= -3x^2+360x-9600.
(3)由(2)可知,w= -3x^2+360x-9600.
∵α＜0,抛物线的开口向下,
∴当x= -$\frac{b}{2a}$= 60时,w有最大值.
又x＜60,w随x的增大而增大,∴当
x= 55时,w有最大值,且最大值为1125.
故当每箱苹果的销售价为55元时,可以
获得最大利润.最大利润是1125元.
-3×(销售价x-50).(2)平均每天的销售
利润w= 每箱的销售利润×平均每天的销售量
y.(3)利用二次函数的顶点可求出最大利润.
解:(1)由题意,得y= 90-3(x-50).
化简,得y= -3x+240.
(2)由题意,得w= (x-40)(-3x+240).
整理,得w= -3x^2+360x-9600.
(3)由(2)可知,w= -3x^2+360x-9600.
∵α＜0,抛物线的开口向下,
∴当x= -$\frac{b}{2a}$= 60时,w有最大值.
又x＜60,w随x的增大而增大,∴当
x= 55时,w有最大值,且最大值为1125.
故当每箱苹果的销售价为55元时,可以
获得最大利润.最大利润是1125元.
[例题2]有一种螃蟹,从海上捕获后不
放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,
可以延长存活时间,但每天也会有一定数量的
蟹死去.假设放养期内蟹的个体重量基本保持
不变.现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内,此时市场价为30元/kg.据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但放养一天需各种费用400元,且平均每天还有10kg蟹死去.假定死蟹均于当天全部售出,售价是20元/kg.
(1)设x天后活蟹的市场价为P元√kg,写出P关于x的函数解析式.
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000kg蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数解析式.
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获得最大利润(利润= 销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？
放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,
可以延长存活时间,但每天也会有一定数量的
蟹死去.假设放养期内蟹的个体重量基本保持
不变.现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内,此时市场价为30元/kg.据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但放养一天需各种费用400元,且平均每天还有10kg蟹死去.假定死蟹均于当天全部售出,售价是20元/kg.
(1)设x天后活蟹的市场价为P元√kg,写出P关于x的函数解析式.
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000kg蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数解析式.
(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获得最大利润(利润= 销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？
答案
思路导引 (1)市场价每天上升1元,则P= 30+x.(2)销售总额为活蟹销售额和死蟹销售额两部分的和,活蟹数量每天减少10kg,死蟹数量跟放养天数成正比.(3)根据利润计算式,可设利润为w元,用函数的性质解答.
解:(1)由题意,得P= 30+x.
(2)由题意,得Q= (30+x)(1000-10x)+53 20×10x.整理,得$Q= -10x^2+900x+30000.$
(3)设利润为w元. 由题意,得w=
$(-10x^2+900x+30000)-30×1000-400x= $
$-10(x-25)^2+6250. -10＜0, $当x= 255 时,w有最大值,且最大值为6250.故该经销商将这批蟹放养25天后出售,可获得最大利润.最大利润是6250元.
解:(1)由题意,得P= 30+x.
(2)由题意,得Q= (30+x)(1000-10x)+53 20×10x.整理,得$Q= -10x^2+900x+30000.$
(3)设利润为w元. 由题意,得w=
$(-10x^2+900x+30000)-30×1000-400x= $
$-10(x-25)^2+6250. -10＜0, $当x= 255 时,w有最大值,且最大值为6250.故该经销商将这批蟹放养25天后出售,可获得最大利润.最大利润是6250元.
