1. (1)$x$ 的2倍与 $x$ 的 $\frac{1}{2}$ 的和是；
(2)某校男生占学生总数的 $56\%$,女生人数是 $a$ 人,学生总数为人.

(1)$\frac{5}{2}x$
(2)$\frac{25a}{11}$

(1)
根据题意，$x$的2倍即$2x$，$x$的$\frac{1}{2}$即$\frac{1}{2}x$，它们的和为$2x+\frac{1}{2}x=\frac{4x + x}{2}=\frac{5}{2}x$。
(2)
设学生总数为$x$人，因为男生占学生总数的$56\%$，则女生占学生总数的比例为$1 - 56\%=44\%$，又已知女生人数是$a$人，根据“总数$×$女生占比 = 女生人数”，可得$44\%x=a$，即$x=\frac{a}{44\%}=\frac{a}{\frac{44}{100}}=\frac{100a}{44}=\frac{25a}{11}$（人）。

2. 合并同类项 $-2^{n}y^{3}x^{n}$ 与 $3x^{2}y^{3}$ 的结果为.

$-x^{2}y^{3}$

要合并同类项，需先判断是否为同类项。同类项要求相同字母的指数相同，两式均含$x$、$y$，$y$的指数均为3，$x$的指数需相等，即$n=2$。此时第一项为$-2^{2}x^{2}y^{3}=-4x^{2}y^{3}$，与第二项$3x^{2}y^{3}$合并，系数相加：$-4 + 3 = -1$，结果为$-x^{2}y^{3}$。

3. 把多项式 $xy-\frac{2}{3}x^{2}y^{2}+\frac{3}{5}x^{3}y-\frac{1}{2}x + 10$ 按 $x$ 降幂排列.

$\frac{3}{5}x^{3}y-\frac{2}{3}x^{2}y^{2}+xy - \frac{1}{2}x + 10$

根据多项式按某个字母降幂排列的定义，即将多项式中的各项按照该字母的指数从大到小的顺序排列。
在多项式$xy - \frac{2}{3}x^{2}y^{2} + \frac{3}{5}x^{3}y - \frac{1}{2}x + 10$中，各项关于$x$的次数依次为：
$\frac{3}{5}x^{3}y$（$x$的次数是$3$）；
$-\frac{2}{3}x^{2}y^{2}$（$x$的次数是$2$）；
$xy$（$x$的次数是$1$）；
$-\frac{1}{2}x$（$x$的次数是$1$，可合并同类项考虑，但此处按排列要求单独列出）；
$10$（$x$的次数是$0$）。
所以按$x$降幂排列为$\frac{3}{5}x^{3}y-\frac{2}{3}x^{2}y^{2}+xy - \frac{1}{2}x + 10$。

4. 计算 $3x^{2}-x^{2}$ 的结果是()
A.2
B.$2x^{2}$
C.$2x$
D.$4x^{2}$

B

根据合并同类项的法则，系数相加，字母和指数不变。
$3x^{2} - x^{2} = (3 - 1)x^{2} = 2x^{2}$

5. 把多项式 $2x^{2}-5x + x^{2}+4x - 3x^{2}$ 合并同类项后,所得的结果是()
A.单项式
B.一次二项式
C.二次三项式
D.二次二项式

A

$2x^{2}-5x + x^{2}+4x - 3x^{2}=(2x^{2}+x^{2}-3x^{2})+(-5x+4x)=0x^{2}+(-x)=-x$，结果为单项式。

6. 某服装店以每套 $a$ 元的价格购进100套西服,然后将进价提高 $20\%$ 作为销售价,销售50套后,余下部分按销售价的8折出售,售完后,获得的利润是()
A.$6a$ 元
B.$8a$ 元
C.$10a$ 元
D.$12a$ 元

B

每套西服进价为 $a$ 元，购进100套，总进价为 $100a$ 元。
提高 $20\%$ 后的销售价为 $a(1 + 20\%) = 1.2a$ 元。
销售50套的收入为 $50×1.2a = 60a$ 元。
余下 $100 - 50 = 50$ 套，按销售价8折出售，售价为 $1.2a×0.8 = 0.96a$ 元，收入为 $50×0.96a = 48a$ 元。
总销售收入为 $60a + 48a = 108a$ 元。
利润 = 总销售收入 - 总进价 = $108a - 100a = 8a$ 元。

7. 若代数式 $mx^{2}+5y^{2}-2x^{2}+3$ 的值与字母 $x$ 的取值无关,则 $m$ 的值是()
A.$-5$
B.5
C.2
D.$-2$

