5. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle BAD = 110^{\circ} $,$ \angle B = \angle D = 90^{\circ} $,在 $ BC $,$ CD $ 上分别找一点 $ M $,$ N $,当 $ \triangle AMN $ 的周长最小时,$ \angle AMN + \angle ANM $ 的度数为()

A.$ 110^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 130^{\circ} $
D.$ 140^{\circ} $

D

作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''，分别交BC、CD于点M、N，此时△AMN周长最小。由轴对称性质得AM=A'M，AN=A''N，∠A'=∠MAB，∠A''=∠NAD。
在四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，则∠C=70°。
AA'⊥BC，AA''⊥CD，故∠A'AA''=180°-∠C=110°，在△A'AA''中，∠A'+∠A''=180°-110°=70°，即∠MAB+∠NAD=70°。
∠MAN=∠BAD-(∠MAB+∠NAD)=110°-70°=40°。
在△AMN中，∠AMN+∠ANM=180°-∠MAN=180°-40°=140°。

6. 如图,$ B $,$ C $ 两点关于 $ y $ 轴对称,点 $ A $ 的坐标为 $ (0, b) $,点 $ C $ 的坐标为 $ (-a, -a - b) $。
(1)点 $ B $ 的坐标为______；
(2)用尺规在 $ x $ 轴上作出点 $ P $,使 $ AP + PB $ 的值最小；
(3)$ \angle OAP $ 的度数为多少？

(1)
(3)

(1)因为$B$，$C$两点关于$y$轴对称，点$C$的坐标为$(-a,-a - b)$，
所以点$B$的坐标为$(a,-a - b)$。
(2)作点$A(0,b)$关于$x$轴的对称点$A'$，坐标为$(0,-b)$，
连接$A'B$交$x$轴于点$P$，点$P$即为所求。
(3)因为$A(0,b)$，$A'$与$A$关于$x$轴对称，$A'$坐标为$(0,-b)$，$B(a,-a - b)$
$OA=OA'=b$，$A'y$坐标与$B$的$y$坐标相同都是$-b$（水平连线），
所以$\angle OAP = 45^{\circ}$（当$a\neq0$，根据对称及直线斜率性质得出$A'P$与$x$轴夹角为$45^{\circ}$，由对称性$\angle OAP = 45^{\circ}$ ）。
当$a = 0$时，$B$，$C$在$y$轴上，此时问题无一般意义下角度计算价值，按题目正常情况$a\neq0$，
所以$\angle OAP$的度数为$45^{\circ}$。
故答案为：(1)$(a,-a - b)$；(3)$45^{\circ}$。

7. 如图,四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ E $,若 $ \triangle ABC $ 为等边三角形,$ AD \perp AB $,$ AD = CD = 4 $。
(1)求证：$ BD $ 垂直平分 $ AC $；
(2)求 $ BE $ 的长；
(3)若点 $ F $ 为 $ BC $ 的中点,请在 $ BD $ 上找出一点 $ P $,使 $ PC + PF $ 取得最小值,并求出这个最小值。

(1)见解析；
(2)6；
(3)最小值为6。

(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∴点B在AC的垂直平分线上。
∵AD=CD，
∴点D在AC的垂直平分线上。
∵B、D两点确定直线BD，
∴BD垂直平分AC。
(2) 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，A(0,0)，D(0,4)。设AB=AC=BC=a，则B(a,0)，C( a/2, (√3/2)a )。
∵CD=4，由距离公式：(a/2 -0)² + [(√3/2 a)-4]²=4²，
即a²/4 + ( (√3 a/2 -4 )² )=16，化简得a² -4√3 a=0，解得a=4√3（a=0舍）。
∴B(4√3,0)，C(2√3,6)。E为AC中点，E(√3,3)。
BE=√[(4√3 -√3)² + (0-3)²]=√[(3√3)²+(-3)²]=√36=6。
(3)
∵BD垂直平分AC，
∴C关于BD的对称点为A。连接AF交BD于P，此时PC+PF最小，最小值为AF。
F为BC中点，B(4√3,0)，C(2√3,6)，
∴F(3√3,3)。
AF=√[(3√3 -0)² + (3-0)²]=√(27+9)=6，最小值为6。