1. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B= 90^{\circ}$. 若$AB= 3$,$BC= 4$,则$\tan A$的值为()
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

【解析】：
本题主要考察三角函数的定义。在直角三角形中，对于任意一个锐角，其对边与邻边的比值即为该角的正切值。
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$\angle B= 90^{\circ}$，$AB= 3$，$BC= 4$，
根据正切函数的定义，我们有
$\tan A = \frac{{对边}}{{邻边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3}$。
【答案】：
C. $\frac{4}{3}$。

2. 某校开展综合实践活动,测量一栋建筑物$CD$的高度. 在建筑物旁边有一高度为$10\ m的楼房AB$,若小李同学在楼房底部$B点测得C点的仰角为60^{\circ}$,在楼房顶部$A点测得C点的仰角为30^{\circ}$($AB$,$CD$在同一平面内,$B$,$D$在同一直线上),则建筑物$CD$的高为()

A.$20\ m$
B.$15\ m$
C.$12\ m$
D.$(10+5\sqrt{3})m$
]

解：设建筑物$CD$的高度为$h\ m$，$BD=x\ m$。
在$Rt\triangle CBD$中，$\tan60^{\circ}=\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{h}{x}$，即$h = x\tan60^{\circ}=\sqrt{3}x$。
过点$A$作$AE \perp CD$于点$E$，则$AE=BD=x\ m$，$EC=CD - AB=(h - 10)\ m$。
在$Rt\triangle AEC$中，$\tan30^{\circ}=\dfrac{EC}{AE}=\dfrac{h - 10}{x}$，即$h - 10 = x\tan30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$。
将$h=\sqrt{3}x$代入$h - 10=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$，得$\sqrt{3}x-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x=10$，$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}x=10$，解得$x=\dfrac{15}{\sqrt{3}}=5\sqrt{3}$。
则$h=\sqrt{3}×5\sqrt{3}=15\ m$。
答案：B

3. $3\tan 30^{\circ}-\tan 45^{\circ}+2\sin 60^{\circ}=$.

【解析】：
本题主要考察三角函数的基本值计算。
根据三角函数表或三角函数性质，我们知道：
$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\tan 45^{\circ} = 1$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
代入给定的表达式，我们有：
$3\tan 30^{\circ}-\tan 45^{\circ}+2\sin 60^{\circ}$
$= 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 + 2 × \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3}$
$= 2\sqrt{3} - 1$
【答案】：
$2\sqrt{3} - 1$

4. 如图所示,在$□ ABCD$中,$\angle D= 60^{\circ}$. 以点$B$为圆心,$BA为半径作弧交BC于点E$,连接$AE$. 分别以点$A$,$E$为圆心,大于$\frac{1}{2}AE$的长为半径作弧,两弧交于点$P$,作射线$BP交AE于点O$,交$AD于点F$,则$\frac{OF}{OE}$的值为______.

解：设 $ AB = BE = x $。
在 $ □ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ \angle BAD = 180^\circ - \angle D = 120^\circ $，$ \angle ABE = \angle D = 60^\circ $，故 $ \triangle ABE $ 为等边三角形，$ AE = AB = x $，$ \angle BAE = 60^\circ $。
由作图知 $ BP $ 为 $ AE $ 的垂直平分线，$ OE = \frac{1}{2}AE = \frac{x}{2} $，$ \angle AOB = 90^\circ $。
在 $ Rt\triangle AOB $ 中，$ AO = \frac{x}{2} $，$ \angle BAO = 60^\circ $，则 $ BO = AO \cdot \tan 60^\circ = \frac{x}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}x}{2} $。
$ \angle BAF = \angle BAD = 120^\circ $，$ \angle BAO = 60^\circ $，故 $ \angle OAF = 60^\circ $。在 $ Rt\triangle AOF $ 中，$ OF = AO \cdot \tan 60^\circ = \frac{x}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}x}{2} $。
因此，$ \frac{OF}{OE} = \frac{\frac{\sqrt{3}x}{2}}{\frac{x}{2}} = \sqrt{3} $。
答案：$\sqrt{3}$

5. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= 12$,$BC= 5$. 求$\sin A$,$\cos A和\tan A$的值.
]

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=12$，$BC=5$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$，
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{12}$。

6. 综合实践活动中,数学兴趣小组的同学们利用无人机测量大楼的高度. 如图所示,无人机在离地面$40\ m的点D$处,测得操控者$A的俯角为30^{\circ}$,测得楼$BC的楼顶C点的俯角为45^{\circ}$,又经过人工测量得到操控者$A和大楼BC之间的水平距离AB是80\ m$,则楼$BC$的高度是多少米？(点$A$,$B$,$C$,$D$都在同一平面内,参考数据：$\sqrt{3}\approx1.7$)
]

解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F。
由题意得，DE=BF=40m，AB=80m，∠DAE=30°，∠CDF=45°。
在Rt△ADE中，tan∠DAE=DE/AE，即tan30°=40/AE，AE=40/tan30°=40√3≈40×1.7=68m。
∵AB=80m，∴BE=AB - AE=80 - 68=12m。
∵四边形DEBF是矩形，∴DF=BE=12m。
在Rt△CDF中，tan∠CDF=CF/DF，即tan45°=CF/12，CF=12×1=12m。
∴BC=BF - CF=40 - 12=28m。
答：楼BC的高度是28米。