1.某种芯片实现国产化后,每枚芯片的单价为300元,现准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都为x,经过两次降价后的价格为y元,则y与x之间的函数解析式为(
$A.y= (300-x)^2 B.y= 300(1-x)^2$
C.y= 300(1+2x) D.y= 300-2x
A.$y= (300-x)^2$
B.$y= 300(1-x)^2$
C.y= 300(1+2x)
D.y= 300-2x
B
).$A.y= (300-x)^2 B.y= 300(1-x)^2$
C.y= 300(1+2x) D.y= 300-2x
A.$y= (300-x)^2$
B.$y= 300(1-x)^2$
C.y= 300(1+2x)
D.y= 300-2x
答案
解：第一次降价后的价格为 $300(1 - x)$ 元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后的价格为 $300(1 - x)(1 - x) = 300(1 - x)^2$ 元。因此，$y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y = 300(1 - x)^2$。
答案：B
答案：B
2.某超市以每件10元的价格购进一种文具,
销售该文具时,销售单价不低于进价且不高于21元.经过市场调查发现,该文具的每天销售数量y(单位:件)与销售单价x (单位:元)之间满足函数关系y= -2x+60,则销售该文具每天获得的最大利润是______元
销售该文具时,销售单价不低于进价且不高于21元.经过市场调查发现,该文具的每天销售数量y(单位:件)与销售单价x (单位:元)之间满足函数关系y= -2x+60,则销售该文具每天获得的最大利润是______元
200
答案
2. 设每天获得的利润为$w$元，根据利润$=$（售价$-$进价）$×$销售量，可得$w=(x - 10)(-2x + 60)$，展开式子：
$w=-2x^{2}+60x + 20x - 600=-2x^{2}+80x - 600$，对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，这里$a=-2$，$b = 80$，对称轴$x = -\frac{80}{2×(-2)} = 20$。
因为$a=-2\lt0$，函数图象开口向下，又因为$10\leq x\leq21$，所以当$x = 20$时，$w$有最大值，$w=-2×20^{2}+80×20 - 600=-800 + 1600 - 600 = 200$。
故答案为$200$。
3. （1）已知利润$w=(x - 30)(-2x + 180)$，展开式子：
$w=-2x^{2}+180x + 60x - 5400=-2x^{2}+240x - 5400$。
（2）对于二次函数$w=-2x^{2}+240x - 5400$，$a=-2$，$b = 240$，对称轴$x = -\frac{240}{2×(-2)} = 60$，因为$a=-2\lt0$，函数图象开口向下，又因为$30\leq x\leq50$，在对称轴左侧$w$随$x$的增大而增大，所以当$x = 50$时，$w$有最大值，$w=-2×50^{2}+240×50 - 5400=-5000+12000 - 5400 = 1600$。
故答案依次为：$w=-2x^{2}+240x - 5400$；$1600$。
4. （1）已知售价为$480$元时，销售$100$饼，单价每降$5$元，多销售$10$饼，设每饼古树茶的售价为$x$元，则降价了$(480 - x)$元，多销售的数量为$\frac{480 - x}{5}×10$饼，所以$y = 100+\frac{480 - x}{5}×10$，化简得$y=-2x + 1060$（$400\leq x\leq480$）。
（2）解：利润$w=(x - 400)(-2x + 1060)$，展开式子：
$w=-2x^{2}+1060x + 800x - 424000=-2x^{2}+1860x - 424000$。
对于二次函数$w=-2x^{2}+1860x - 424000$，$a=-2$，$b = 1860$，对称轴$x = -\frac{1860}{2×(-2)} = 465$。
因为$a=-2\lt0$，函数图象开口向下，所以当$x = 465$时，$w$有最大值。
$w=-2×465^{2}+1860×465 - 424000$
$=-2×216225+864900 - 424000$
$=-432450+864900 - 424000$
$=864900-(432450 + 424000)$
$=864900 - 856450$
$=8450$。
所以当销售单价为$465$元时，每月获得的利润最大，最大利润为$8450$元。
$w=-2x^{2}+60x + 20x - 600=-2x^{2}+80x - 600$，对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，这里$a=-2$，$b = 80$，对称轴$x = -\frac{80}{2×(-2)} = 20$。
因为$a=-2\lt0$，函数图象开口向下，又因为$10\leq x\leq21$，所以当$x = 20$时，$w$有最大值，$w=-2×20^{2}+80×20 - 600=-800 + 1600 - 600 = 200$。
故答案为$200$。
3. （1）已知利润$w=(x - 30)(-2x + 180)$，展开式子：
$w=-2x^{2}+180x + 60x - 5400=-2x^{2}+240x - 5400$。
（2）对于二次函数$w=-2x^{2}+240x - 5400$，$a=-2$，$b = 240$，对称轴$x = -\frac{240}{2×(-2)} = 60$，因为$a=-2\lt0$，函数图象开口向下，又因为$30\leq x\leq50$，在对称轴左侧$w$随$x$的增大而增大，所以当$x = 50$时，$w$有最大值，$w=-2×50^{2}+240×50 - 5400=-5000+12000 - 5400 = 1600$。
故答案依次为：$w=-2x^{2}+240x - 5400$；$1600$。
4. （1）已知售价为$480$元时，销售$100$饼，单价每降$5$元，多销售$10$饼，设每饼古树茶的售价为$x$元，则降价了$(480 - x)$元，多销售的数量为$\frac{480 - x}{5}×10$饼，所以$y = 100+\frac{480 - x}{5}×10$，化简得$y=-2x + 1060$（$400\leq x\leq480$）。
（2）解：利润$w=(x - 400)(-2x + 1060)$，展开式子：
$w=-2x^{2}+1060x + 800x - 424000=-2x^{2}+1860x - 424000$。
对于二次函数$w=-2x^{2}+1860x - 424000$，$a=-2$，$b = 1860$，对称轴$x = -\frac{1860}{2×(-2)} = 465$。
因为$a=-2\lt0$，函数图象开口向下，所以当$x = 465$时，$w$有最大值。
$w=-2×465^{2}+1860×465 - 424000$
$=-2×216225+864900 - 424000$
$=-432450+864900 - 424000$
$=864900-(432450 + 424000)$
$=864900 - 856450$
$=8450$。
所以当销售单价为$465$元时，每月获得的利润最大，最大利润为$8450$元。
3. 2023年第19届杭州亚运会的举办带热了
吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售.某网
店经营使用礼盒包装的亚运会吉祥物玩偶,
每盒进价为30元.当地物价部门规定,该
商品的销售单价最高不能超过50元/盒.在
销售过程中发现,该礼盒每周的销量y(单
位:件)与销售单价x(单位:元/盒)之间近
似满足函数关系y= -2x+180(30≤x≤
50).
