1. 某拦水坝的横断面如图所示,若斜坡AB的水平宽度(BC)为12 m,斜面坡度为1:2,则斜坡AB=m.

【解析】：本题可根据斜面坡度的定义求出$AC$的长度，再利用勾股定理求出斜坡$AB$的长度，考查的知识点为解直角三角形的应用，用到的方法是勾股定理。
已知斜面坡度为$1:2$，坡度是坡面的垂直高度和水平方向的距离的比值，在斜坡$AB$中，$AC$为垂直高度，$BC$为水平宽度，所以$i = \frac{AC}{BC}$。
因为$BC = 12m$，$i = \frac{1}{2}=\frac{AC}{BC}$，将$BC = 12$代入可得$AC$的值。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB$为斜边，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，可求出$AB$的长度。
【答案】：解：
∵斜面坡度为$1:2$，即$i = \frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$，$BC = 12m$
∴$AC=\frac{1}{2}× BC=\frac{1}{2}×12 = 6m$
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+12^{2}}=\sqrt{36 + 144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}m$
故答案为$6\sqrt{5}$。

2. 如果一个斜坡的坡度$i= 1:\sqrt{3}$,那么该斜坡的坡角的大小为______.

解：设坡角为α，
因为坡度i=1:√3，即tanα=1/√3=√3/3，
所以α=30°。
30°

3. 如图所示,若坡度$i= 1:2.4$的斜坡上两棵树间的水平距离AC为3 m,则两树间的坡面距离AB=m.

解：
∵坡度$i = 1:2.4$，即斜坡的铅直高度与水平距离的比为$1:2.4$，
设铅直高度$BC = x$，水平距离$AC = 2.4x$。
已知$AC = 3m$，则$2.4x = 3$，解得$x=\frac{3}{2.4}=\frac{5}{4}m$。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+(\frac{5}{4})^{2}}=\sqrt{9+\frac{25}{16}}=\sqrt{\frac{144+25}{16}}=\sqrt{\frac{169}{16}}=\frac{13}{4}=3.25$
答：两树间的坡面距离$AB = 3.25m$。
（注：根据题目要求“直接呈现答案”，此处按规范保留解、答步骤，最终答案为$3.25$，若需整数或分数形式，$\frac{13}{4}$也正确，通常初中阶段可保留一位小数或分数，此处以小数$3.25$或分数$\frac{13}{4}$均可，示例中以小数呈现。）
最终答案： $3.25$

4. 某地决定对一段坡路进行下图①所示的改造.如图②所示,改造前的斜坡AB= 200 m,坡度为$1:\sqrt{3}$；将斜坡AB的高度AE降低20 m后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1:4.求斜坡CD的长(结果保留根号).

解：在Rt△ABE中，坡度为1:$\sqrt{3}$，即$\tan\angle ABE = \frac{AE}{BE} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\angle ABE = 30^\circ$，
∵AB=200m，
∴AE = $\frac{1}{2}$AB = 100m，BE = AB·$\cos30^\circ$ = 200×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 100$\sqrt{3}$m。
∵CE = AE - AC = 100 - 20 = 80m，
在Rt△CDE中，坡度为1:4，即$\frac{CE}{DE} = \frac{1}{4}$，
∴DE = 4CE = 4×80 = 320m，
∴CD = $\sqrt{CE^2 + DE^2} = \sqrt{80^2 + 320^2} = \sqrt{6400 + 102400} = \sqrt{108800} = 80\sqrt{17}$m。
答：斜坡CD的长为80$\sqrt{17}$m。

5. 下图为某超市从底楼到二楼的自动扶梯的侧面示意图.已知自动扶梯AB的坡度为1:2.4,AB长13 m,MN是二楼楼顶,MN//PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°.求二楼的层高BC(精确到0.1 m)(参考数据：$\sin42^{\circ}\approx0.67$,$\cos42^{\circ}\approx0.74$,$\tan42^{\circ}\approx0.90$).

解：过点$B$作$BD\perp PQ$于点$D$。
因为自动扶梯$AB$的坡度为$1:2.4$，所以$\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{1}{2.4}=\dfrac{5}{12}$。
设$BD = 5x$，则$AD = 12x$。
在$Rt\triangle ABD$中，由勾股定理$AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}$，已知$AB = 13m$，可得：
$(5x)^{2}+(12x)^{2}=13^{2}$
$25x^{2}+144x^{2}=169$
$169x^{2}=169$
$x^{2}=1$
解得$x = 1$（$x=-1$舍去）。
所以$BD = 5×1 = 5m$，$AD = 12×1 = 12m$。
因为$MN// PQ$，$BC\perp MN$，$BD\perp PQ$，所以四边形$BDCN$是矩形，则$DN = BC$，$CN = BD = 5m$。
设$BC = h$，则$CD = h + 5$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\tan\angle CAD=\dfrac{CD}{AD}$，已知$\angle CAD = 42^{\circ}$，$AD = 12m$，$\tan42^{\circ}\approx0.90$，可得：
$\dfrac{h + 5}{12}\approx0.90$
$h + 5\approx0.90×12$
$h + 5\approx10.8$
$h\approx10.8 - 5$
$h\approx5.8$
所以二楼的层高$BC$约为$5.8m$。