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例 1 (1)观察下列一组数: 3,5,7,9,11,…,它们是按一定规律排列的数字,那么这一组数的第 21 个数是
(2)观察下列单项式：$x,3x^2,5x^3,7x^4,9x^5,…,$则第 2024 个单项式是
【解析】(1)观察这一组数不难发现,后一个数总比前一个数多 2,即这组数可以写为:3,3+2,3+2×2,3+2×3,3+2×4,…。因此,第 n 个数应为 3+2(n - 1)。当 n = 21 时,3+2(n - 1)= 43。
(2)观察系数不难发现,后一个单项式的系数总比前一个单项式的系数多 2,即它们分别是 1,1+2,1+2×2,1+2×3,1+2×4,…。故第 n 个单项式的系数应为 2n - 1,第 n 个单项式应为(2n - 1)xⁿ。当 n = 2024 时$,(2n - 1)xⁿ = 4047x^2⁰^2^4。$
答案：(1)43,2n + 1。$(2)4047x^2⁰^2^4。$
43
,第 n 个数是____2n + 1
；(2)观察下列单项式：$x,3x^2,5x^3,7x^4,9x^5,…,$则第 2024 个单项式是
$4047x^{2024}$
.【解析】(1)观察这一组数不难发现,后一个数总比前一个数多 2,即这组数可以写为:3,3+2,3+2×2,3+2×3,3+2×4,…。因此,第 n 个数应为 3+2(n - 1)。当 n = 21 时,3+2(n - 1)= 43。
(2)观察系数不难发现,后一个单项式的系数总比前一个单项式的系数多 2,即它们分别是 1,1+2,1+2×2,1+2×3,1+2×4,…。故第 n 个单项式的系数应为 2n - 1,第 n 个单项式应为(2n - 1)xⁿ。当 n = 2024 时$,(2n - 1)xⁿ = 4047x^2⁰^2^4。$
答案：(1)43,2n + 1。$(2)4047x^2⁰^2^4。$
答案
(1) 43；$2n + 1$
(2) $4047x^{2024}$
(2) $4047x^{2024}$
解析
答题卡作答：
(1)
第21个数：
观察数列 $3, 5, 7, 9, 11, \ldots$，可以看出这是一个等差数列，公差为2，首项为3。
第n个数可以表示为 $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$。
当 $n = 21$ 时，$2n + 1 = 2 × 21 + 1 = 43$。
第n个数：$2n + 1$。
(2)
第2024个单项式：
观察单项式序列 $x, 3x^2, 5x^3, 7x^4, 9x^5, \ldots$，可以看出系数是等差数列，公差为2，首项为1；而x的指数则是连续的自然数。
第n个单项式的系数可以表示为 $2n - 1$，x的指数为n。
因此，第n个单项式可以表示为 $(2n - 1)x^n$。
当 $n = 2024$ 时，单项式为 $(2 × 2024 - 1)x^{2024} = 4047x^{2024}$。
最终
(1)
第21个数：
观察数列 $3, 5, 7, 9, 11, \ldots$，可以看出这是一个等差数列，公差为2，首项为3。
第n个数可以表示为 $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$。
当 $n = 21$ 时，$2n + 1 = 2 × 21 + 1 = 43$。
第n个数：$2n + 1$。
(2)
第2024个单项式：
观察单项式序列 $x, 3x^2, 5x^3, 7x^4, 9x^5, \ldots$，可以看出系数是等差数列，公差为2，首项为1；而x的指数则是连续的自然数。
第n个单项式的系数可以表示为 $2n - 1$，x的指数为n。
因此，第n个单项式可以表示为 $(2n - 1)x^n$。
当 $n = 2024$ 时，单项式为 $(2 × 2024 - 1)x^{2024} = 4047x^{2024}$。
最终
【变式】如图 1 是某月的日历。
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
(1)带阴影的方框中的 9 个数之和与方框正中心的数有什么关系？
(2)不改变方框的大小,如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试,你能得出什么结论？你知道这是为什么吗？
(3)这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？
12345678910111213141516171819202122232425262728293031
(1)带阴影的方框中的 9 个数之和与方框正中心的数有什么关系？
(2)不改变方框的大小,如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试,你能得出什么结论？你知道这是为什么吗？
(3)这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？
答案
