【例 1】函数 $ y = mx^{2} + (m + 2)x + \frac{1}{2}m + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴只有一个交点,则 $ m $ 的值为()
A.0
B.0 或 2
C.0 或 2 或 -2
D.2 或 -2
解题关键 根据函数图象与 $ x $ 轴只有一个交点有两种情况,利用分类讨论的方法求得 $ m $ 的值。当函数为一次函数时,与 $ x $ 轴只有一个交点；当函数为二次函数时,与 $ x $ 轴只有一个交点,从而求解。

C

当$m = 0$时，函数为$y = 2x + 1$，是一次函数，与$x$轴只有一个交点；
当$m \neq 0$时，函数为二次函数，图象与$x$轴只有一个交点，
则$\Delta=(m + 2)^2 - 4m\left(\frac{1}{2}m + 1\right)=0$，
即$m^2 + 4m + 4 - 2m^2 - 4m = 0$，
化简得$-m^2 + 4 = 0$，
解得$m = \pm 2$。
综上，$m$的值为$0$或$2$或$-2$。
C

【例 2】下表是二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的自变量 $ x $ 与函数值 $ y $ 的部分对应值,判断方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $($ a,b,c $ 为常数,$ a \neq 0 $)的一个解 $ x $ 的取值范围是()

A.$ 6 ＜ x ＜ 6.17 $
B.$ 6.17 ＜ x ＜ 6.18 $
C.$ 6.18 ＜ x ＜ 6.19 $
D.$ 6.19 ＜ x ＜ 6.20 $
解题关键 由表格可得,当 $ x = 6.18 $ 时,$ y = -0.01 ＜ 0 $；当 $ x = 6.19 $ 时,$ y = 0.02 ＞ 0 $。

C

当$x = 6.18$时，$y=-0.01＜0$；当$x = 6.19$时，$y=0.02＞0$，所以方程$ax^{2}+bx + c=0$的一个解$x$的取值范围是$6.18＜x＜6.19$。
C