10. (★) 把 $ \triangle ABC $ 的三边长扩大为原来的 $ 2 $ 倍,锐角 $ A $ 的正弦值(填“变大”“变小”或“不变”)。

不变

因为相似三角形对应角相等，锐角A的大小不变，所以其正弦值不变。

11. (★) 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ a $,$ b $,$ c $ 分别是 $ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle C $ 的对边,若 $ 3a = 4b $,则 $ \sin B $ 的值是。

$\frac{3}{5}$（或 0.6（转化为小数形式，但本题要求填最简形式））

在直角三角形$ABC$中，由于$\angle C = 90^{\circ}$，
根据正弦函数的定义有$\sin B = \frac{对边}{斜边} = \frac{b}{c}$，
由题意知$3a = 4b$，
设$a = 4x$，则$b = 3x$，
利用勾股定理，斜边$c$可以表示为：
$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{(4x)^{2} + (3x)^{2}} = \sqrt{16x^{2} + 9x^{2}} = \sqrt{25x^{2}} = 5x$，
将$b$和$c$的值代入正弦函数的定义中，得到：
$\sin B = \frac{b}{c} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$。

12. (★★) 由小正方形组成的网格如图 28.1 - 2,$ A $,$ B $,$ C $ 三点都在格点上,则 $ \sin B $ 的值是。

√5/5

过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$。
设小正方形边长为$1$，根据网格可知：
$AB = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，
$BC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，
$AC = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
$\triangle ABC$的面积为$3×3 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×2×2 = 9 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} - 2 = 4$。
由面积公式$\frac{1}{2} × BC × AD = 4$，即$\frac{1}{2} × \sqrt{10} × AD = 4$，解得$AD = \frac{8}{\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{10}}{5}$。
$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\frac{4\sqrt{10}}{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{10}}{5} × \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

13. (★★) 如图 28.1 - 3,已知 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,弦 $ CD \perp AB $,$ AC = 2\sqrt{2} $,$ BC = 1 $,那么 $ \sin \angle ABD $ 的值是。

2√2/3

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对圆周角是直角）。
在Rt△ACB中，AC=2√2，BC=1，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√[(2√2)²+1²]=√(8+1)=3。
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴AB垂直平分CD（垂径定理），则弧AC=弧AD，故AD=AC=2√2（等弧对等弦）。
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°（直径所对圆周角是直角）。
在Rt△ADB中，sin∠ABD=AD/AB=2√2/3。

14. (★★) 如图 28.1 - 4,菱形 $ ABCD $ 的周长为 $ 40 cm $,$ DE \perp AB $,垂足为 $ E $,$ \sin A = \frac{3}{5} $。有下列结论：① $ DE = 6 cm $；② $ BE = 2 cm $；③ 菱形的面积为 $ 60 cm^2 $；④ $ BD = 4\sqrt{10} cm $。其中正确的有【】

A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

C

∵菱形ABCD周长为40cm，∴边长AB=BC=CD=DA=10cm。
①在Rt△ADE中，∠AED=90°，sinA=DE/AD=3/5，AD=10cm，∴DE=AD×sinA=10×3/5=6cm，①正确。
②在Rt△ADE中，AE=√(AD²-DE²)=√(10²-6²)=8cm，∴BE=AB-AE=10-8=2cm，②正确。
③菱形面积=AB×DE=10×6=60cm²，③正确。
④在Rt△BDE中，BD=√(BE²+DE²)=√(2²+6²)=√40=2√10cm≠4√10cm，④错误。
综上，正确的有①②③，共3个。

15. (★★) 如图 28.1 - 5,$ \odot O $ 的半径为 $ 3 $,弦 $ AB $ 的长为 $ 4 $,求 $ \sin A $ 的值。

作 $OC \perp AB$ 于 $C$，则 $AC = \frac{1}{2}AB = 2$（垂径定理）。
在 $Rt\Delta AOC$ 中，
$OC = \sqrt{OA^{2} - AC^{2}} = \sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{5}$（勾股定理）。
$\sin A = \frac{OC}{OA} = \frac{\sqrt{5}}{3}$。

16. (★★★) 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 120^{\circ} $,$ AB = 4 $,$ AC = 2 $,则 $ \sin B $ 的值是【】
A.$ \frac{5\sqrt{7}}{14} $
B.$ \frac{\sqrt{3}}{5} $
C.$ \frac{2\sqrt{21}}{3} $
D.$ \frac{\sqrt{21}}{14} $

D

在$\triangle ABC$中，已知$\angle A=120°$，$AB = 4$，$AC = 2$，
利用余弦定理求$BC$：
$BC^2=AB^2 + AC^2 - 2× AB× AC×\cos A$
$=4^2+2^2 - 2×4×2×\cos120°$
$=16 + 4-16×(-\frac{1}{2})$
$=16+4 + 8$
$=28$
所以$BC=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
利用正弦定理求$\sin B$：
根据正弦定理$\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$，
则$\sin B=\frac{AC×\sin A}{BC}$，
已知$\sin A=\sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AC = 2$，$BC = 2\sqrt{7}$，
代入可得$\sin B=\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$。

17. (★★★) (2021·广东) 如图 28.1 - 6,在 $ □ ABCD $ 中,$ AD = 5 $,$ AB = 12 $,$ \sin A = \frac{4}{5} $。过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $,垂足为 $ E $,则 $ \sin \angle BCE = $。

$\frac{9\sqrt{10}}{50}$

在$□ABCD$中，$AD=5$，$AB=12$，$DE⊥AB$于$E$。
在$Rt△ADE$中，$\sin A=\frac{DE}{AD}=\frac{4}{5}$，$AD=5$，则$DE=4$，$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{25-16}=3$，故$EB=AB-AE=12-3=9$。
以$A$为原点，$AB$为$x$轴建立坐标系，坐标：$A(0,0)$，$B(12,0)$，$E(3,0)$，$D(3,4)$，$C(15,4)$（$C=D+AB=(3,4)+(12,0)$）。
在$△BCE$中，$E(3,0)$，$B(12,0)$，$C(15,4)$，$EB=9$，点$C$到$EB$的距离为$4$（纵坐标），面积$S=\frac{1}{2}×9×4=18$。
$BC=5$，$CE=\sqrt{(15-3)^2+(4-0)^2}=4\sqrt{10}$，由$S=\frac{1}{2}×BC×CE×\sin∠BCE$，得$18=\frac{1}{2}×5×4\sqrt{10}×\sin∠BCE$，解得$\sin∠BCE=\frac{9\sqrt{10}}{50}$。