解:(1)带阴影的方框中的 9 个数之和是方框正中心的数 11 的 9 倍。
(2)带阴影的方框中的 9 个数之和是方框正中心的数的 9 倍,理由如下:设方框正中心的数为 x,则其余八个数分别为 x - 8,x - 7,x - 6,x - 1,x + 1,x + 6,x + 7,x + 8,带阴影的方框中的 9 个数之和为(x - 8)+(x - 7)+(x - 6)+(x - 1)+x+(x + 1)+(x + 6)+(x + 7)+(x + 8)= 9x,所以带阴影的方框中的 9 个数之和是方框正中心的数的 9 倍。
(3)这个结论对任何一个月的日历都成立。
(2)带阴影的方框中的 9 个数之和是方框正中心的数的 9 倍,理由如下:设方框正中心的数为 x,则其余八个数分别为 x - 8,x - 7,x - 6,x - 1,x + 1,x + 6,x + 7,x + 8,带阴影的方框中的 9 个数之和为(x - 8)+(x - 7)+(x - 6)+(x - 1)+x+(x + 1)+(x + 6)+(x + 7)+(x + 8)= 9x,所以带阴影的方框中的 9 个数之和是方框正中心的数的 9 倍。
(3)这个结论对任何一个月的日历都成立。
例 2 图 2 所示的图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成,其中第①个图形有 1 颗棋子,第②个图形一共有 6 颗棋子,第③个图形一共有 16 颗棋子……则第⑥个图形中棋子的颗数为(
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【解析】先观察第①个图形和第②个图形相差的颗数,再观察第②个图形和第③个图形相差的颗数,从相差的颗数与图形位置序号之间找关系,然后得出图形中棋子颗数与位置序号的关系。
第①个图形有 1 颗棋子,第②个图形有 1 + 5 颗棋子,第③个图形有 1 + 5 + 10 颗棋子,由此可以推知:第④个图形有 1 + 5 + 10 + 15 颗棋子,第⑤个图形有 1 + 5 + 10 + 15 + 20 颗棋子,第⑥个图形有 1 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 颗棋子,故选 C。
答案:C
A.51
B.70
C.76
D.81
C
)。[img]
【解析】先观察第①个图形和第②个图形相差的颗数,再观察第②个图形和第③个图形相差的颗数,从相差的颗数与图形位置序号之间找关系,然后得出图形中棋子颗数与位置序号的关系。
第①个图形有 1 颗棋子,第②个图形有 1 + 5 颗棋子,第③个图形有 1 + 5 + 10 颗棋子,由此可以推知:第④个图形有 1 + 5 + 10 + 15 颗棋子,第⑤个图形有 1 + 5 + 10 + 15 + 20 颗棋子,第⑥个图形有 1 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 颗棋子,故选 C。
答案:C
A.51
B.70
C.76
D.81
答案
【解析】先观察第①个图形和第②个图形相差的颗数,再观察第②个图形和第③个图形相差的颗数,从相差的颗数与图形位置序号之间找关系,然后得出图形中棋子颗数与位置序号的关系。
第①个图形有 1 颗棋子,第②个图形有 1 + 5 颗棋子,第③个图形有 1 + 5 + 10 颗棋子,由此可以推知:第④个图形有 1 + 5 + 10 + 15 颗棋子,第⑤个图形有 1 + 5 + 10 + 15 + 20 颗棋子,第⑥个图形有 1 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 颗棋子,故选 C。
答案:C
第①个图形有 1 颗棋子,第②个图形有 1 + 5 颗棋子,第③个图形有 1 + 5 + 10 颗棋子,由此可以推知:第④个图形有 1 + 5 + 10 + 15 颗棋子,第⑤个图形有 1 + 5 + 10 + 15 + 20 颗棋子,第⑥个图形有 1 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 颗棋子,故选 C。
答案:C
解析
第①个图形：1 颗棋子，
第②个图形：$1 + 5 = 6$（颗），
第③个图形：$1 + 5 + 10 = 16$（颗），
第④个图形：$1 + 5 + 10 + 15 = 31$（颗），
第⑤个图形：$1 + 5 + 10 + 15 + 20 = 51$（颗），
第⑥个图形：$1 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 76$（颗）。
所以第⑥个图形中棋子的颗数为 76。
第②个图形：$1 + 5 = 6$（颗），
第③个图形：$1 + 5 + 10 = 16$（颗），
第④个图形：$1 + 5 + 10 + 15 = 31$（颗），
第⑤个图形：$1 + 5 + 10 + 15 + 20 = 51$（颗），
第⑥个图形：$1 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 76$（颗）。
所以第⑥个图形中棋子的颗数为 76。