(1)设该网店每周销售该礼盒所获利润为u
(单位:元),则w与x之间的函数解
析式为______.
(2)该网店每周销售该礼盒所获最大利润
为______元
吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售.某网
店经营使用礼盒包装的亚运会吉祥物玩偶,
每盒进价为30元.当地物价部门规定,该
商品的销售单价最高不能超过50元/盒.在
销售过程中发现,该礼盒每周的销量y(单
位:件)与销售单价x(单位:元/盒)之间近
似满足函数关系y= -2x+180(30≤x≤
50).
(1)设该网店每周销售该礼盒所获利润为u
(单位:元),则w与x之间的函数解
析式为______.
(2)该网店每周销售该礼盒所获最大利润
为______元
答案
1. （1）
首先根据利润公式：利润$w=(x - 进价)×销量$。
已知进价为$30$元，销量$y=-2x + 180$，则$w=(x - 30)(-2x + 180)$。
展开式子：
根据多项式乘法法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，这里$a = x$，$b=-30$，$c=-2x$，$d = 180$。
$w=x×(-2x)+x×180-30×(-2x)-30×180$。
$w=-2x^{2}+180x + 60x-5400$。
合并同类项得$w=-2x^{2}+240x - 5400(30\leq x\leq50)$。
2. （2）
对于二次函数$w=-2x^{2}+240x - 5400$，其中$a=-2$，$b = 240$，$c=-5400$。
根据二次函数的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴$x=-\frac{240}{2×(-2)} = 60$。
因为$a=-2\lt0$，所以二次函数图象开口向下。
又因为$30\leq x\leq50$，函数$w=-2x^{2}+240x - 5400$在$[30,50]$上单调递增（对称轴$x = 60$，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大）。
当$x = 50$时，$w$取得最大值。
把$x = 50$代入$w=-2x^{2}+240x - 5400$得：
$w=-2×50^{2}+240×50-5400$。
先计算$-2×50^{2}=-2×2500=-5000$，$240×50 = 12000$。
则$w=-5000 + 12000-5400$。
$w=1600$。
故答案依次为：（1）$w=-2x^{2}+240x - 5400(30\leq x\leq50)$；（2）$1600$。
首先根据利润公式：利润$w=(x - 进价)×销量$。
已知进价为$30$元，销量$y=-2x + 180$，则$w=(x - 30)(-2x + 180)$。
展开式子：
根据多项式乘法法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，这里$a = x$，$b=-30$，$c=-2x$，$d = 180$。
$w=x×(-2x)+x×180-30×(-2x)-30×180$。
$w=-2x^{2}+180x + 60x-5400$。
合并同类项得$w=-2x^{2}+240x - 5400(30\leq x\leq50)$。
2. （2）
对于二次函数$w=-2x^{2}+240x - 5400$，其中$a=-2$，$b = 240$，$c=-5400$。
根据二次函数的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴$x=-\frac{240}{2×(-2)} = 60$。
因为$a=-2\lt0$，所以二次函数图象开口向下。
又因为$30\leq x\leq50$，函数$w=-2x^{2}+240x - 5400$在$[30,50]$上单调递增（对称轴$x = 60$，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大）。
当$x = 50$时，$w$取得最大值。
把$x = 50$代入$w=-2x^{2}+240x - 5400$得：
$w=-2×50^{2}+240×50-5400$。
先计算$-2×50^{2}=-2×2500=-5000$，$240×50 = 12000$。
则$w=-5000 + 12000-5400$。
$w=1600$。
故答案依次为：（1）$w=-2x^{2}+240x - 5400(30\leq x\leq50)$；（2）$1600$。
4. 2023年9月17日,中国“普洱景迈山古茶
林文化景观”申遗成功,成为全球首个茶主
题世界文化遗产.景迈山古树茶成本为每
饼400元,当售价为每饼480元时,每月可
销售100饼.为庆祝申遗成功,让更多的人
了解景迈山古树茶,商家决定降价销售.