C

原式合并同类项得：$(m - 2)x^{2} + 5y^{2} + 3$。因为代数式的值与$x$取值无关，所以$x^{2}$的系数为$0$，即$m - 2 = 0$，解得$m = 2$。

8. 化简求值：
$5x^{2}y^{2}+\frac{1}{4}xy - 2x^{2}y^{2}-\frac{1}{6}xy - 3x^{2}y^{2}$,其中 $x = 3$,$y = - 4$；

$-1$

化简过程：
$\begin{aligned}&5x^{2}y^{2}+\frac{1}{4}xy - 2x^{2}y^{2}-\frac{1}{6}xy - 3x^{2}y^{2}\\=&(5x^{2}y^{2}-2x^{2}y^{2}-3x^{2}y^{2})+\left(\frac{1}{4}xy-\frac{1}{6}xy\right)\\=&0+\left(\frac{3}{12}xy-\frac{2}{12}xy\right)\\=&\frac{1}{12}xy\end{aligned}$
代入求值：
当 $x = 3$，$y = -4$ 时，
$\frac{1}{12}xy=\frac{1}{12}×3×(-4)=\frac{1}{12}×(-12)=-1$

9. (1)求 $\frac{1}{2}m^{2}n + 2mn - 3nm^{2}-3nm + 4m^{2}n$ 的值,其中 $m$ 是最小的正整数,$n$ 的绝对值等于1；
(2)已知 $x^{2}-\frac{5}{2}x = 6$,求 $2x^{2}-5x + 6$ 的值.

(1)
首先对整式$\frac{1}{2}m^{2}n + 2mn - 3nm^{2}-3nm + 4m^{2}n$进行合并同类项：
$\frac{1}{2}m^{2}n+4m^{2}n - 3m^{2}n+2mn - 3mn=(\frac{1}{2}+4 - 3)m^{2}n+(2 - 3)mn=\frac{3}{2}m^{2}n - mn$
因为$m$是最小的正整数，所以$m = 1$。
又因为$|n| = 1$，所以$n=\pm1$。
当$m = 1$，$n = 1$时，$\frac{3}{2}m^{2}n - mn=\frac{3}{2}×1^{2}×1-1×1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。
当$m = 1$，$n=-1$时，$\frac{3}{2}m^{2}n - mn=\frac{3}{2}×1^{2}×(-1)-1×(-1)=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$。
(2)
已知$x^{2}-\frac{5}{2}x = 6$，等式两边同时乘以$2$得$2x^{2}-5x = 12$。
将$2x^{2}-5x = 12$代入$2x^{2}-5x + 6$可得：$12 + 6=18$。
综上，
(1)当$n = 1$时值为$\frac{1}{2}$，当$n=-1$时值为$-\frac{1}{2}$；
(2)值为$18$。

10. 如果整式 $A$ 与整式 $B$ 的和为一个有理数 $a$,那么称 $A$,$B$ 为数 $a$ 的“友好整式”. 例如：$x - 4$ 与 $-x + 5$ 为数1的“友好整式”. 若关于 $x$ 的整式 $4x^{3}-kx^{2}+6$ 与 $-4x^{3}-3x^{m}+k - 1$ 为数 $n$ 的“友好整式”,求 $mn$ 的值.

$4$

因为整式$4x^{3}-kx^{2}+6$与$-4x^{3}-3x^{m}+k - 1$为数$n$的“友好整式”，所以它们的和为有理数$n$（不含$x$的项）。
步骤1：计算两整式的和并合并同类项
$\begin{aligned}&(4x^{3}-kx^{2}+6)+(-4x^{3}-3x^{m}+k - 1)\\=&4x^{3}-kx^{2}+6-4x^{3}-3x^{m}+k - 1\\=&(4x^{3}-4x^{3})+(-kx^{2})+(-3x^{m})+(6+k - 1)\\=&-kx^{2}-3x^{m}+(k + 5)\end{aligned}$
步骤2：分析含$x$项的系数
和为有理数$n$，则含$x$的项系数必须为$0$。
$x^{3}$项已消去（系数为$0$）。
对于$-kx^{2}$和$-3x^{m}$，若它们为同类项（即$m=2$），则合并后系数为$-k - 3$，需满足$-k - 3=0$，解得$k=-3$。
此时常数项为$k + 5=-3 + 5=2$，即$n=2$。
步骤3：确定$m$和$n$的值
由同类项条件得$m=2$，$n=2$。
步骤4：计算$mn$
$mn=2×2=4$。