1. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 如图 22 - 2 - 1 所示,则关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根
C.有两个同号的实数根
D.没有实数根

D

抛物线$y = ax^{2} + bx + c$的图像开口向上，且顶点在$x$轴上方，与$x$轴没有交点，所以关于$x$的方程$ax^{2} + bx + c = 0$没有实数根。
D

2. (2024 陕西中考)已知一个二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的自变量 $ x $ 与函数 $ y $ 的几组对应值如下表,

则下列关于这个二次函数的结论正确的是()
A.图象的开口向上
B.当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 的值随 $ x $ 的值增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线 $ x = 1 $

D

将点$(-4,-24)$，$(-2,-8)$，$(0,0)$代入$y=ax^{2}+bx+c$，得：
$\begin{cases}16a - 4b + c = -24 \\4a - 2b + c = -8 \\c = 0\end{cases}$
解得$a=-1$，$b=2$，$c=0$，函数解析式为$y=-x^{2}+2x$。
A. $a=-1\lt0$，图象开口向下，错误；
B. 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，当$x\gt1$时，$y$随$x$增大而减小，错误；
C. 抛物线与$y$轴交于$(0,0)$，过第一、三、四象限，错误；
D. 对称轴是直线$x=1$，正确。
D

3. 若抛物线 $ y = x^{2} - 2x - 1 $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (a,0) $,则代数式 $ a^{2} - 2a + 2020 $ 的值为()
A.2019
B.2021
C.2018
D.2020

B

因为抛物线$y = x^{2}-2x - 1$与$x$轴的交点坐标为$(a,0)$，所以将$(a,0)$代入抛物线方程可得：$a^{2}-2a - 1=0$，即$a^{2}-2a=1$。
则代数式$a^{2}-2a + 2020=1 + 2020=2021$。
答案：B

4. 若二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴的交点为 $ (1,0) $,$ (4,0) $,则方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根为。

$x_{1}=1,x_{2}=4$

5. 如图 22 - 2 - 2 是抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的一部分,其对称轴为直线 $ x = 1 $。若抛物线与 $ x $ 轴的一个交点为 $ A(3,0) $,则由图象可知,不等式 $ ax^{2} + bx + c \geq 0 $ 的解集是。

$x\leqslant -1$或$x\geqslant 3$

6. (2025 陕西中考)在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = ax^{2} - 2ax + a - 3 $($ a \neq 0 $)的图象与 $ x $ 轴有两个交点,且这两个交点分别位于 $ y $ 轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是()
A.图象的开口向下
B.当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大
C.函数的最小值小于 -3
D.当 $ x = 2 $ 时,$ y ＜ 0 $

D

∵二次函数$y=ax^{2}-2ax+a-3$（$a≠0$）的图象与$x$轴有两个交点，且这两个交点分别位于$y$轴两侧，
$\therefore$方程$ax^{2}-2ax+a-3=0$有两个不相等的实数根，且两根异号，
$\therefore \Delta=(-2a)^{2}-4a(a-3)=12a＞0$，且$\frac{a-3}{a}＜0$，
由$\Delta=12a＞0$得$a＞0$，
由$\frac{a-3}{a}＜0$，$a＞0$得$a-3＜0$，即$a＜3$，
$\therefore 0＜a＜3$。
A. $\because 0＜a＜3$，$\therefore$图象开口向上，A错误。
B. 对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，开口向上，$\therefore$当$x＞1$时，$y$随$x$增大而增大，B错误。
C. 当$x=1$时，$y=a-2a+a-3=-3$，函数最小值为$-3$，C错误。
D. 当$x=2$时，$y=4a-4a+a-3=a-3$，$\because 0＜a＜3$，$\therefore a-3＜0$，即$y＜0$，D正确。
结论正确的是D。

7. 画出函数 $ y = -x^{2} + 2x + 3 $ 的图象,利用图象回答：
(1)方程 $ -x^{2} + 2x + 3 = 0 $ 的解是什么？
(2)写出 $ -x^{2} + 2x + 3 ＞ 0 $ 的解集。

图略。
(1)$x_{1}=-1,x_{2}=3$
(2)$-1＜x＜3$

8. 已知二次函数 $ y = -x^{2} + 2mx - m^{2} - 1 $($ m $ 为常数)。
(1)证明：无论 $ m $ 为何值,该函数的图象与 $ x $ 轴没有公共点；
(2)当自变量 $ x $ 的值满足 $ -3 \leq x \leq -1 $ 时,与其对应的函数值 $ y $ 的最大值为 -5,求 $ m $ 的值。

$(1)$ 证明函数图象与$x$轴没有公共点
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta\lt0$时，函数图象与$x$轴没有公共点。
在二次函数$y=-x^{2}+2mx - m^{2}-1$中，$a = - 1$，$b = 2m$，$c=-m^{2}-1$。
则$\Delta=(2m)^{2}-4×(-1)×(-m^{2}-1)$
$=4m^{2}-4(m^{2}+1)$
$=4m^{2}-4m^{2}-4$
$=-4$。
因为$\Delta=-4\lt0$，所以无论$m$为何值，该函数的图象与$x$轴没有公共点。
$(2)$ 求$m$的值
将二次函数$y=-x^{2}+2mx - m^{2}-1$化为顶点式：
$y=-(x - m)^{2}-1$，所以函数图象的对称轴为直线$x = m$。
当$m\lt - 3$时**：
在$-3\leq x\leq - 1$这个区间内，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x = - 3$时，$y$有最大值$-5$。
把$x = - 3$，$y=-5$代入函数$y=-(x - m)^{2}-1$得：
$-(-3 - m)^{2}-1=-5$
$(-3 - m)^{2}=4$
$-3 - m=\pm2$。
当$-3 - m = 2$时，$m=-5$；
当$-3 - m=-2$时，$m=-1$（舍去，因为$m\lt - 3$）。
当$-3\leq m\leq - 1$时**：
当$x = m$时，$y$有最大值$-1$，不符合$y$的最大值为$-5$，舍去这种情况。
当$m\gt - 1$时**：
在$-3\leq x\leq - 1$这个区间内，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x = - 1$时，$y$有最大值$-5$。
把$x = - 1$，$y=-5$代入函数$y=-(x - m)^{2}-1$得：
$-(-1 - m)^{2}-1=-5$
$(-1 - m)^{2}=4$
$-1 - m=\pm2$。
当$-1 - m = 2$时，$m=-3$（舍去，因为$m\gt - 1$）；
当$-1 - m=-2$时，$m = 1$。
综上，$m$的值为$-5$或$1$。