据市场调查反映:古树茶的销售单价每降5
元,则每月多销售10饼.设每饼古树茶的
售价为x元,每月的销售量为y饼.
(1)直接写出y与x之间的函数解析式.
(2)设每月获得的利润为w元,当销售单
价为多少元时,每月获得的利润最大?
最大利润为多少元？
林文化景观”申遗成功,成为全球首个茶主
题世界文化遗产.景迈山古树茶成本为每
饼400元,当售价为每饼480元时,每月可
销售100饼.为庆祝申遗成功,让更多的人
了解景迈山古树茶,商家决定降价销售.
据市场调查反映:古树茶的销售单价每降5
元,则每月多销售10饼.设每饼古树茶的
售价为x元,每月的销售量为y饼.
(1)直接写出y与x之间的函数解析式.
(2)设每月获得的利润为w元,当销售单
价为多少元时,每月获得的利润最大?
最大利润为多少元？
答案
1. （1）
首先分析售价变化与销售量变化的关系：
已知售价为$480$元时，销售$100$饼，销售单价每降$5$元，每月多销售$10$饼。那么销售单价从$480$元降到$x$元，降价了$(480 - x)$元。
降价的次数为$\frac{480 - x}{5}$次，因为每降$5$元多销售$10$饼，所以多销售的饼数为$10×\frac{480 - x}{5}$饼。
然后得出$y$与$x$的函数解析式：
根据销售量$y = 100+10×\frac{480 - x}{5}$，化简可得$y=-2x + 1060(400\leqslant x\leqslant480)$。
2. （2）
解：
已知成本为每饼$400$元，根据利润公式$w=(x - 400)y$，把$y=-2x + 1060$代入可得：
$w=(x - 400)(-2x + 1060)$。
展开式子：$w=-2x^{2}+1060x + 800x-424000$。
即$w=-2x^{2}+1860x - 424000$。
对于二次函数$w = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a=-2$，$b = 1860$，$c=-424000$。
根据二次函数的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴$x =-\frac{1860}{2×(-2)}=\frac{1860}{4}=465$。
因为$a=-2\lt0$，所以二次函数图象开口向下，在对称轴$x = 465$处取得最大值。
把$x = 465$代入$w=-2x^{2}+1860x - 424000$：
$w=-2×465^{2}+1860×465-424000$。
先计算$-2×465^{2}=-2×216225=-432450$，$1860×465 = 864900$。
则$w=-432450+864900 - 424000$。
$w=-432450+(864900 - 424000)=8450$。
综上，（1）$y=-2x + 1060(400\leqslant x\leqslant480)$；（2）当销售单价为$465$元时，每月获得的利润最大，最大利润为$8450$元。
首先分析售价变化与销售量变化的关系：
已知售价为$480$元时，销售$100$饼，销售单价每降$5$元，每月多销售$10$饼。那么销售单价从$480$元降到$x$元，降价了$(480 - x)$元。
降价的次数为$\frac{480 - x}{5}$次，因为每降$5$元多销售$10$饼，所以多销售的饼数为$10×\frac{480 - x}{5}$饼。
然后得出$y$与$x$的函数解析式：
根据销售量$y = 100+10×\frac{480 - x}{5}$，化简可得$y=-2x + 1060(400\leqslant x\leqslant480)$。
2. （2）
解：
已知成本为每饼$400$元，根据利润公式$w=(x - 400)y$，把$y=-2x + 1060$代入可得：
$w=(x - 400)(-2x + 1060)$。
展开式子：$w=-2x^{2}+1060x + 800x-424000$。
即$w=-2x^{2}+1860x - 424000$。
对于二次函数$w = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a=-2$，$b = 1860$，$c=-424000$。
根据二次函数的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴$x =-\frac{1860}{2×(-2)}=\frac{1860}{4}=465$。
因为$a=-2\lt0$，所以二次函数图象开口向下，在对称轴$x = 465$处取得最大值。
把$x = 465$代入$w=-2x^{2}+1860x - 424000$：
$w=-2×465^{2}+1860×465-424000$。
先计算$-2×465^{2}=-2×216225=-432450$，$1860×465 = 864900$。
则$w=-432450+864900 - 424000$。
$w=-432450+(864900 - 424000)=8450$。
综上，（1）$y=-2x + 1060(400\leqslant x\leqslant480)$；（2）当销售单价为$465$元时，每月获得的利润最大，最大利润为$8450$元。
